广东省广州市荔湾区2020年中考数学一模试卷(含解析) (1)
2020年广州市荔湾区中考数学一模试卷
一、选择题
1．（3分）“广州电视课堂”上线以来备受欢迎，截至2020年3月29日，累计约有7183900人次观看，7183900用科学记数法表示为（）
A．7.1839×107B．7.1839×106C．71.839×105D．71.839×106 2．（3分）“千年一遇的对称日”2020年2月2日，用数字书写为“20200202”，如图下列说法正确的是（）
A．中心对称图形
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3+a3＝a6B．a2?a3＝a6
C．（ab2）2＝ab4D．5a4b÷ab＝5a3
4．（3分）如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（）
A．B．C．D．
（3分）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）5．
A．m≤4 B．m＞4 C．m＜4且m≠0 D．m＜4
6．（3分）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
7．（3分）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm
8．（3分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若AD＝1，BD＝AC＝3，则AE的长是（）
A．1 B．C．D．2
9．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
10．（3分）如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135°得B1B0′，过点B0'作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；
再将B2B1绕B2逆时针旋转135°得B2B1'，过点B1'作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1'B3的面积为S2…以此类推，则△B n B n﹣1'B n+1的面积为S n＝（）
A．（）n B．（）n﹣1C．2n D．2n﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．
12．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为．
13．计算：（π﹣）0+（）2＝．
14．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是．
15．如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则制作这样一个无底圆锥需要铁片平方米（结果保留π）．
16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为．
三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．先化简再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．
18．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．
19．如图：已知：点A（﹣4，0），B（0，3）分别是x、y轴上的两点．（1）用尺规作图作出△ABO的外接圆⊙P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求出⊙P向上平移几个单位后与x轴相切．
20．“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
21．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B 品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2.1元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共8000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于3000元．则最少购进B品牌口罩多少个？
22．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP＝3，求点P的坐标．
23．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A 作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；
若不存在，请说明理由．
25．如图1，已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）求证：⊙O的半径R＝AB；
（2）如图2，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC．
①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；
②若AB＝3，点C'与C关于AD对称，连接C'D，点E是C'D的中点，当点D从点B运动
到点C时，求点E的运动路径长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．解：7183900＝7.1839×106．
故选：B．
2．解：用数字书写为“20200202”，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选：A．
3．解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、a2?a3＝a5，故此选项错误；
C、（ab2）2＝a2b4，故此选项错误；
D、5a4b÷ab＝5a3，故此选项正确；
故选：D．
4．解：如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是；
故选：C．
5．解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣4，c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
6．解：当x＝2时，y1＝（x﹣2）2+1＝1；
当x＝﹣1时，y2＝（x﹣2）2+1＝10；
∵10＞1，
∴y1＜y2．
故选：A．
7．解：∵S扇形＝lr，
∴120π＝?10π?r，
∴r＝24（cm）；
故选：B．
8．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∵AD＝1，BD＝AC＝3，
∴AB＝1+3＝4，
∴，
∴AE＝，
故选：C．
9．解：设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故选：B．
10．解：直线l1：y＝x+1与x轴正半轴夹角45°，
由题意可知B′0B1∥x轴，B1′B2∥x轴，…，B n′B n+1∥x轴，B′0B2∥y轴，B′1B3∥y轴，…，B′n﹣1B n+1∥y轴，
∴△B1B0B2；…；△B n B n﹣1'B n+1都是直角三角形，
∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，B n+1B′n＝B n B n﹣1′由直线l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），
∴OB0＝1，
∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，B n B n﹣1'＝n，
∴△B n B n﹣1'B n+1的面积为S n＝（n）2＝2n﹣1
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x﹣2＞0，
所以，x＞2，
故答案为：x＞2．
12．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为 5 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，因为已知多边形的内角和为540°，所以可列方程求解．
解：设所求多边形边数为n，
则（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5．
13．计算：（π﹣）0+（）2＝ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式＝1+2＝3．
故答案为：3．
14．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜．
【分析】考查反比例函数图象的特点，当k＞0时，图象在一三象限，k＜0时，图象在二四象限解答．
解：当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，图象位于一、三象限，此时k＞0，所以1﹣2m＞0，解不等式得m＜．
故答案为：m＜．
15．如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则制作这样一个无底圆锥需要铁片60π平方米（结果保留π）．
【分析】本题就是求圆锥铁片的侧面积．由圆锥高为8，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，利用解直角三角形得出BO的长，再由勾股定理求得圆锥的母线长后，利用圆锥的侧面面积公式求出．
解：∵AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，
∴tanα＝＝＝，
∴BO＝6，
∴AB＝＝10，
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×6×10＝60π（平方米），
故答案为：60π．
16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为3．
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB 时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴PE＝AP，
∵∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝6＝3，
∴DF＝3，
∵AP+PD＝PE+PD，
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，
PE+DP的值最小，最小值为DF的长，
∴AP+PD的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．先化简再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而把a的值代入得出答案．
解：原式＝1﹣÷
＝1﹣?
