第二章信号及其描述
第二章 信号及其描述
第一节 信号分类与描述
一、信号的概念
信号是信息的载体，是包含和传递信息的一种物理量，是客观事物存在状态或属性的反映，即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息，它是我们认识客观事物的内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。例如，回转机械由于动不平衡而产生振动，那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息，因此它就成为研究回转机械动不平衡的信息载体和依据。
二、信号的分类
（一）确定性信号和非确定性信号 (随机信号)
按信号的运动规律和有无确定性可分为确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 两大类。
1．确定性信号
若信号随时间有规律变化，可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系，即可确定其任何时刻的量值，这种信号称之为确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。
①周期信号 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为
)()(0nT t x t x += （???=,3,2,1n ） （2-1） 式中 0T ——周期（s ）。
周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号：
⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号，只有一个谐波。例如，集中参数的单自由度振动系统(图2-1)作无阻尼自由振动时，其位移)(t x 就是一个简谐信号，它可用下式来确定质量块的瞬时位置，即
)cos(
)(00?+?=t x t x m
k
（2-2）
式中 x 0——初始幅值；
0?——初始相位角；
k ——弹簧刚度； m ——质量；
图2-1 单自由度振动系统
t ——时间。
⊙复合周期
信号
由多个谐波构成的
周期性复合函数，用傅立叶展开后其相邻谐波的频
率比n n ωω/1+为整数倍。
②非周期信号 常称为瞬变信号，能用确定的数学关系表达，但其值不具有周期重复特性的信号称为非周期信号。如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号：
⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号，但周期分量之间没有公倍关系，即没有公共周期，因而无法按某一确定的时间间隔周而复始重复出现。这种信号往往出现于通信、振动等系统之中，其特点为各谐波的频率比为无理数。例如：t t x 003sin 2sin ωω+= 就是准周期信号。工程实际中，由不同独立振动激励的系统的输出信号，往往属于这一类。
⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在，或随时间t 增大而衰减至零。如机械脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等(见图 2..5)。
图2-1所示的振动系统，若加阻尼装置后，其质点位移x (t )可用下式表示
)sin()(000?ω+=-t e x t x at (2-3)
其图形如图2.4所示，它是一种非周期信号，随时间的无限增加而衰减至零。常见的非周期信号如图2.5所示。
2．非确定性信号（随机信号）
非确定性信号也称随机信号，是一种不能用确切的数学关系来描述的信号，所描述的物理现象是一种随机过程。它随时间的变化是随机的，没有确定的规律，每一次观测的结果都不相同，无法用数学关系式或图表描述其关系，更不能准确预测其未来的瞬时值，只能用概率统计的方法来描述。如列车、汽车运行时的振动情况。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作)(t x i ， 如图2.6所示。在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，计 作{})(t x ，即
{}{}??????=),(),(),()(21t x t x t x t x i (2-4)
随机信号的各种统计值(均值、方差、均方值和均方根值等)是按集合平均来计算的。集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行平均而是在集合中的某时刻轧i t 对所有样本函数的观测值取平均。为了与集合平均相区别，称按单个样本的时间历程进行平均的计算为时间平均。非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。
①平稳随机信号 所谓平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，其概率密度函数为正态分布。平稳随机信号又可分为各态历经信号和非各态历经信号。在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）的随机信号。否则，即为 非各态历经信号。
②非平稳随机信号 所谓非平稳随机信号是指其统计特征参数随时间而变化的随机信号。在随机信号中，凡不属于平稳随机信号范围的，都可归为非平稳随机信号类型。
工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽然不具备严格的各态历经性，但也可简化为各态历经随机信号来处理。事实上，一般的随机信号需要足够多的样本(理论上应为无穷多个)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难的，有时是做不到的。因此实际中，常把随机信号按各态历经过程来处理。本教材中对随机信号的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。
根据信号的上述特性，信号分类归纳如下：
?????????
??????????????
?
?
??
???
?????????????????????????????非各态历经信号各态犁历经信号平稳随机信号非平稳随机信号随机信号瞬变信号
准周期信号非周期信号复合周期信号简谐信号周期信号确定性信号动态信号静态信号信号
（二）连续信号和离散信号
（1）连续信号 若信号在时域的表达式中的自变量)(t x i 取值是连续的，称为连续（，模拟）信号。
（2）离散信号 若信号在时域的表达式中的自变量)(t x i 取离散值，称为离散信号。 若信号数学表达式的独立变量和信号的幅值都是离散的，则称其为数字信号。
（三）能量信号与功率信号
1．能量信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压和电流信号来处理。显然，电压信号 x (t )加到电阻R 上，其瞬时功率
R t x t P /)()(2=
当R =1时，
)()(2t x t P =
瞬时功率对时间的积分就是信号在该积分时间内的能量。依此，当不考虑信号的实际量纲，而把信号)(t x 的平方)(2
t x 及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。
当)(t x 满足
?
∞
∞
-∞
则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。 2．功率信号
若信号在区间),(∞-∞的能量是无限的，即
?
