2021届湖南省高三上学期六校联考(一)数学试卷

湖南省2021届高三上学期六校联考（一）

数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2. 本卷共12小题，每小题5分，共60分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）

A. {}1,2,4

B. {}2,3,4

C. {}0,2,4

D. {}0,2,3,4

2. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若ac bc >，则a b > B. 若a b >，c d >，则ac bd > C. 若a b >，则

11a b

< D. 若22ac bc >，则a b >

3. 已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A. 8

B. 4

C. 16

D. 2

4. 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；

当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合

(){}**,|12,,M a b a b a N b N =⊕=∈∈中的元素个数是（ ）

A. 10个

B. 15个

C. 16个

D. 18个

5. ABC △的三内角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a b

B A

=

，则ABC △的形状是（ ） A. 正三角形

B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

6. 设常数a R ∈.若5

2a x x ?

?+ ??

?的二项展开式中7x 项的系数为-15，则a =（ ）

A. -2

B. 2

C. 3

D. -3

7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有

趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为2

2

1x y +≤，若将军从点()3,0A 处出

发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）

A.

1

B.

C.

D. 3

8. 已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则

2

122

e e +的最小值为（ ）

A.

B. 3

C. 6

D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A. 若复数3z i =+，则

131010

i z =-. B. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2

221x y +-=. C. 若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥. D. 复数13z i =-的虚部是3.

10. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（ ）

A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100

B. 此人到达当日空气质量优良的概率为

813

C. 此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为

213

D. 每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大

11. 已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =，11A B ，

1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）

A. B. 11AA CC ⊥

C. 该四棱台的表面积为26

D. 该四棱合外接球的表面积为16π

12. 已知函数23,0()(3),0

x x x f x f x x ?--<=?-≥?，以下结论正确的是（ ）

A. ()f x 在区间[]4,6上是增函数

B. ()()220204f f -+=

C. 若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则

6

1

9i

i x

==∑

D. 若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ??∈-- ?

??

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共10个题，共90分.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

13. 已知1a =，6b =，()

4a b a ?-=-，则向量a 与b 的夹角是_______. 14. 已知随机变量()

2~1,X N σ，若()20.2P X >=，则()0P X >=_______.

15. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面是边长为a 的菱形，60BAD ∠=?，12AA a =，则直线11A C 与1B C 成角的余弦值为_______.

16. 已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ??

-????

上是增函数，则ω的取值范围是_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???

=+>><

??

?

的最小正周期为4π. （1）从①03f π??

-

= ???；②213f π

??-=- ???；③x R ?∈，都有2()3f x f π??≤ ???

这三个条件中，选择合适

的两个条件，求函数()f x 的解析式； （2）求（1）中所求得的函数()f x 在区间2,33ππ??

-???

?上的最大值和最小值. 18. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*1

4

n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(2)(1)n n n a b n n +=

+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

4

n T <.

19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，

E 为侧棱PA 上一点，且2AE PE =，3AP =，2AB BC ==，4AD =.

（1）证明：//PC 平面BDE .

（2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值.

20. 已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()

,e f e 处的切线方程为4y x e =-. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若对任意()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.

21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，四点131,2P ??- ???，231,2P ??

???

，(30,P ，()41,1P 中恰有三

点在椭圆C 上.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l ：()0y kx m m =+>与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当

MON △面积取最小值时，求此时直线l 的方程.

22. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A 餐、B 餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A 、B 两种餐盒的配餐比例为3:1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同. （1）求抽取的5个餐盒中有三个B 餐的概率；

（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B 餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B 餐盒查看.如果抽出一个是A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B 餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过()*n n N ∈次.假定食堂备餐总数很大，

抽样不影响备餐总量中A 、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A 餐盒数以随机变量X 表示，求X 的分布列与数学期望.

湖南六校联考试卷（一）答案解析

参考答案

一、选择题 1-5：CDABD 6-8：DAC

1. C 【解析】

由题得，∵{}0,4U C A =，∴(){}{}{}0,42,40,2,4U C A B ==.故选C.

