双线性广义系统稳定性控制分析

短　文

双线性广义系统稳定性控制分析①

张秀华,张庆灵

(东北大学理学院系统科学研究所,辽宁沈阳110004)

摘要:利用所构造的两种广义Lyapunov函数,在广义系统容许的条件下,分别设计了双线性广义系统的稳定控制,且上面存在的2种控制具有不同的表现形式.同时,考查了控制受上下界约束时,选择适当的控制,使闭环系统全局一致渐近稳定.对单输入的双线性广义系统,探讨出闭环系统在原点附近的一个稳定域.最后,给出了一个实例说明所得到结论的正确性.

关键词:双线性;广义系统;稳定控制;Lyapunov函数

中图分类号:TP13;O231 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2006)02-0192-04

Analysis of stability control for bilinear singular system

ZHANG Xiu2hua,ZHANG Q ing2ling

(Institute of Systems Science,C ollege of Science,N ortheastern University,Shenyang110004,China) Abstract:In the paper,under the condition of that a singular system is adm issible,stable contr ols for a bilin2 ear singular system are designed by using tw o kinds of Lyapun ov function respectively,and the tw o ab ove con2

tr ol display different forms.At the sam e tim e,the contr ol restrained by upper and lower b ound is exam ined. Ch oosing a appr opriate contr ol a bilinear singular closed loop system can be globally asym ptotically stable.F or a single2input bilinear singular system,a stable region of closed loop system ar ound the origin is appr oached. Finally,an exam ple is given to illustrate the validity of the obtained results.

K ey w ords:bilinear;singular system;stable control;Lyapunov function

0　引　言

双线性系统是最接近线性系统的一类非线性系统.双线性系统可以对化学、物理、经济、生态、生物等过程中的许多现象进行描述,因此,它具有一定的实际背景.有关正常的双线性系统稳定化反馈控制、最优控制、状态观测器设计、基于状态观测器的复合反馈控制等[1～6]已得到部分解决.由于双线性系统增加了非线性项,双线性系统控制的研究比线性系统要困难一些.因此,还有许多问题有待于人们进一步的开拓与研究.

随着科学技术的不断进步和发展,控制理论向其他学科的渗透,应运而生的广义系统理论研究,得到了广泛的重视.它的应用领域越来越大,已遍及经济管理、电子网络、工业生产过程、生物过程及航空航天等技术领域.广义系统的稳定性、能控性与能观性、最优控制、状态观测器设计等问题的研究已成果丰硕[7～11].但是,双线性广义系统的研究尚不多见[12].本文对双线性广义系统的稳定器设计的讨论既是双线性系统理论的发展,

第21卷第2期2006年4月

系　统　工　程　学　报

JOURNA L OF SY STE MS E NGI NEERI NG

V ol.21N o.2

Apr.2006

①收稿日期:2004-06-28;修订日期:2004-12-14.

基金项目:辽宁省普通高校学科带头人基金资助项目(124210);辽宁省科技基金资助项目(2001401041).

又是广义系统理论的补充,为实际问题准备了理论依据.

1　主要结果

考虑如下的双线性广义系统　Ex ?

(t )=Ax (t )+

∑m i =1

N i

x (t )u i

(t )+Bu (t )

(1)

其中,x (t )∈R n 是状态变量,u (t )∈R m 是输入控制,记u (t )=[u 1(t ),u 2(t ),…,u m (t )]T ;E ,

A ,N i ∈R

n ×n

,B ∈R

n ×m

是常量矩阵,记B =(b 1,

b 2,…,b m ),b i ∈R n

,i =1,2,…,m ,rank E

见系统(1)与如下系统

Ex ?

(t )=Ax (t )+

∑

m i =1

[N i

x (t )+b i ]u i (t )

(2)

等价.

系统(1)的自治系统为

Ex ?

(t )=Ax (t )

(3)

定义1　如果系统(3)满足lim t →∞

x (t )=0,则称系统(3)是Lyapunov 意义下稳定的,简称系统

(3)稳定.

定义2　如果广义系统(3)正则、稳定且无脉冲,则称广义系统(3)是容许的.

引理1　(见文献[7])广义系统(3)是容许的充分必要条件是:对于任意给定的矩阵W >0,都存在解P ,满足

P T

A +A T

P =-W (4)E T

P =P T

E ≥0

(5)

的广义Lyapunov 方程.

引理2　(见文献[8])如果广义系统(3)是容许的,则对于任意给定的矩阵W >0,都存在解

P >0,满足

E T

PA +A T

P E =-E T

WE

(6)

的广义Lyapunov 方程,且E T P E ≥0是唯一的.

引理3　如果广义系统(3)是正则的,无脉冲,且lim t →∞

Ex (t )=0,则lim t →∞

x (t )=0,即系统(3)

是稳定的.

