2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）

一、选择题

1.已知集合A={x|x2?2x?3>0}，B=N，则集合(?R A)∩B中元素的个数为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()

2.若复数a+3i

1+2i

D. √13

A. ?6

B. 13

C. 3

2

)，f(x0)<0，则()

3.已知f(x)=sinx?tanx，命题p：?x0∈(0,π

2

)，f(x)≥0

A. p是假命题，￢p：?x∈(0,π

2

)，f(x0)≥0

B. p是假命题，￢p：?x0∈(0,π

2

)，f(x)≥0

C. p是真命题，￢p：?x∈(0,π

2

)，f(x0)≥0

D. p是真命题，￢p：?x0∈(0,π

2

4.已知程序框图如图，则输出i的值为()

A. 7

B. 9

C. 11

D. 13

5.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)

班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(

)

A. 18种

B. 24种

C. 48种

D. 36种

6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中

将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为

“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图

和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )

A. 1+√2

B. 1+2√2

C. 2+√2

D. 2+2√2

7. 设不等式组{x +y ≤4

y ?x ≥0x ?1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不

经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]

8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ?????? ?3CA ????? =2CB ????? ，则AM ?????? ?BM

?????? 的值为( )

A. ?15

2

B. ?2

C. 2

D. 15

2

9. 关于函数f(x)=3sin(2x ?π

3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )

A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1?x 2是π的整数倍

B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π

6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π

4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =?π

12对称

10. 设函数f(x)=mx 2?mx ?1，若对于x ∈[1,3]，f(x)

的取值范围为( )

A. (?∞,0]

B. [0,5

7)

C. (?∞,0)∪(0,57)

D. (?∞,5

7)

11. 设双曲线的方程为

x 2a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0)，

若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2?10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP|

|sinA?sinB|的值等于( )

A. 3

5

B. √7

3

C. 5

3

D. √7

12. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=

f′(1)2

，e 2x?2+x 2?2f(0)?x ，

g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)f(2)?g(2018) D. f(2)?g(2016)>g(2018) 二、填空题

13. 设a =∫(π

0cosx ?sinx)dx ，则二项式(a √x ?√x )6的展开式中含x 2项的系数为

______．

14. 若函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x?b),x≥0

(a,b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为______． 15. 已知三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为

2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为______．

16. 如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养

殖区?区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB ?

上，∠COA =θ，CD//OA ，其中AC ?

，半径OC

及线段CD 需要用渔网制成.若∠AOB =π

3，OA =1，则所需渔网的最大长度为______．

三、解答题

17. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2

+3a n +2，n ∈N ?．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若对?n ∈N ?，b n =(?1)n a n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．

18. 如图所示，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为直

角梯形，

AB//CD ，∠BAD =90°，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4. (1)求证：PC ⊥BD ；

(2)线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B ?DF ?C

的余弦值是√15

15？若存在，请找出点F 的位置；若不

存在，请说明理由．

19. 某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，

其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；

(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

20. 已知椭圆C 1：

x 2a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)的离心率为√

2

2

，右焦点F 是抛物线C 2：y 2=

2px(p >0)的焦点，点(2,4)在抛物线C 2上. (1)求椭圆C 1的方程；

(2)已知斜率为k 的直线l 交椭圆C 1于A ，B 两点，M(0,2)，直线AM 与BM 的斜率乘积为?1

2，若在椭圆上存在点N ，使|AN|=|BN ，求△ABN 的面积的最小值．

21. 已知函数f(x)=ae x +x 2?bx(a,b ∈R)，其导函数为y =f′(x).

(1)当b =2时，若函数y =f′(x)在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)设a ≠0，点P(m,n)(m,n ∈R)是曲线y =f(x)上的一个定点，是否存在实数

x 0(x 0≠m)使得f(x 0)?n =f′(x 0+m 2

)(x 0?m)成立？并证明你的结论．

22. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα

(t 为参数)，l 2：{

x =tcos(α+π

4)y =tsin(α+π

4)

(t

为参数)，其中α∈(0,

3π4

)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单

位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ?4cosθ=0．

(1)写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设l1，l2分别与曲线C交于点A，B(非坐标原点)，求|AB|的值．