∞
∞
-∞→dt t x )(2 (2-6)
但在有限区间),(21t t 的平均功率是有限的，即
?∞<-21
)(1
212t t dt t x t t (2-7) 这种信号称为功率有限信号或功率信号。
图2-1所示的单自由度振动系统，其位移信号就是能量无限的正弦信号，但在一定时间区间内其功率是有限的，因此，该位移信号为功率信号。如果该系统加上阻尼装置，其振动能量随时间而衰减，如图2-4所示，这时的位移信号就变成能量有限信号了。但是必须注意，信号的功率和能量，未必具有真实功率和真实能量的量纲。一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。
三、信号的描述（）
信号的描述方法主要有时域描述、频域描述和幅值域描述。我们直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量，是以时间作为独立变量，称为信号的时域描述。
信号包含着丰富的信息。信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间变化的特征，不能明确揭示信号的频率组成及对应不同频率的幅值大小。为了提取某种有用信息，如为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值大小、相位关系，需要对信号进行频谱分析。把时域信号通过积分变换转换成频域信号，此即信号的频域描述。
图2-5所示为周期方波的时域波形和频域描述。
对信号进行必要的分析和处理，是为了解决不同问题的需要，使所需的信号特征更为突出。时域描述信号形象、直观，而频域描述信号则更为简练。同一信号无论选用哪种描述方法都含有同样的信息，两种描述方法可互相转换但并没有增加新的信息。
第二节 周期信号与离散频谱
一、 周期信号的傅里叶三角函数展开式
设 周期信号可表为下列关系式：
()()nT t x t x += (2-8) 式中 n=0, ±1， ±2， ……； T —周期。
在有限区间上，任何信号只要满足狄里赫来条件，均可展成傅里叶级数的三角函数形式：
图2—5所示为周期方波的时域波形和频域描述
图2-6 周期矩形脉冲
信
()()∑∞
=++=1
000sin cos n n n t n b n a a t x ωω （2-9）
式中
()??
??
?
????===???---tdt n t x T b tdt n t x T a dt t x T
a T T n T T n T T 02
2022220sin )(2cos )(21ωω （2-10）
0a 是信号的常值分量，即均值；n a 是信号的余弦分量幅值；n b 是信号的正弦分量幅值；
T 是信号的周期；0ω是信号的圆频率。T 与0ω关系是0ω=2л/T 。 将式(2-9)中同频项合并，可以改写成
()()∑∞
=++=1
00sin n n n t n A a t x ?ω （2-11)
式中 22n
n n b a A +=
；
n
n
n b a tg 1
-=?。 由此可见，周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波迭加而成。以圆频率为横坐标，幅值n A 或相角n ?为纵坐标所作的图称为频谱图。n A -n 0ω图叫幅频谱，n ?-n 0ω图叫相频图 。因为n 是整数，相邻谱线频率的间隔ω?=(n 0ω-(n-1)0ω)=10ω=π2，即各频率成分都是0ω的整数倍,因而谱线是离散的。我们把0ω称为基频，而把几次倍频成分
()n n t n A ?ω+0sin 称为几次谐波。
每一根谱线对应其中一种谐波，频谱就是构成信号的各频率分量的集合，它表征信号的频率结构。傅里叶三角函数展开时，周期信号的频谱，其频率范围是从0～+∞，所以其频谱是单边谱。
例1：求图2—6中周期矩形脉冲信号的频谱。
解：x （t ）可表示为
??
??
?
-
+<≤+
+<≤+-=2
)1(2
22)(τ
τττT k t kT kT t kT H t x 式中，k=0，±1，±2，…… 由式（2—9）得：
常值分量 ()?
?
=?==
--T
H dt H T
dt t x T
a T
T
τ
τ
τ2
22201
1
余弦分量幅值：
()T n n H T n T T n H t n d t n T n H t n d t n T n H tdt n H T tdt
n t x T
a T T T
T
n πτ
ππτπωωωωωωωωτττ
sin
222sin 2)2(2)()cos(22)()cos(2cos 2cos 202002
2
02202
2
=??=??===
=
????
---
正弦分量幅值 ()?==-0sin 202
2tdt t x T
b T T n ω
因此 ()()∑∞
=++=1
00sin n n n
t n A
a t x ?ω
这里 T
π
ω20=
2
/02/00
sin 201
2
220π?π??πτ
πτ-=<=>±∞===
=+=+==
-n n n n n
n n n n n n a a a tg T
n n H a a b a A T
H a 图2-7所示为
2
1
=
T
τ
时信号的频谱图
图2—7 2/1=T τ 时周期矩形脉冲的频谱
图2—5所示为5/1=T τ时信号的频谱图
图2—8 5/1=τ时周期矩形脉冲的频谱
由周期信号的傅里叶三角函数展开式，上述分析我们得出如下结论：
①周期信号各谐波频率必定是基波频率的整数倍，不存在非整数倍的频率分量 ②频谱是离散的；
③由幅频谱线看出谐波幅值总的趋势是随谐波次数增高而减小； ④相频谱表明各谐波之间有严格的相位关系。
一般在信号的频谱分析中没有必要取那些次数过高的谐波分量。
二、周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开式
利用欧拉公式可把三角函数展开式变为复指数函数展开式，周期信号的单边谱就变为双边谱。根据欧拉公式：
t j t e t j ωωωs i n c o s ±=± （2-12）
有
)(2
1
c o s t j t j e e t ωωω+=- （2-13）
)(2
1s i n t j t
j e e j t ωωω-=- （2-14）
因此式（2-9）可改写为
∑∞
=-???
??
?-+++=1000)(21)(21)(n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a t x ωω （2-15）
),3,2,1(??????=n
令 ????
?
??