证明　如果广义系统(3)是正则的,则存在非奇异矩阵Q 1和Q 2,使得

Q 1[E A ]Q 2=

I r 0…A 1

00

N

…

I n-r

(7)

于是系统受限等价于

x ?1(t

)

=A 1x 1(t

)

(8)Nx ?

2(t )=x 2(t )

(9)

其中,A 1是r ×r 阶实矩阵,N 是指数为h 的幂零

矩阵,x T =[x 1　x 2]T Q T

2,其他分块矩阵具有相应的阶数.又系统(3)是无脉冲的,由式(9)知

x 2(t )≡0,又Q 1EQ 2

x 1x 2

=Q 1Ex ,即

x 1Nx 2

=

Q 1Ex ,再由lim t →∞

Ex (t )=0得lim t →∞

x 1(t )=0,因此

lim t →∞

x (t )=0.

定理1　如果广义系统(3)是容许的,则存在

控制

u i =-x T P T (N i x +b i )

(10)

使双线性广义系统(1)的闭环系统是稳定的.

证明　系统(1)在控制

u i =-x T P T

(N i x +b i )

的作用下,得到形如

Ex

?(t

)

=Ax (t

)

-

∑m i =1

[N i x (t )+b i ]x T P T

(N i x +b i )

(11)

的闭环系统.

构造广义Lyapunov 函数

V (Ex )=x T E T Px

(12)

沿系统(11)的状态轨迹求V (Ex )对时间t 的导数,由容许条件,利用引理1的式(4),(5)得

V [Ex (t )]|(11)=x ?

T E T Px +

x T E T Px ?=x ?T E T Px +x T P T Ex

? V [Ex (t )]|(11)=x T A T Px +x T P T

Ax - 2x T P

T ∑m

i =1

(N i x +

b i )x T P T

(N i x +b i )=

x T

(A T

P +P T A )x - 2

∑

m

i =1

[x T P T (N i

x +b i

)]2

≤-x T Wx <0

(13)

于是可得lim t →∞

Ex (t )=0,考虑到系统的正则条

件,利用引理3得lim t →∞

x (t )=0,所以,系统(1)是

—

3

91—第2期 张秀华等:双线性广义系统稳定性控制分析

稳定的.证毕.

定理2　如果广义系统(3)是容许的,则存在控制

u i =-x T E T P T

(N i x +b i )(14)使双线性广义系统(1)的闭环系统是稳定的.

证明　系统(1)在控制

u i =-x T E T P T

(N i x +b i )

的作用下,得到形如

Ex ?

(t )=Ax (t )-∑

m i =1

[N i

x (t )+b i ]?

x T E T P (N i x +b i )(15)

的闭环系统.

构造广义Lyapunov 函数

V (Ex )=x T

E T

P Ex

(16)

式中P =P T >0.沿系统(15)的状态轨迹求

V (Ex )对时间t 的导数,由引理2的式(6)得

V ?[Ex (t )]

|(15)

=x ?T E T

P Ex +

　x T E T PEx ?

=x T A T PEx +x T E T PAx -　2x T E T

P

∑m

i =1

(N i

x +b i

)x T E T P (N i

x +b i

)

=

　x T (A T PE +E T PA )x -　2∑m

i =1

[x T E T P (N i x +b i )]2≤-x T E T WEx

(17)

于是可得lim t →∞

Ex (t )=0,再由系统的正则条件,

利用引理3得lim t →∞

x (t )=0,所以,系统(1)是稳定

的.

证毕.

定理1,定理2给出了在容许的条件下,存在控制使系统(1)的闭环系统是稳定的.存在的控制具有不同的表现形式,其原因是选取了不同形式的广义Lyapunov 函数.

说明1　考查控制u i 受如下上下界约束

u min ,i ≤u i (t )≤u m x ,i

(18)式中u min ,i ≤0≤u m x ,i ,i =1,2,…,m.

此时,仍假设广义系统(3)是容许的,考虑式(12)的Lyapunov 函数,V (Ex )=x T E T Px 得

V [Ex (t )]=-x T Wx +

2x T P

T

∑m

i =1

(N i

x +b i

)u

i

=

-x T Wx +2

∑

m i =1

u i (N i x +b i )T

Px

(19)

定义

φi (x )=-(N i x +b i )T Px

(20)

式(19)为

V [Ex (t )]=-x T

Wx -2

∑m

i =1

u i φi

(x )

(21)

为使 V [Ex (t )]<0只要选择

u i (x )=u min ,i

φi (x )

u m x ,i

φi (x )≥u m x ,i

i =1,2,…,m

(22)

则可以保证闭环系统是全局一致渐近稳定的.

说明2　上述讨论,都假设系统是容许的.如果系统不满足此条件,考虑下面的单输入双线性广义系统

Ex

?(t

)

=Ax (t

)+Nx (t )u (t

)+bu (t

)

(23)

假设系统(23)存在如下的线性状态反馈

u (t )=Kx (t )

(24)

得闭环系统为

Ex ?