2. D 【解析】

当0c <时，若ac bc >，则a b <，故A 为假命题；

当0a b >>，0c d >>时，ac bd <，故B 为假命题； 若0a b >>或0a b >>，则

11a b <，但当0a b >>时，11

a b

>，故C 为假命题﹔ 若2

2

ac bc >，则2222c a c b

c c

>，则a b >，故D 为真命题.故答案为D.

3. A 【解析】

等比数列{}n a 中，31174a a a =，可得2

774a a =，解得74a =，且77b a =，

∴74b =，数列{}n b 是等差数列，则59728b b b +==.故选A. 4. B 【解析】

根据定义知12a b ⊕=分两类进行考虑，a ，b 一奇一偶，

则12ab =，*

,a b N ∈，所以可能的取值为()1,12，()12,1，()3,4，()4,3，共4个，a ，b 同奇偶，则12a b +=，由*,a b N ∈，所以可能的取值为()2,10，()10,2，()1,11，()11,1，()3,9，()9,3，()4,8，()8,4，()5,7，()7,5，()6,6，共11个，

所以符合要求的共15个，故选B. 5. D 【解析】

ABC △中，由正弦定理得：

sin sin a b A B =，∴sin sin a A b B =，又cos cos a b B A

=

， ∴

sin cos sin cos A B B A =

，∴sin 2sin 2A B =，∴A B =或22A B π=-，即A B =或2

A B π

+=， ∴ABC △为等腰三角形或直角三角形.故选：D. 6. D 【解析】

52a x x ??+ ?

?

?的二项展开式的通项公式为()52103155r

r r r r r r a T C x a C x x --+??=??=?? ???，0,1,2,3,4,5r =. 令1037r -=，得1r =，

所以展开式中7x 项的系数为1

515a C ?=-，解得3a =-.故选：D.

7. A 【解析】

由题点()3,0A 和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧， 设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点()',A a b ，'AA 中点3,22a b M +??

???

在直线4x y +=上， 3422

013a b

b a +?+=???

-?=?-?

，解得：41a b =??=?，即()'4,1A ，设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，则总路程'PB PA PB PA +=+，要使路程最短，只需'PB PA +最短，即点'A 到军营的最短距离，即点'A 到

221x y +≤

区域的最短距离为：'11OA -=.故选：A.

8. C 【解析】

设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，

又∵1212F P F P a +=，1222F P F P a -=，∴1122F P c a +=，1222F P c a -=，

两式相减，可得：122a a c -=，∵22112122

242222e a a a c c e c a ca ++=+=

， ∴()22221242222c a a c

e e ca +++=2222222

844222ca a c a c ca c a ++==++，

∵222

22a c c a +≥=，当且仅当2222a c c a =时取等号，∴2122e

e +的最小值为6，

故选：C.

二、多选题

9. ABC 10. AD 11. AD 12. BCD 9. ABC 【解析】

由

11333(3)(3)1010

i i z i i i -===-++-，故A 正确，

由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=， 则()2

221x y +-=，故B 正确；

设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以22

12()()0z z a bi a bi a b =+-=+≥，故C 正确；

复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确.故选：A 、B 、C. 10. AD 【解析】 A.

1

(86255714322016040217160121158867937)15614

+++++++++++++≈，故正确； B. 在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为

6

13

，故不正确； C. 6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是{}4,5，{}5,6，{}7,8，{}8,9共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是

4

13

，故不正确； D. 空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确.故选：AD. 11. AD

【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，

由于AB =11A B C 11SA B △与SAB △相似比为1:2；

则124SA AA ==，2AO =，则SO =1OO =，A 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60?，不垂直，B 错；

该四棱台的表面积为84422

S S S S =++?

++?

=上底下底侧12=+，C 错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，

在平面11B BOO 上中，由于1OO =111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等， 则2r OB ==，该四棱合外接球的表面积为16π，D 对， 故选：AD.

12. BCD

解：由题意可知当3x ≥-时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[]4,6上的单调性与()f x 在[]2,0-上的单调性相同，

而当0x <时，()2

3924x x f ?

?=-++ ??