??=-=+=+-0
0)(21)(2
1a c jb a c jb a c n n n n n n （2-16）
则
∑∑∞
=∞
=--?+?+=1
1
000)(n n t
jn n t
jn n e
c e
c c t x ωω
上式中变量n 的取值与式（2-15）相同，只区取正直值：),3,2,1(??????=n ，即从0～+∞。
若将上式中的第2项的变量n 前的负号看成是n 的一部分，即等效于变量n 从-1～-∞的区间内取值，则上式变为：
即
）
??±±=?=?+?+
=∑∑∑∞
∞
-+-∞
-=∞
=++,2,1,0()()(0001
1
0n e
c t x c e
c
c t x t
jn n n n t
jn n t
jn n
e
ωωω （2—17）
这就是傅立叶级数的复指数展开式。式中，
dt e t x T dt t n j t n t x T tdt n t x T j tdt n t x T jb a c t jn T T
T T
T T T
T
T T T T n n n ????-----?=-?=-=-=0)(1
)]sin()[cos()(1
]
sin )(2
cos )(2[21)(2120020202ωωωωω （2—18）
图2-6 周期矩形脉冲
信
而上述推导过程中n 取值为正。当n 取0或副值时，也可以得到同样结果。由上式可见，n c 实际上是一个复数，可表为复数的模和相角的关系：
n
j n nI nR n e
c c c c ?=+= （2—19）
n n n nI nR n A c c c b a 212
1
22
2
2=+=
+=
（2—20a ）
nR
nI
n c c tg
1
-=? （2—20b ）
这里{})(21
b n n m
c I -=
，{}a n n e c R 2
1=分别是n c 的虚部和实部。所以，
∑∞
∞
-+=)(0)(n t n j n e c t x ?ω （2—21）
其中，n 0ω表示谐波角频率；n c 表示谐波幅值；n ?表示初相角。n c 与0ωn 之关系称为复 频谱；n c 与0ωn 之关系称为幅频谱；n ?与n 0ω之关系称为相频谱。复频谱的频率范围是 －∞～+∞，所以复频谱又称为双边谱。
例2：求例1中当4/1=T τ时信号的复频谱。 解：已知
?????-+<≤++<≤+-=2
/)1(202
2)(ττττT k t kT kT
t kT H t x 由式（2—22）得：
T
n n H dt e t x T
c t jn T T n πτπωsin )(102/2
/=
=
?
-- {}
{}
n e n m n c R c I tg
1
-=?
因为虚部{}0=n m c I ，实部{}T
n n H c R n e πτπsin =
所以
???
?
?
????-><>00sin 0,0sin 0sin 0〈，〈当当当n T n n H n T n n H T n n H n πτπππτπππτπ?
当4/1=T τ时，其复频谱即幅频谱和相频谱图如图2—７所示。 由图2—7可以看出复频谱具有如下特点：
图2—7 4/1=T τ
时周期矩形脉冲的复频谱
①幅频谱对称于纵坐标，即信号谐波幅值是频率的偶函数；
②相频谱对称于坐标原点，即信号谐波的相角是频率的奇函数；
③复频谱(双边谱)与单边谱比较，对应于某一角频率nw 0，单边谱只有一条谱线，而
双边谱在±nw 0处各有一条谱线，因而谱线增加了一倍，但谱线高度却减少了一半，即
n n A c 2
1
=
。
三、周期信号的强度表述
周期信号的强度用如下几种形式表述： 1．峰值x F
峰值x F 是信号可能出现的最大瞬时值，即
m a x )(t x x F =
它反映信号的动态范围，我们希望x F 在测试系统的动态薄围内。 2．均值μ
x
和绝对均值μ
x
均值凡是信号的常值分量，即 μ
x =
?dt t x T
T
)(01 绝对均值是信号经全波整流后的均值，即
μ
x
=
?dt t x T
T )(0
1 3．有效值和平均功率
有效值是信号的均方根值x r m s ，即 ?=
dt t x T T
x rms )(012
它反映信号的功率大小。有效值的平方就是信号的平均功率P a v ，即
P a v = x 2r m s =
dt t x T T )(0
12
图2—8所示为周期信号的强度表述。表2—1列举了几种典型信号上述参数之间的数量关系。从表中可见，信号的均值、绝对均值、峰值和有效值之间的关系与波形有关。
表2—1 几种典型信号的强度 图2—8 周期信号的强度表示
第三节 非周期信号及其连续频谱
（非周期信号的频域分析——连续频谱）
非周期信号包括准周期信号和瞬变信号。
准周期信号是由一系列没有公共周期的周期信号（如正弦或余弦信号）叠加组成的，与周期信号相比，所不同的只是其各个正弦信号的频率比不是有理数。因此，它的频谱与周期信号的频谱无本质区别，仍然是连续的，不必进行单独研究。
瞬变信号是指除了准周期信号之外的非周期信号。通常所论的非周期信号即是指这种瞬变信号。图2-8所示的是几种典型的非周期信号。图a 是矩形脉冲信号；图b 是指数衰减信号；图c 是衰减振荡信号；图d 是单一脉冲信号。本教材在此以后提到非周期信号时均指瞬变信号
图2—8 非周期信号(瞬变类)
一、傅里叶变换
我们知道，获得周期信号频谱的方法是利用傅里叶级数，而获得非周期信号频谱的方法则是傅里叶变换。
周期为T 的周期信号)(t x ，其频谱是离散的。当周期T 趋于无穷大时，该信号就变成非周期信号了。周期信号频谱中谱线间隔
ω?=n n ωω-+1=[00)1(ωωn n -+]=0ω=T π2 → ω?=T π2 →
π
ω
21?=
T 当T →∞时，ω?→0。即谱线无限密集以致离散频谱最终变为连续频谱。所以非周期信号的频谱是连续的。因此，可认为，非周期信号是由无限个频率极其接近的谐波合成。 设有周期信号)(t x x ，则其在(2T -
，2
T
+)区间内傅里叶级数为: ∑+∞
∞-?=
t
jn n e c t x 0)(ω
式中
?
--?=
dt
e t x T
c t jn T
T
n 0)(1
22
ω
所以
∑?