23.设函数f(x)=|x?a|(a>0)．

(1)当a=2时，解不等式f(x)≥1?2x；

(2)已知f(x)+|x?1的最小值为3，且m2n=a(m>0,n>0)，求m+n的最小值．

答案和解析

【答案】 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C

7. A

8. B 9. D 10. D 11. C 12. C

13. 192 14. ?1 15. 2√3

16. π+6+2√3

6

17. 解：(1)6S n =a n

2

+3a n +2，n ∈N ?． n ≥2时，6a n =6S n ?6S n?1=a n 2+3a n +2?(a n?12+3a n?1+2)，化为：(a n +

a n?1)(a n ?a n?1?3)=0， ∵a n >0，∴a n ?a n?1=3，

n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．

∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴a n =1+3(n ?1)=3n ?2．

(2)b n =(?1)n a n 2

=(?1)n (3n ?2)2．

∴b 2n?1+b 2n =?(6n ?5)2+(6n ?2)2=3(12n ?7)=36n ?21．

∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+?…+n)?21n =36×n(n+1)2

?21n =

18n 2?3n ．

18. 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90°，∴∠EDC =∠BAD =90°，

∵DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴AB =ED ， ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ，

∵∠DBA +∠ADB =90°，∴∠DEH +∠ADB =90°，∴BD ⊥EC ，

又∵PH ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，∴BD ⊥PH ， 又∵PH ∩EC =H ，且PH ，EC ?平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，

又∵PC ?平面PEC ，∴PC ⊥BD ． 解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB ，

由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴

DH DA

=EH BA =DE

DB ，

∴EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵PH 、EC 、BD 两两垂直，

建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(?2,0，0)，P(0,0，4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意， ∵CF ????? 与CP ????? 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ????? =λCP ????? ， 解得F(0,4?4λ,4λ)，

设向量n ? =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量，且CP ????? =(0,?4,4)，CD ????? =(?2,?4,0)，

∴{n ? ?CP ????? =?4y +4z =0n

? ?CD ????? =?x ?2y =0，取x =2，得n

? =(2,?1,?1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m

??? =(0,λ,λ?1)，

∵二面角B ?DF ?C 的余弦值是√15

15，

∴|cos |=

|n ?? ?m ??? ||n ?? |?|m ??? |

=

√6?√2λ2?2λ+1

=

√15

15

， 由0≤λ≤1，解得λ=3

4， ∴CF ????? =3

4CP ????? ， ∵CP =4√2，

∴线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B ?DF ?C 的余弦值是√15

15．

19. 解：(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10

+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分)， 众数为75分．

(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33?C 51+C 32?C 2

2C 8

4=4

35，

P(ξ=3)=C 32?C 21?C 31+C 31?C 22?C 31+C 32?C 32+C 22?C 3

2C 8

4=

39

70

，

P(ξ=4)=

C 32?C 31?C 21+C 33?C 5

1C 8

4=

2370

．

∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×4

35+3×39

70+4×23

70=45

14．

20. 解：(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上，

∴16=4p ，

解得p =4，

∴椭圆的右焦点为F(2,0)， ∴c =2， ∵椭圆C 1：x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的离心率为√2

2

， ∴

c a

=

√2

2

， ∴a =2√2，

∴b 2=a 2?c 2=8?4=4， ∴椭圆C 1的方程为

x 28

+

y 24

=1，

(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=8y=kx+m

，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2?8=0， ∴x 1+x 2=?4km

1+2k 2，x 1x 2=

2m 2?81+2k 2

，

∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m

1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=

m 2?8k 21+2k 2

∵M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为?1

2

，

∴k1?k2=y1?2

x1?y2?2

x2

=y1y2?2(y1+y2)+4

x1x2

=m?2

2(m+2)

=?1

2

，

解得m=0，

∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，

由弦长公式可得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2?4x1x2=√32(k2+1)

1+2k2

，∵|AN|=|BN|，

∴ON垂直平分线段AB，

当k≠0时，设直线ON的方程为y=?1

k

x，

同理可得|ON|=1

2√32(

1

k2

+1)

2×1

k2

+1

=1

2

√32(k2+1)

k+2

，

∴S△ABN=1

2|ON|?|AB|=8√(k2+1)2

(k+2)(2k+1)

，

当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0<1

t

≤1，

则S△ABN=8√t2

(t+1)(2t?1)=8√1

?1

t2

+1

t

+2

=8√1

?(1

t

?1

2

)2+9

4

，

∴当1

t =2时，即k=±1时，S△ABN的最小值为16

3

．

21. 解：(1)当b=2时，f(x)=ae x+x2?2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x?2，(a∈R)，