?，∴()f x 在[]2,0-上不单调，故A 错误；

又()()202022f f =-=，故()()220204f f -+=，故B 正确；作出()y f x =的函数图象如图所示：

由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点， 不妨设1i i x x +<，1,2,3,4,5i =，由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-

对称，3x ，4x 关于直线3

2

x =对称，5x ，6x 关于直线9

2x =对称，∴6

1

3392229222i i x ==-?+?+?=∑，故C 正确；

若直线1y kx =+经过点()3,0，则13

k =-，

若直线1y kx =+与()2

30y x x x =--<相切，则消元可得：()2

310x k x +++=，

令0?=可得()2

340k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍），故1k =-.

若直线1y kx =+与()y f x =在()0,3上的图象相切，由对称性可得1k =

.

因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， ∴1

13

k -<<-

或1k =，故D 正确.

故选：BCD. 三、填空题

13.

23π 14. 0.8 15. 16. 2；30,2?? ???

13.

2

3

π 【解析】

因为()

4a b a ?-=-，所以2

4a b a ?-=-，∴16cos ,14a b ??-=-， 所以1cos ,2a b =-，因为0,a b π≤≤，所以2,3a b π=.向量a 与b 的夹角是23

π. 故答案为：23

π. 14. 0.8

【解析】因为随机变量()

2~1,X N σ，()20.2P X >=，

所以()()020.2P X P X <=>=，因此()()01010.20.8P X P X >=-≤=-=. 故答案为：0.8.

15.

【解析】

连接AC ，1AB ，如图所示：

因为11//AC A C ，所以1ACB ∠或其补角为直线11A C 与1B C 成角. 因为底面是边长为a 的菱形，60BAD ∠=?，12AA a =，

所以11AB CB ===

，AC =

=

.

2221cos 10ACB ∠==. 所以直线11A C 与1B C

16. 2；30,2

?? ??

?

【解析】

因为函数()()2sin 0f x x ωω=>，所以()[]2sin 2,2f x x ω=∈-， 所以()f x 的最大值为2，因为()f x 在区间,43ππ??

-

????

上是增函数， 所以,,4322πωπωππ????

-

?-????????

， 所以423

2πωππωπ

?-≥-????≤??，解得30,2ω??∈ ???.故答案为：（1）2 （2）30,2?? ???

四、解答题 17.【解析】

（1）因为()f x 的最小正周期为4π，所以24π

πω

=，解得1

2

ω=

. 选①②：

因为03f π??-= ???，所以sin 06π???

-+= ?

??，解得6k π?π=+，k Z ∈. 因为2

π

?<

，所以6

π

?=

.

又因为213f π??-

=- ???，所以sin 136A ππ??-+=- ???，即sin 16A π??

-=- ???

，

所以2A =.所以1

()2sin 2

6f x x π??=+ ???.

选②③：

因为x R ?∈，都有2()3f x f π??≤ ???，所以23x π=时，()f x 取得最大值，即sin 13π???

+= ???

，

所以

23

2

k π

π

?π+=

+，k Z ∈，所以2

π

?<

，所以6

π

?=

.

又因为213f π??-

=- ???，所以sin 136A ππ??-+=- ???，即sin 16A π??

-=- ???

，所以2A =. 所以1

()2sin 2

6f x x π??=+

???.

（2）因为2,33x ππ??∈-????，所以1,2663x πππ??+∈-????，所以1sin ,2622x π???+∈-? ?????

，

当23x π=-

时，()f x 取得最小值为-1；当3

x π

=时，()f x ；

所以()f x 取得最小值为-118.【解析】 （1）∵14n n S a =

-，∴1114n n S a ++=-，∴111144n n n n S S a a ++??

-=--- ???

，

∴11n n n a a a ++=-，即11

2

n n a a +=

， 令1n =得：1114a a =-，即11

8

a =，

{}n a 是首项为11

8

a =，公比为12的等比数列，

∴1

2

2

11118222n n n n a -++??

??=?==

?

???

??

.

（2）∵(2)(1)

n

n n a b n n +=

+，

∴212111

(1)222(1)2n n n n n b n n n n ++??+=

=-??+??+???

， ∴123n n T b b b b =+++

+

1223341111111111111

21222222322324222(1)2n n n n +????????

=-+-+-++- ? ? ??????????+?????????