+∞
∞---?=t
jn t jn T
T
e dt e t x T
t x 00))(1
(
)(22
ωω
当T →∞时， ω?→ωd ，即
T 1=π
ω2d 。而离散频谱中相邻的谱线紧靠在一起,ωω?0n ， 上式中∑→
?
，T/2→∞,于是有
令
?
-∞+∞-?=
=dt e t x t X FT X t j ωπ
ω)(21
)]([)(
（２—２２）
ω
π
ωπ
ωωωωωd e dt e
t x e dt e t x t x t j t
j t j t j T
T ))(21(])([21
lim
)(2
20-∞+∞
-∞
+∞
-+∞
∞
---→???
∑?=???=
则
??==+∞∞
--ωωωωd e X X FT t x t
j )()]([)(1 （２—２３）
这里，称)(ωX 为非周期信号)(t x 的傅里叶正变换，称式(2—23)中)(t x 为)(ωX 的傅里叶逆变换。二者互称为傅里叶变换对。用下式表示二者之关系：
)()(1
ωX t x FT FT
???←?→?-
利用f πω2=，则（２—２２）和（２—２３）两式可写成
?-+∞∞
-==dt e t x t x F f X ft
j π2)()]([)( （２—２４）
?+∞∞
--==df e X X F t x ft j πωω21)()]([)( （２—２５）
同样)(t x 和)(ωX 关系相应变为
)()
(1
f X t x F F
??←?→
?-
式(2—24)和(2—25)易于我们记忆。)(f X 和)(ωX 关系是
)(f X ＝２π·)(ωX （２—２６）
通常)(f X 是实变量f 之复函数，所以)(f X 可写成
)(f X ＝e R [)(f X ]+)]([f X jI m ＝)
()(f j e f X ? （２—２７）
式中，
]]
)(/[)]([[)()])([()])([()(2
2f X R f X I rtg f f X I f X R f X e m m e α?=+=
需要注意的是非
)(f 是连续的，而周期信号的幅值谱是离散的。 并且)(f X 的量纲是即)(f X 是)(t x 的频谱密度函数。而周期信号的 幅值谱n c 的量纲与其幅值一致。
需要注意的是，傅里叶变换存在需要满足以下两个条件： ①狄里赫来条件；
②)(t x 在无限区间上绝对可积，即
?∞?
∞
∞
-dt t x )(，是收敛的。
在工程上所遇到的非周期信号基本上均能满足上述条件。
例1：求矩形窗函数w R (ｔ)的频谱。已知矩形窗函数w R (ｔ)的定义为
w R (ｔ)＝??
?>
≤2
2
1
τ
τ
t t τ—时间宽度，称为窗宽。
解：由式(2—24)得w R (ｔ)的频谱W R (f )为
)
(sin )sin()sin(][21][211)()(2
2222222τπττ
πτπτπτπππτ
πτππππττπττf c f f f f f e e j
e e
f j dt e
dt e t w f W f j f j f j f j ft
j ft j R R =?==-=--=?=?=
----+∞∞
-??
数学上，定义sinc(θ)＝
θ
θ)
sin(为采样函数，它是以2π为周期且随θ增大而做衰减振荡，并在
n π（ｎ为整数）处其值为零的一个特殊的实偶函数，该函数在信号分析中非常有用，其数值可从数学手册中查到，其图像如图2—9所示。矩形窗函数w R (ｔ)及其频谱ｗR (f )的图形如图2—10所示。
图2—9 si nc (θ)的图像
图2—10 矩形窗函数及其频谱图
二、傅里叶变换的主要性质
傅里叶变换将一个信号时域与频域彼此联系起来。傅里叶变换有许多性质，这些性质主要反应了信号在时域的某些特征、运算和变化将在频域上产生的相应的特征、运算和变化，以及频域对时域的影响。掌握这些性质对今后的理论学习和实践应用非常重要。因此，我们需要了解、熟悉傅里叶变换的主要性质，以便帮助我们了解信号在一个域中变化而引起在另一个域中产生什么变化。利用这些性质可减少许多不必要的计算并有利于我们画出频谱图。傅里叶变换的性质很多，本书只介绍最常用的几个性质，其他的性质可参考有关著作。
1．奇偶虚实性
一般)(f X 是f 的复变函数，它可以写成
?-==-+∞∞-)()()()(2f X jI f X R dt e
t x f X m e ft
j π (2—28) 式中 ?
+∞
∞
-=
ftdt t x f X R e π2cos )()( (2—29)
?+∞∞-=ftdt t x f X I m π2sin )()( (2—30)
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
(1) 如果)(t x 是实偶函数，则0)(=f X I m ，)(f X 是实偶函数，即)(f X =)()(f X f X R e -=。 (2)如果)(t x 是实奇函数，则0)(=f X R e ，)(f X 是虚奇函数，即)(f X =)()(f X f X I m --=。 (3)如果)(t x 是虚偶函数，则同理可知)(f X 是虚偶函数。 (4)如果)(t x 是虚奇函数，则)(f X 是实奇函数。
2．翻转定理 若信号)(t x 的频谱为)(f X ，则信号)(t x -的频谱为)(f X -。
换句话说，当信号在时域绕纵坐标轴翻转180?时，它在频域中也绕纵坐标轴翻转180?，即
若 )(t x ?)(f X
则 )(t x -?)(f X - （2—31）
3．线性叠加性
若信号)(t x 和)(t y 的频谱分别为)(f X 和)(f Y ，则)(t ax +b )(t y 的频谱为)(f aX +)(f bY ，
即
)(t ax +b )(t y ?)(f aX +)(f bY (2—32)
4．对称性 若 )(t x ?)(f X
则 )(t X ?)(f x - (2—33)
证明：
?+∞∞
--==df e f X f X F t x ft
j π21)())(()(
以-u 换为t ， ?-+∞∞
-=-df e f X u x fu j π2)()(
以t 代替f ， ?
