中考数学专题复习 圆的最值问题模型汇总

圆的最值问题

知识储备

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变得简单了，比如：如右图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．

类型一已知圆轨迹类

典例分析

【例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线L不经过点C，则AB的最小值为．

【例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）

A． B． C．3 D．2

【练习】

1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．19

4

B ．

245

C ．

5 D ．

2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，

线段EF 长度的最小值为 ．

3. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5

，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则线段MN 长的最大值为（ ）

A. 5

B. 2

5

C. 25

D.225

类型二 由定义构造辅助圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧． 常见题型：折叠问题 【确定圆心半径的方法】 ①圆心:折痕中的定点;

②半径:与定点(圆心)相连的(定)等长线段.

典例分析

【例2.1】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 ．

【例2.2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。

【练习】

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将∠EBF沿EF所在直线折叠得到F

B'的最小值为。

,则D

EB'

2.如图，在RtABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=3,点D是边BC的中点，点E是AB上任意一点（点E不与点B重合）沿DE翻折∠DBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的最小值为。

3.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线L是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线L折叠，点B的对应点是点B′．当PB=6时，在直线L变化过程中，求△AC B′面积的最大值．

4.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值

是．

类型三定角对定边

【知识回顾】直径所对的圆周角是直角．

【构造思路】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．【图形释义】

若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．

【解题关键】挖掘直角，确定定边．

典例分析

【例3.1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为．

【确定定边】

【例3.2】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．

【挖掘直角，确定定边】

【例3.3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．

【例3.4】如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC的长的最大值为.

1.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连

5．

接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是1-

2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是．

3.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．

【例1.11】如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．

【辅助圆+将军饮马】

【例3.6】如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC+PF 的最小值为2-132 _．

【辅助圆+相切】

【例3.7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD 于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是．

1.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、

B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，

则PM长度的最大值是．

类型四定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等．定边必不可少，而直角则一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．

当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．

【当定边所对定角为β的时候，以定边为弦，2β为圆心角构造圆】

典例分析

【例4.1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为．

【例4.2】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是．

1.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满

足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．．

2.如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C

是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分

线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动

路径长的比是．