＝1﹣
＝
＝，
当a＝﹣1时，
原式＝＝．
18．如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．
【分析】证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出FE＝AB，FE∥AB，得出∠EFC＝∠BAC＝90°，得出∠DAF＝∠EFC，AD＝FE，证明△ADF≌△FEC得出DF＝EC，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，
∴FE＝AB，FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵AD＝AB，
∴AD＝FE，
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE．
19．如图：已知：点A（﹣4，0），B（0，3）分别是x、y轴上的两点．（1）用尺规作图作出△ABO的外接圆⊙P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求出⊙P向上平移几个单位后与x轴相切．
【分析】（1）用尺规作图作出OA和OB的垂直平分线，即可作出△ABO的外接圆⊙P；
（2）根据A（﹣4，0），B（0，3）可以求出圆P的半径进而可求出⊙P向上平移1个单位后与x轴相切．
解：（1）如图，即为△ABO的外接圆⊙P；
（2）∵点A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∴⊙P的半径为2.5，
即PD＝2.5，
∵PC是AB的中点，C是OA的中点，
∴PC＝OB＝1.5，
∴CD＝PD﹣PC＝1．
所以⊙P向上平移1个单位后与x轴相切．
20．“校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）成绩在E区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、C、D组人数求出E的人数即可补全图形；
（2）用360°乘以E组人数所占比例即可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果数，再根据概率公式求解可得．
解：（1）本次比赛参赛选手总人数为9÷25%＝36（人），
则E组人数为36﹣（4+7+11+9）＝5（人），
补全直方图如下：
（2）扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝50°．
（3）由题意知E组中男生有3人，女生有2人，
画图如下：
共有20种等可能结果，其中恰好选中两名女生的有2种，
所以恰好选中两名女生的概率为＝．
21．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B 品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2.1元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共8000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于3000元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【分析】（1）求A、B两种品牌的口罩进价分别为多少元，可设A种品牌的口罩每个进价为x元，根据题意列出方程解方程．
（2）先设B种品牌口罩购进m件，根据全部出售后所获利润不低于3000元列出不等式求解即可．
解：（1）设A种品牌的口罩每个的进价为x元，
根据题意得：，
解得x＝1.8，
经检验x＝1.8是原方程的解，
x+1.8＝2.5（元），
答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元．
（2）设购进B种品牌的口罩m个，根据题意得，
（2.1﹣1.8）（8000﹣m）+（3﹣2.5）m≥3000，
解得m≥3000，
∵m为整数，
∴m的最小值为3000．
答：最少购进种品牌的口罩3000个．
22．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点P在x轴上，如果S△ABP＝3，求点P的坐标．
【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ABP＝3，即可得出|x﹣|＝2，解之即可得出结论．
解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）经过点A（﹣，2），
∴m＝﹣1．
∴双曲线的表达式为y＝﹣．
∵点B（n，﹣1）在双曲线y＝﹣上，
∴点B的坐标为（1，﹣1）．
∵直线y＝kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴，解得，
∴直线的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）当y＝﹣2x+1＝0时，x＝，
∴点C（，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ABP＝3，A（﹣，2），B（1，﹣1），
∴×3|x﹣|＝3，即|x﹣|＝2，
解得：x1＝﹣，x2＝．
∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．
23．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A 作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，证明△AOC≌△EOC（SAS），得出∠CAO＝∠CEO，∠CAO＝90°，则∠CEO＝90°，结论得证；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，求出OD，DH，证明△BDH∽△BFA，由比例线段可求出AF 的长．
解：（1）证明：连接OE，
∵OA＝OE，OD⊥AE，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO，
∵CA为⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°，
∴∠CEO＝90°，
即OE⊥CE，
∴CE与⊙O相切；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵OA＝5，sin∠BAE＝，
∴在Rt△ADO中，sin∠DAO＝，∴OD＝
∴AD＝＝2，
∵S△ADO＝×OD×AD＝OA×OH，
∴DH＝＝2，
∴OH＝＝1，
∴BH＝5+1＝6，
∵DH⊥AB，AF⊥AB，
∴DH∥AF，
∴△BDH∽△BFA，
∴，
∴，
∴AF＝．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝3，即可求得OD的长；
（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan∠ECF ＝＝＝，即可求得tan∠FDE＝；
②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°，求得直线CE的解析式为y＝﹣x+3，即可设出直线DG1的解析式为y＝﹣x+m，直线DG2的解析式为y＝2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．解：（1）如图1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）如图2，
∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），
∴F的纵坐标为3，