-+∞
∞-=-dt e t X u x ut j π2)()(
再以f 代替u ，
)]([)()(1
2t X F dt e
t X f x ft
j --+∞∞
-==-?
π
即为 )(t X ?)(f x - 对称性应用举例如图2—11所示。
5．时间尺度改变特性(相似定理)
在信号幅值不变的情况下，若 )(t x ?)(f X
)(kt x ?
)(1k
f
X k （k>0） (2—34) 证明：
)(1)()(1)()]([))((22k
f X k kt d e kt x k dt
e kt x kt x F kt k
f
j ft j ===
??
-∞
+∞--+∞
∞
-ππ 当k>1时，时间尺度压缩如图2—12c 所
示。 此时，时域波形在时间轴上被压缩k 倍，导致频域的频带加宽k 倍和幅值降低；当<1时，时间尺度扩展如图2—12a 所示。其频谱变窄，幅值增高。
例如，把记录磁带慢录快放，即时间尺度压缩，这样尽管提高了处理信号的效率，但却
使得到的信号频带加宽。 如果后续处理设备( 放大器、滤波器) 的通频带不够宽，就会导 致失真。 相反快录慢放，使信号的带宽变窄，对后续处理设备的通频带k 要求降低了，却
使信号处理效率下降。
图2—12 时间尺度改变特性举例
6．时移和频移特性
●若)(t x ?)(f X ，在时域中信号沿时间轴平移一常值t 0。时，则
)(0t t x ±?0
2)(ft j e f X π±
? （2—35）
证 由傅氏变换的定义，可知
()[]()?+∞
∞
--±=±dt e t t x t t x F t j ω00
图2—11 对称性应用举例
（令u t t =±0） ()()?
+∞
∞
-±-=
du e u x t u j 0ω
()?
+∞
∞
--±=du e u x e
u j t j ωω0
()[]t x F e
t j 0
ω±=.
该式表明，当信号时移±t 0后，其幅-频谱不变，而相频谱由原来的)(f ?变为
02)(ft f π?± ，即在时域的移动，引起频域中的相移。
●在频域中信号沿频率轴平移一常值0f 时，则
t f j e t x 02)(π±?)(0f f X （2—36）
或 ()[]().001
t
j e
t x X F ωωω±-= （2—36B ）
式(2—36)表明，信号在时域上乘以t
f j e 02π± (可认为是正弦或余弦信号)，将使其频谱沿频
率轴右移或左移了0f 式(2—36B)表明频谱函数()ωX 沿ω轴向右或向左位移0ω的傅氏逆变换等于原来的
函数()t x 乘以因子0
t j e
ω或0
t j e
ω-
7．卷积定理(特性)
7．1卷积的概念
若已知函数()()t x t x 21,，则积分
()()?
+∞
∞
--τττd t x x 21
称为函数()t x 1和()t x 2的卷积，记为()()t x t x 21*，即 ()()()()?
+∞
∞
-*=-t x t x d t x x 2121τττ. （2—37A ）
显然，()()t x t x 21*=()()t x t x 12*，即卷积满足交换律。
7．2卷积特性
如果两信号)(1t x 和)(2t x 都满足傅氏积分定理中的条件，且其频谱分别为)(1f X 和
)(2f X ，则
()()[]()()()()[]()()?
??
*=??=*.,21212121t X t X x x F X X t x t x F ωωωω （2-37、38）
式（2—37）说明时域中两信号卷积傅氏变换等于频域中它们频谱的乘积。 式（2—38）说明时域中两信号乘积等效于频域中它们频谱的卷积。
证 按傅氏变换的定义，有
()()[]()()[]dt e t x t x t f t x F t j ω-+∞
∞
-?*=*2121 ()()()()()()()()()().
21212121ωωττττττττττωωτ
τωωτωX X d dt e t x e x t
d d
e t x e x dt
e d t x x t j j t j j t j ?=??
????-=-=??
????-=???
?
??∞
+∞-∞
+∞----∞+∞-∞
+∞----+∞∞--+∞∞-
这个性质表明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积. 同理可得：
()()[]()()ωωπ
212121
X X t x t x F *=
?， （2-38B ）
即两个函数乘积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.
推论 若()t x k （k =1,2,…,n ）满足傅氏积分定理中的条件，且()[]()ωk k X t x F =（k =1,2,…,n ），则有
()()()[]()
()()()ωωωπn n n X X X t x t x t x F ***=
?- 211
2121
.
从上面我们可以看出，卷积并不总是很容易计算的，但卷积定理提供了卷积计算的简便方法，即化卷积运算为乘积运算.这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法.
若()()t x t x 21,其中有一信号为周期信号，设)(2t x 为周期信号，即∑+∞
∞
-=t
nf j n e
c t x 022)(π，利用
叠加性和频移特性，可得如下推论：
)(1t x ·)(2t x ?)(01nf f X c n -∑+∞
∞
- （2—39）
8．微分性质
8．1时域微分特性
如果()t x 在()+∞∞-,上连续或仅有有限个可去间断点，且当+∞→t 时，()0→t x ①
，
且)]([t x F =)(f X 则
()[]()[])()2(f X f j t x F j t x F ?=='πω （2-40A ）
证 由傅氏变换的定义，并利用分部积分（
dt u v uv dt v u ??'-='）可得
()[]()?+∞
∞
--'='dt e t x t x F t j ω
()()()[])(f X j t x F j dt e t x j e
t x t j t
j ?=?=+=?+∞
∞
--+∞∞--ωωωωω
即，一个时域信号的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子.ωj 推论 若()
()t x
k （k =1,2,…,n ）在()+∞∞-,上连续或只有有限个可去间断点，且
()(),0lim =+∞
→t x k t k =0,1,2,…,n -1①, 且)]([t x F =)(f X ，则有
()
()[
]
()()[].t x F j t x F n
n ?=ω 或 )()()(f X j dt
t x d n
n
n ??ω （2-40）
8．2频域微分特性 设()[](),ωX t x F = 则
()[],)
(t x jt F d dX ?-=ωω 一般地，有： ()()()[]
.t x t F j X d d n
n n
n ??-=ωω
（2—41A ） 或 将式dt t x f X e
ft
j ?