由题意得ae x+2x?2=0，即a=2?2x

e x

，

令?(x)=2?2x

e ，则?′(x)=2x?4

e

=0，解得x=2，

当x<2时，?′(x)<0，?(x)单调弟增，

当x>2时，?′(x)>0，?(x)单调递减，

∴?(x)min=?(2)=?2

e2

，

∵当x=?1时，?(?1)=4e>0，当x>2时，?(x)=2?2x

e x

<0，

由题意得当a=?2

e2

或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．(2)由f(x)=ae x+x2?bx，得f′(x)=ae x+2x?b，

假设存在x0，

则有f(x0)=f′(x0+m

2)(x0?m)+n=f′(x0+m

2

)(x0?m)+f(m)，

即f(x0)?f(m)

x0?m =f′(x0+m

2

),(x0≠m)，

∵f′(x0+m

2)=ae x0+m2+2?x0+m

2

?b，

f(x0)?f(m)

x0?m =a(e x0?e m)+(x02?m2)?b(x0?m)

x0?m

=a(e x0?e m)

x0?m

+(x0+m)?b，

∴ae x0+m2+2?x0+m

2?b=a(e x0?e m)

x0?m

+(x0+m)?b，

即ae x0+m

2=

a(e x0?e m)

x0?m

，∵a≠0，∴e

x0+m

2=

e x0?e m

x0?m

，

令t=x0?m>0，则e t2?m=e t+m?e m

t

，

两边同时除以e m，得e t2=e t?1

t

，即te t2=e t?1，

令g(t)=e t?te t2?1，∴g′(t)=e t?(e t2+t

2e t2)=e t2(e t2?t

2

?1)，

令?(t)=e t2?t

2

?1在(0,+∞)上单调递增，且?(0)=0，

∴?(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=0，

∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，

∴ae x0+m2=a(e x0?e m)

x0?m

不成立，

同理，t=x0?m<0时，bngidnuu，

∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)?n=f′(x0+m

2

)(x0?m)成立．

22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π

4

(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ?4cosθ=0.即得ρ2?4ρcosθ=0，

利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ

得曲线C的直角坐标方程为(x?2)2+y2=4．

(2)因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π

4

)，

所以|AB|2=ρ12+ρ22?2ρ1.ρ2cosπ

4=16[cos2α+cos2(α+π

4

)?√2cosαcos(α+π

4

)]

=16[cos2α+1

2

(cosα?sinα)2?cosα(cosα?sinα)]=8，

所以|AB|的值为2√2．

23. 解：(1)当x≥2时，x?2≥1?2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2?x≥1?2x，得x≥?1，故?1≤x<2，

综上，不等式的解集是{x|x≥?1}；

(2)∵f(x)+|x?1|的最小值是3，

∴f(x)+|x?1|≥|x?a?(x?1)|=|a?1|=3，

故a=4，

∵m+n=m

2+m

2

+n≥33m

2

?m

2

?n=3，

当且仅当m

2

=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】

1. 解：A={x|x3}；

∴?R A={x|?1≤x≤3}；

∴(?R A)∩B={0,1，2，3}．

故选：C．

可先求出集合A ={x|x 3}，然后进行交集、补集的运算即可． 考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．

2. 解：由复数a+3i 1+2i =(a+3i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=

(a+6)+(3?2a)i

5

=

a+65

+

3?2a 5

i 是纯虚数，

则{a+65=03?2a

5

≠0

，解得a =?6．

故选：A ．

利用复数的除法运算化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．

3. 解：f(x)=sinx ?tanx ，x ∈(0,π

2)，当x =π

4时，∴f(x)=√2

2

?1<0， 命题p ：?x 0∈(0,π

2)，f(x 0)<0，是真命题，

命题p ：?x 0∈(0,π

2)，f(x 0)<0，则￢p ：?x ∈(0,π

2)，f(x)≥0．

故选：C ．

利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4. 解：当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =1，i =3； 当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =3，i =5； 当S =3时，不满足退出循环的条件，故S =15，i =7； 当S =15时，不满足退出循环的条件，故S =105，i =9； 当S =105时，不满足退出循环的条件，故S =945，i =11； 当S =945时，不满足退出循环的条件，故S =10395，i =13； 当S =10395时，满足退出循环的条件， 故输出的i =13， 故选：D ．

