平面的基本性质教案

平面的基本性质教案

课题：平面的基本性质

教学目标：

[知识目标] 1、让学生理解平面的概念，掌握平面的画法、表示法。

2、掌握平面的基本性质公理1、2、3。

[能力目标]使学生了解立体几何研究的对象及方法，在初步建立空间的概念基础上，培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和

分析判断能力。

[情感目标]在传授知识培养能力的同时，培养学生有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质，并从生活实际中逐步培养学

生从实践中来，到实践中去的辩证唯物主义观点。

教学重点：1、平面概念的理解。

2、掌握平面基本性质的三个公理及其作用。

教学难点：平面概念的理解；平面基本性质的三个公理的理解。

授课类型：新授课

教具：直尺、三角板、纸板等

教学过程：

一、创设问题情境，导入新课

问题1：平静的湖面，广阔的草原，大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象呢？

问题2：请学生举出生活中一些平面的例子：如黑板面、桌面、墙面等。

二、讲解新课

（一）、平面

1、平面的三个特征：①平的②无厚度③无限延展(无边界)

几何里的平面是从现实生活中抽象出来的，它和直线一样，是无

限延展的，常见的桌面、黑板面、平静的水面都是平面的局部形象。

2、平面的画法：常用平行四边形表示平面

通常我们画出直线的一部分来表示直线，同样地，我们也可以画

出平面的一部分来表示平面，当我们从适当的角度和距离观察桌面或

黑板面时，感到它们都很像平行四边形。因此，通常画平行四边形来

表示平面。

表示方法：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用

平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面ABCD ，平面AC 等

练习1：判断下列命题是否正确：

① 一个平面长4m ，宽2m ，厚0.01mm 。（ ）

②平面是平行四边形( )

（二）、平面的基本性质

讨论1：当一直尺的边缘上任意两点放在平的桌面上时，可以观

察到什么现象，并归纳出一般性结论。

α β D C A B γ

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有

的点都在这个平面内。

这时我们说直线在平面内或平面经过直线。

公理1的作用：判定直线是否在平面内的依据。

举例：修路工人在修路时用直钢管在路面两端来回拉动，使路面平

整。

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

定义1：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交

定义2：这条公共直线叫做这两个平面的交线

例如：平面α与平面β相交，交线是直线α。

问题：两个平面相交的画法？（教师引导通过模型学习画法）

注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，

应把被遮住的部分画成虚线或不画

公理2的作用：判断两个平面是否相交的依据。

举例：教室内相邻的墙面，在墙角处交于一点，它们就交于过这个点

α l A B

· · β B A

α γ D

C

δ β B A α

的一条直线。

讨论3：要使一辆自行车停放在光滑的地面上，需要几个支撑点，从

而得出一般性的结论。

讨论4：过一个点可作多少个平面？两个点呢？三个点呢？

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

.B

.C

不共线的三点

A

、B 、C 的平面通常记作平面ABC 。

公理3的作用: 确定平面的依据。

例如: 照相机支架只需要三条腿就够了或者一扇门用两个合页和一

把锁固定。

（三）、相关概念

①共面：如果空间几个点或几条直线都在同一个平面内，那么我

们就说它们共面。

②平面图形：如果构成图形的所有点都在同一个平面内，这种图

形叫做平面图形。例如：

③立体图形：如果构成图形的点不都在同一个平面内，这种图形

·A

α 叫做立体图形。例如：

注：我们把空间看作点的集合。也就是说，点是空间的基本元素，那

么，直线、平面都是空间的子集，直线是平面的子集。于是我们可用

集合语言来描述点、直线、平面之间的关系。

图形

符号语言 文字语言

A a ∈ 点A 在直线a 上 ．

A a ? 点A 不在直线a 上

．

A α∈ 点A 在平面α内

． A α? 点A 不在平面α内

l m A = 直线l 、m 交于A 点

l α? 直线l 在平面α内

l α? 直线l 不在平面α内

l A α= 直线l 与平面α交于点A

a αβ= 平面α、β相交于直线a

（四）公理的推论

推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

a A a A A

A α

A l m α l α l

l α A

a

α β

已知：A l?

求证：经过点A和直线l有且只有一个平面。

证明：①存在性：

如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面α

α

?

l（公理1）

C∴α

∈

B，α

∈

所以平面α就是经过直线l和点A的平面。

②唯一性： B l∈，C l∈，

∴任何经过点A和l的平面一定经过点A、B、C，

三点A、B、C不共线，

根据公理3，这样的平面只有一个，

由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

已知：a∩b=A

求证：经过a和b有且只有一个平面。

证明：①存在性：

如图（2）在a上任取一点B，且B?b,根据推论1，

经过一条直线b和直线外一点B有一个平面α

?

∵A∈a ,B∈ a ∴aα

所以平面α就是经过相交直线a和b的平面。

②唯一性：

∵B∈a

∴任何经过直线a和b的平面一定经过点B和直线b，

∵根据推论1，这样的平面只有一个，

由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

已知：a∥b

求证：经过a和b有且只有一个平面。

证明：①存在性：

如图（3）

∵a∥b

∴根据平行线（在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线）的定义，a和b在同一平面α内。

②唯一性：

在a上任取一点A, 在b上任取一点B,

连接点A,B作直线c，

∵A∈α，B∈α , ∴c在α内，

∵a∩c=A,b∩c=B,

∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.

又a 和b 在同一平面内，

则a ，b ，c 在唯一的一个平面内。

由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

（五）例题讲解

例1.如图，已知直线AB 、BC 、CA 两两相交，交点分别为A 、B 、C ，求证这三条直线共面。

证明：因为直线AB CA A = ，所以根据推论2，直线AB 和直线CA 确定一个平面α 。

又因为,,B AB C CA ∈∈

所以,,B C αα∈∈

所以根据公理1，BC α?。

因此，直线AB 、BC 、CA 都在平面α内，即它们共面。

（六）巩固与练习：

P 8 1、2、3 （七）小 结：

1．平面的概念、画法及表示方法；

2．公理1，2，3及推论1,2,3的理解；

3.文字语言、图形语言与符号语言的转化；

（八）作业布置：

P 9 4

C

B A

α