∞
∞
--=
π2)()(对f 微分，可得
n
n n
n
n
n
df f X d t x t j t x t j )
()]([)2()()()2(??-=-ππ （2—41）
注： dt t x f X e
ft
j ?
∞
∞
--=
π2)()( ，dt t x X e
t
j ?
∞
∞
--=ωπ
ω)(21
)( 所以 )(2)(ωπX f X ?=。
9．积分性质
)(21
)(f X f
j dt t x t π??
∞
- （2—42） 或 )]([1
])([t x F j dt t x F t ω
=
?
∞
- （2—42B ） 证 因为
()()?∞-=t
t x dt t x dt d ，所以()()[]t x F dt t x dt d F t =??
?????∞-，又根据上述微分性质： ()()??????=??
?
?????∞-∞-t t dt t x F j dt t x dt d F ω， 故 ()()[]t x F j dt t x F t ω1=???????∞-.
我们在测量机械振动过程中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中的一个参数的 频谱，则利用微积分特性可得到另两个参数的频谱。
例2 求微分积分方程
()()()()?∞
-=++'t
t h dt t x c t bx t x a 的解，其中，+∞<<∞-t ，a ,b ,c 均为常数。
根据傅氏变换的微积分性质，且记
()[]()()[]
()ωωH t h F X t x F ==,。
在方程式两边取傅氏变换，可得
()()()(),ωωωωωωH X j c
bX X aj =++
()()?
?? ?
?
-+=
ωωωωc a j b H X 再求上式的傅氏逆变换，可得
()()?
+∞
∞
-=
.21ωωπ
ωd e X t x t j
表2—2 傅里叶变换的主要性质
运用傅氏变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到此微分方程的解．另外，傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一，其计算过程与解常微分方程大体相似，此处不再举例了说明。关于傅里叶变换(频谱)的性质请看表2—2。
三、几种典型信号的频谱
1．矩形窗函数的频谱
矩形窗函数的频谱已在例1中讨论。由此可知，一个时域有限区间内有值的信号，其频 谱却延伸至无限频率。用矩形窗函数在时域中 截取信号，相当于原信号和矩形窗函数相乘， 而所得信号的频谱是原信号频谱与sinc 函数 的卷积。它是连续的、频率无限延伸的频谱。 2．单位脉冲函数(δ函数)及其频谱 (1)δ函数的定义
在ε时间内的一个矩形脉冲δε (t)（亦可用 三角形脉冲、钟形脉冲等)，其面积为1，如 图2—13a 所示。当ε→0时，δε (t)的极限就 称为单位脉冲函数，记作δ(t)。将δ(t)用一
个单位长度的有向线段表示。这个长度表示 图2—13 矩形脉冲与δ函数 δ(t)的积分(面积) ，如图2—13b 所示。
从极值角度看，
??
?≠=∞=0
0,)(t t t δ
从函数面积角度，
1)()(lim 0
==??
∞
∞
-→+∞
∞
-dt t dt t t δδε
(2) δ函数的筛选性（采样性质）界标
如果δ函数与某一连续信号)(t x 相乘，则其乘积只有在t=0处有值)(t x ·δ(t)，其余各
点
第2章 信号分类及频谱分析
第2章 信号分类及频谱分析 一、知识要点及要求 1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述； 2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； 3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； 4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤； 5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施； 二、重点内容及难点 1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理； 2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数； 三、教学内容 （一） 信号的分类 1. 按信号随时间的变化规律分类 确定性信号与非确定性信号 2．按信号幅值随时间变化的连续性分类 根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。 3．按信号的能量特征分类 根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。 当信号()x t 在(-∞，∞)内满足 2()d x t t ∞ -∞ <∞ ? (2-6) 时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。例如，图 2.6 所示的信 号都是能量信号。 若信号()x t 在(-∞，∞)内满足 2()d x t t ∞ -∞ →∞ ? (2-7) 而在有限区间12(,)t t 内的平均功率是有限的，即 2 1 2211 ()d t t x t t t t <∞-? (2-8) 则信号为功率信号。例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。 综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下： (1) 按信号随时间的变化规律分类。 ????? ???? ?? ????????? ? ??????? ??????谐波信号周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号 (2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。
测试习题集 第一章 信号及其描述
第一章信号及其描述 1 试判断下述结论的正误。 （ 1 ）凡频谱是离散的信号必然是周期信号。 （ 2 ）任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。（ 3 ）周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。 （ 4 ）周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。 （ 5 ）非周期性变化的信号就是随机信号。 （ 6 ）非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。（ 7 ）信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。 （ 8 ）各态历经随机过程是平稳随机过程。 （ 9 ）平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。（ 10 ）两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号。 （ 11 ）所有随机信号都是非周期信号。 （ 12 ）所有周期信号都是功率信号。 （ 13 ）所有非周期信号都是能量信号。 （ 14 ）模拟信号的幅值一定是连续的。 （ 15 ）离散信号即就是数字信号。 2 对下述问题，选择正确答案填空。 （ 1 ）描述周期信号的数学工具是( ) 。 A. 相关函数 B. 傅氏级数 C. 拉氏变换 D. 傅氏变换 （ 2 ）描述非周期信号的数学工具是( ) 。 A. 三角函数 B. 拉氏变换 C. 傅氏变换 D. 傅氏级数