(t )=(A +b K )x (t )+

Nx (t )Kx (t )

(25)考虑式(16)的Lyapunov 函数

V (Ex )=x T E T P Ex ,且满足E T P =P T

E ,P =P T

,对V (Ex )求导得

V ?=x ?T E T P Ex +x T E T

P Ex ?= x T [(A +b K )T P E +

E T P (A +b K )]x +2x T PY (26)

式中:

Y =ENx Kx

定义集合

Φ

Y T M Y =(ENx Kx )T

M (ENx Kx )= x T K T (Nx )T E T M E (Nx )Kx ≤

x T K T S Kx

(27)

于是,可以将式(26)改写成下列形式

V ?=x T [(A +b K )T

P E +

E T P (A +b K )+PM -1P +K T S K ]x - (Px -M Y )T M -1(Px -M Y )- (x T K T S Kx -Y T M Y )

如果选择P 和K ,使满足

(A +b K )T P E +E T P (A +b K )+

PM

-1

P +K T

S K =-W

式中:W =W T >0.则对于x ≠0,x ∈Φ,就有

V ?≤-x T

Wx <0

—491—系　统　工　程　学　报 第21卷

所以闭环系统是局部渐近稳定的.如果设

V =Min x ∈9

ΦV (Ex )

则集合

Ω={x ∶V (Ex )≤V}就是原点附近的一个稳定域.

2　数值算例

考虑双线性广义系统Ex ?

(t )=Ax (t )+

∑3i =1

N i

x (t )u i

(t )

+

B u (t )

(28)

其中:

E =

100010

000,　A =010-1-100

01

,B =

1-2121534-9

,　N =I 取W =

410

1200

02

>0,由引理1解得P =

4

20230

-1

,且满足

E T

P =P T

E =

4202300

≥0再由定理1知在控制u i =-x T P T (N i x +b i )(i =1,2,3)作用下,式(28)的闭环系统是稳定的.可

见,数值算例说明了文中结论的有效性.

3　结束语

正常的双线性系统稳定化反馈控制与广义系统稳定的控制器设计的研究已相当活跃.本文针对双线性广义系统,利用所构造的广义Lyapunov 函数,给出了稳定的控制器;考察了控制受上下界约束时,选择适当的控制,使闭环系统全局一致渐近稳定;对单输入的双线性广义系统,探讨出闭环系统在原点附近的一个稳定域,这既发展了双线性系统理论,又是对广义系统理论的补充,为实际问题提供了理论依据.

参考文献:

[1]Derse I ,N oldus E.Design of linear feedback laws for bilinear systems[J ].Int .J.C ontrol ,1980,31(2):219—237.[2]Longcham p R.S table feedback control of bilinear systems[J ].IEEE T rans.on Auto.C ontr.,1980,25(2):302—306.[3]Ryan E P.G lobal asym ptotic stabilization of a class of bilinear control systems[J ].Int.J.C ontrol ,1983,38(2):359—367.[4]Benallou A ,Mellicham p D A ,Seborg D E ,et al .Optimal stabilizing controllers for bilinear systems[J ].Int.J.C ontrol ,1988,48

(4):1487—1501.[5]Bellini A ,Figalli G.A bilinear observers of the state of the induction machine[J ].C ontrol and C om puters ,1985,13(2):54—59.[6]华向明,蒋慰孙.双线性系统用状态观测器的反馈控制[J ].信息与控制,1987,16(4):18—23.[7]张庆灵,杨冬梅.不确定广义系统的分析与综合[M].沈阳:东北大学出版社,2003,20—21.[8]张庆灵.广义系统结构稳定性判别的李雅普诺夫方法[J ].系统科学与数学,1994,14(2):117—120.

[9]C obb D.C ontrollability ,observability and duality in singular systems[J ].IEEE T rans.on Auto.C ontr.1984,29(12):1076—1082.

[10]王恩平.广义离散线性系统的二次最优控制[J ].控制与决策,1991,6(3):168—172.[11]王朝珠,戴立意.广义系统的正常状态观测器[J ].系统科学与应用,1986,6(3):707—713.

[12]Z asadzinski M ,Magarotto E ,Rafaralahy H ,et al .Residual generator design for singular bilinear systems subjected to unmeasur 2

able disturbances :An LMI approach[J ].Automatica ,2003,39:703—713.

作者简介:

张秀华(1963—),女,辽宁铁岭人,副教授,博士,研究方向:双线性广义系统、微分代数系统理论及应用;

张庆灵(1956—

),男,辽宁营口人,博士,教授,博士生导师,研究方向:复杂大系统理论及应用,模糊控制,H ∞控制,控制理论在电力系统、网络系统的应用.

—

5

91—第2期 张秀华等:双线性广义系统稳定性控制分析