112

111111

212(1)24(1)24n n n n ++??=

-=-

， ∴1

4

n T <

. 19. 解：（1）证明：如图所示，连接AC 交BD 于点F ，连接EF . ∵四边形ABCD 为梯形，且2AD BC =， ∴::2:1AF CF AD BC ==，即2AF CF =， 在PAC △中，∵2AE PE =，2AF CF =， ∴//EF PC .

又PC ?平面BDE ，EF ?平面BDE ， ∴//PC 平面BDE .

（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴和z z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,2E ，()0,0,3P .

所以，()2,0,2BE =-，()2,4,0BD =-，()2,2,3PC =-，()0,4,3PD =-， 设()111,,m x y z =和()222,,n x y z =分别是平面BDE 和平面PCD 的法向量，则

m BD m BE ??=???=??，得1111240220x y x z -+=??

-+=?，令12x =得11y =，12z =，即()2,1,2m =， 0

n PC n PD ??=??

?=??，得

222222230430x y z y z +-=??-=?，令23y =得23x =，2

4z =，即()3,3,4n =， 所以，cos ,3m n m n m n

?=

=

=??

故平面BDE 和平面PCD 所成角锐二面角的余弦值为

6

.

20.【解析】

（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()'ln f x n x m n =++，

所以有()()'244f e m n f e me ne e e

=+=???=+=-??，解之得21m n =??=?，

故函数的解析式为：()2ln f x x x x =+；

（2）()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+， 因为()1,x ∈+∞，所以2ln 1

1

x x x t x +-<-，

令2ln 1

()(1)1

x x x g x x x +-=

>-，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，

而()2

2ln ('1)

x x

g x x --=

-，()1,x ∈+∞， 再令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'110x x h x x

-=-=>， 所以()h x 在()1,+∞上为增函数，

又()31ln30h =-<，()42ln 40h =->，

所以存在唯一的()03,4x ∈，使得()00h x =，即002ln x x -=，

当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()01,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min 002ln 1()1x x x g x g x x +-==-()0000022111

x x x x x +--==+-，

所以01t x <+，

又()03,4x ∈，所以()014,5x +∈， 因为t 为正整数，所以t 的最大值为4. 21.【解析】

（1）根据椭圆的对称性，必过1P ，2P .必不过4P ， 代入点3P 得，23b =，代入点1P 得，24a =.

∴椭圆C 的方程为：22

143

x y +=. （2）由22

143

x y y kx m ?+

=???=+?

，可得()2224384120k x kmx m +++-=. 直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知()()

2222644434120k m k m ?=-+-=， 整理得2243m k =+. 由条件可得0k ≠，,0m M k ??

-

???

，()0,N m ， ∴2

11222MON

m m S OM ON m k k

=?=?=

△， ∵2243m k =+， ∴24313422MON

k S k k k ??

+==+ ? ???

△. ∵0k >

，∴1342k k ??

+≥ ? ???

当且仅当34k k =

，即k =

，k =时等号成立，MON S △

的最小值为 ∵22

43m k =+，

∴2

6m =，又0m >

，解得m =故此时直线l

的方程为y x =+

y x =+22.【解析】

（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B 餐盒的概率为1

4

，用ξ表示“抽取的5个餐盒中B 餐盒的个数”，则ξ服从二项分布，即1~5,

4B ξ?? ???

， ∴其中有三个B 餐盒的概率2

3

35

314544512

P C ????

== ? ?????.

（2）X 的可能取值为：0，1，2，…，n .

1(0)4P X ==，313(1)4416P X ==?=，……，1

31

(1)44

n P X n -??

=-=? ?

??

， 3()4n

P X n ??

== ???

.

所以X 的分布列为

X 的数学期望为：

2

3

1

313131

313()123(1)444444444n n

E X n n -??????

??=??+??+??+

+-??+? ? ? ?

???????

??

① 2

3

1

33131

31()12(2)44444

44n E X n -??????

=?+??++-?? ? ? ?

??????

1

313(1)444n

n n n +????+-??+? ? ?????②

①-②得2

3

11313131

3131()44444444444

n n

E X -??????

??=?+?+?+

+?+? ? ? ? ???????

??， ∴23

133333()44444n n

E X -????

????=+++

++ ? ? ? ?????????331443313414

n

n

????-?? ???????????=

=-?? ???????

-. 即X 的数学期望为3334n

??

-? ???

.