（ 3 ）时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分( ) 。 A. 不变 B. 增加 C. 减少 D. 变化不定 （ 4 ）将时域信号进行时移，则频域信号将会( ) 。 A. 扩展 B. 压缩 C. 不变 D. 仅有相移 （ 5 ）概率密度函数在( )域、相关函数是在( )域、功率谱密度函数是在( )域上来描述的随机信号 A. 时间 B. 空间 C. 幅值 D. 频率 3 指出题图 3 所示的信号时域波形时刻与时刻频谱（幅值谱）有无变化，并说明原因。 题 3 图题 6 图 4 判断下列序列是否是周期函数。如果是，确定其周期。 （ 1 ）；（ 2 ）。 5 有一组合信号，系由频率分别为 724Hz 、 44Hz 、 5005410Hz 及 600Hz 的相同正弦波叠加而成。求该信号的周期 T 。 6 求题 6 图所示，非对称周期方波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。 7 求题 7 图所示三角波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。
简化版第3章-信号的分类与描述
第3章 信号的描述方法
3.1 信号的分类 3.2 信号的时域描述 3.3信号的频域描述 3.4 随机信号的描述
在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体 或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态 与运动等特征方面的信息。
被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按 一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特 定信息，而不是全部信息。
为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式， 本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。
3.1 信号的分类
信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为： 确定性信号和非确定性信号 连续信号和离散信号 能量信号和功率信号
3.1.1 分类方法一：确定性信号和随机信号
1.确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达
的信号称为确定性信号。
x(t)
m
A
x(t)
k
0
t
0
x (t ) A cos(
k m
t
0
)
u周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无
始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。
数学表达：
x(t) x(t nT0 )
(n 1, 2, )
T0 = 2 / 0 =1/ f0 (0 k / m)
周期：满足上式的最小T 值。
频率：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹）
圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T
实际应用中，n 通常取为正整数。
信号及其描述考试
第一章 信号及其描述 （一）填空题 1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来 传输的。这些物理量就是 信号 ，其中目前应用最广泛的是电信号。 2、 信号的时域描述，以 时间(t) 为独立变量；而信号的频域描述，以 频率（f ） 为独立变量。 3、 周期信号的频谱具有三个特点： 离散性 ， 谐波性 ， 收敛性 。 4、 非周期信号包括 准周期 信号和 瞬态非周期 信号。 5、 描述随机信号的时域特征参数有 均值x μ，均方值2 x ψ，方差2 x σ 6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 偶 对称，虚频谱（相频谱）总是 奇 对称。 （二）判断对错题（用√或×表示） 1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。（ √ ） 2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。（√ ） 3、 非周期信号的频谱一定是连续的。（× ） 4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（× ） 5、 随机信号的频域描述为功率谱。（ √ ） （三）简答和计算题 1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。 2、 求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x μ，均方值2 x ψ，和概率密度函数p(x)。 3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。 000 22000 00 224211()d sin d sin d cos T T T T x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T T ωT ωπ ====-== ? ?? rms x ====0 2πT ω = 012ΔΔ2Δx T t t t =+=000 2Δ[()Δ]lim x x T T T t P x x t x x T T T →∞<≤+===
第二章信号及其描述
第二章 信号及其描述 第一节 信号分类与描述 一、信号的概念 信号是信息的载体，是包含和传递信息的一种物理量，是客观事物存在状态或属性的反映，即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息，它是我们认识客观事物的内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。例如，回转机械由于动不平衡而产生振动，那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息，因此它就成为研究回转机械动不平衡的信息载体和依据。 二、信号的分类 （一）确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 按信号的运动规律和有无确定性可分为确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 两大类。 1．确定性信号 若信号随时间有规律变化，可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系，即可确定其任何时刻的量值，这种信号称之为确定性信号。确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。 ①周期信号 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为 )()(0nT t x t x += （???=,3,2,1n ） （2-1） 式中 0T ——周期（s ）。 周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号： ⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号，只有一个谐波。例如，集中参数的单自由度振动系统(图2-1)作无阻尼自由振动时，其位移)(t x 就是一个简谐信号，它可用下式来确定质量块的瞬时位置，即 )cos( )(00?+?=t x t x m k （2-2） 式中 x 0——初始幅值； 0?——初始相位角； k ——弹簧刚度； m ——质量； 图2-1 单自由度振动系统
t ——时间。 ⊙复合周期 信号 由多个谐波构成的 周期性复合函数，用傅立叶展开后其相邻谐波的频 率比n n ωω/1+为整数倍。 ②非周期信号 常称为瞬变信号，能用确定的数学关系表达，但其值不具有周期重复特性的信号称为非周期信号。如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号： ⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号，但周期分量之间没有公倍关系，即没有公共周期，因而无法按某一确定的时间间隔周而复始重复出现。这种信号往往出现于通信、振动等系统之中，其特点为各谐波的频率比为无理数。例如：t t x 003sin 2sin ωω+= 就是准周期信号。工程实际中，由不同独立振动激励的系统的输出信号，往往属于这一类。 ⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在，或随时间t 增大而衰减至零。如机械脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等(见图 2..5)。 图2-1所示的振动系统，若加阻尼装置后，其质点位移x (t )可用下式表示 )sin()(000?ω+=-t e x t x at (2-3) 其图形如图2.4所示，它是一种非周期信号，随时间的无限增加而衰减至零。常见的非周期信号如图2.5所示。
第二章 信号分析
第二章 信号分析 2.1 信号定义及其分类 在通信、广播、电视或遥控遥测等系统中进行着信息的传递。信息通常用语言、文字、图像和数据形式来表示。为了便于传输和处理，往往讲信息变换为另一形式的变化着的物理量，如光、声、电等，这些形式通称为信号。因此信号的变化即表现为物理量的变化。作为信号的多种物理量中，电信号是最常见和应用广泛的物理量，因为电信号容易产生和控制，并且与非电量之间的转换也比较容易。电信号通常是随时间变化的电压和电流，某些情况下可以是电荷和磁链。 信号的分类一般是按照信号的波形特征来划分的。从信号描述上可以分为确定性信号和不确定性信号（规则性信号和不规则性信号）；从信号的幅值上分能量信号和功率信号；从分析域上可以分为时域和频域；确定性信号，可以用明确的数学公式描述的信号， 否则为非确定性信号。能量信号，瞬态信号，能量为有限值的信号。满足条件? ∞ ∞ ∞<-2)(dt t x ；功 率信号，时间持续无限值，研究平均功率更有意义。 规则信号是指按一定规则变化 的、可以用确定的数学函数式或波形进行描述的信号。规则信号根据其变化时有无重复性的特点分为周期性信号和非周期信号；按信号的存在时间是 否为连续的特点又可分为连续时间信号和离散时间信号。通常将输入电路的信号称为激励，而把经过电路传输和处理后的输出信号称为响应。 时域信号，在某一时间范围内有定义，其余为0；频域有限信号：在某一频率范围内有定义，其余频率为0 一、基本信号 1、指数信号（at Ee t f =)(） a 为实数
右图为单边指数衰减信号，与单边指数衰减信号相对应的为双边指数衰减信号，其表示式为t a Ee t f -=)(，波形为左右对称。 指数信号的一个重要特征是它对时间的微粉和积分仍然是指数形式 2、复指数信号（指数为复数，可以通过欧拉公式转化为正弦余弦函数） 其表达式为t j Ee t f )()(ωσ+=，可以借助欧拉公式将信号分解为： t jEe t Ee t f t t ωωσσsin cos )(+= σ>0时为增幅振荡，σ＝0时为等幅振荡；w 则表示正弦和余弦振荡的角频率。 复数指数在实际中生产出来，但它概况了多种情况，可以用它来描述上述的各种基本信号。Hia 可以利用复制数信号简化很多运算和分析。 正弦信号的拉普拉斯变换式为 2 2]s i n (ωω ω+= s A t A L 3、单位斜变信号 从某一时刻开始随时间正比增长的信号，且变化率为1。其表达 式为： ? ??≥<=)0() 0(0)(t t t t R 其拉普拉斯变换式 2/1)](1[s t t L =? 大型船闸匀速升降时，主拖动系统发出位置信号、数控机床加工斜面时的进给指令，均可看作斜坡作用。 4、单位阶跃信号（简称阶跃信号，电路中常用来测试系统响应的快慢） 其拉普拉斯变化式为 s t /1)](1[L = 其物理意义是，当u(t)作为电路的电源时，相当于该电路在 t ＝0时刻接入单位直流电源。还有指令的突然转换、负荷的突变均可视为单位阶跃作用。是评价系统动态性能时应用较多的一种典型作用。 阶跃信号可以表示任何矩形脉冲(门信号)。如右图可以表示为： x(t)=u(t-τ)-u(t-3τ)
第一章 信号及其描述自测题带答案石油大学机电检测
第一章信号及其描述自测题 1-2-1、描述周期信号的数学工具是______ B .傅氏级数 1-2-2、时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分_______ B .增加 1-2-3、模拟信号的特征是_________ B、独立变量和幅值都连续的信号 1-2-4、非电量电测法的优点有_________ A . 易检测 B . 易传输 C. 易处理 1-2-5、瞬态信号的频谱具有_______ C. 连续性 1-2-6、下列哪些是描述各态历经随机信号的主要特征参数_______ B .方差 D. 概率密度函数 1-2-7、相关函数和功率谱密度函数分别是从域上来描述随机信号 B、时间和频率 1-2-8 1-2-9、下列哪些说法是正确的_________。 A、连续信号的特征是变量的取值是连续的 D、模拟信号肯定是一个连续信号 1-2-10、关于信号的描述哪些是正确的_________。 A、信号是信息的表达形式，也是信息的载体 B、信号是一个个具体的物理量 D、信号是确定被测物属性的一种量值 1-2-11、一12位A/D转换器输入电压的范围为0~10V，其输出电平值（数字量）为2048，问对应的实际电压值为___________。 5 V
1-2-12、下列哪些是描述各态历经随机信号的主要特征参数_______ B .方差 D. 概率密度函数 1-2-13、对于余弦信号，按采样定理，采样时间间隔应____________，才能保证信号不失真。 C、小于10ms 1-2-14、下列哪些是傅里叶变换具有的持性 A 比例性 B 时移特性 C 时间尺度改变性 1-2-15、一个完整的A/D转换过程包括____________四个过程 B、采样、保持、量化、编码 1-2-16、对随机信号描述正确的是_________。 A、随机信号必须用概率和统计的办法来描述 B、其任何一次观察值的变动服从统计规律 D、其概率密度函数表示幅值落在指定区间内的概率 1-2-17、信号预处理主要是把信号变成适于数字处理的形式，主要包括_________。 A、电压幅值调理，以便于采样 B、必要的滤波，滤去高频噪声 C、隔离信号中的直流分量 1-2-19、瞬态信号x(t)的频谐为X（f),则x(kt)的频谱为 1-2-20 1-2-21