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班

级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21

=4，故有3×4=12种．

第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学

在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21

=4，这时共有3×4=12种，

根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．

分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．

本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；

正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，

其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱AD =1，

∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为

S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×1

2×1×1+2×1

2×1×√2=2+√2． 故选：C ．

由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积．

本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．

7. 解：

作出不等式组{x +y ≤4

y ?x ≥0x ?1≥0

表示的平面区域， 得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1)，

N(2,2)，P(1,3)

∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(?1,?1)为圆心，半径为r 的圆，

∴由图可得，当半径满足r CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，

∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5 ∴当02√5时，圆C 不经过区域D 上的点， 故选：A ．

作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(?1,?1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形，可得半径r CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．

8. 解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴CA ????? ?CB ????? =|CA ????? ||CB

????? |cos60°=92； 6CM ?????? ?3CA ????? =2CB ????? ； ∴CM ?????? =1

2CA ????? +1

3

CB ????? ； ∴AM

?????? =AC ????? +CM ?????? =?CA ????? +12CA ????? +1

3

CB ?????

=?1

2

CA ????? +13

CB ????? ，BM ?????? =BC ????? +CM ?????? =?CB ????? +12

CA ????? +13

CB ????? =12

CA ????? ?23

CB

????? ； ∴AM ?????? ?BM ?????? =(?12CA ????? +13CB ????? )?(12CA ????? ?2

3CB ????? ) =?14CA ????? 2+12CA ????? ?CB ????? ?29CB ????? 2

=?94+9

4

?2

=?2． 故选：B ．

根据条件可先求出CA ????? ?CB ????? =92，而由6CM ?????? ?3CA ????? =2CB ????? 即可得出CM ?????? =12CA ????? +13CB ????? ，这样即可用CA ????? ,CB ????? 分别表示出AM ?????? ,BM ?????? ，然后进行数量积的运算即可．

考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．

9. 解：函数f(x)=3sin(2x ?π

3)+1(x ∈R)，

周期T =

2π2

=π，

对于A ：由f(x 1)=f(x 2)=1，

可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的，此时x 1?x 2不是π的整数倍；∴A 不对． 对于B ：由诱导公式，3sin(2x ?π

3)+1=3cos[π

2?(2x ?π

3)]+1=3cos(2x ?5π6

)+1.∴

B 不对． 对于

C ：令x =

3π

4

，可得f(3π4)=3sin(2×3π4

?π3)+1=3×(?12)?1=?5

2，∴C 不对，

对于D ：当x =?π

12时，可得f(?π

12)=3sin(?π

6?π

3)+1=?1×3+1=?2， f(x)的图象关于直线x =?π

12对称． 故选：D ．

根据函数f(x)=3sin(2x ?π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项． 本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．

10. 解：由题意，f(x)

x 2?x+1的最小值为57， ∴若要不等式m <5x 2?x+1恒成立， 则必须m <5

7，

因此，实数m 的取值范围为(?∞,5

7)，

故选：D ．

利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值，即可求m 的取值范围．

本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．

11. 解：双曲线的一条渐

近线方程为y=b

a

x，

双曲线的渐近线被圆M：

x2+y2?10x=0，即

(x?5)2+y2=25所截

得的两条弦长之和为12，

设圆心到直线的距离为d，

则d=√25?9=4，

∴

√a2+b2

=4，

即5b=4c，

即b=4

5

c

∵a2=c2?b2=9

25

c2，

∴a=3

5

c，

∴|AP?BP|=2a，

由正弦定理可得AP

sinB =PB

sinA

=AB

sinP

=2R，

∴sinB=AP

2R ，sinA=BP

2R

，sinP=2c

2R

，

∴|sinP|

|sinA?sinB|=

2c

2R

|BP

2R

?AP

2R

|

=2c

2a

=5

3

，

故选：C．

根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5b

√a2+b2

=

4，得到5b=4c，即可求出a=3

5c，根据正弦定理可得|sinP|

|sinA?sinB|

=

2c

2R

|BP

2R

?AP

2R

|

=2c

2a

=5

3

本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f′(1)

2

e2x?2+x2?2f(0)?x，

令x=0，则f(0)=f′(1)

2e2

．

∵f′(x)=f′(1)?e2x?2+2x?2f(0)，

令x=1，则f′(1)=f′(1)+2?2f(0)，解得f(0)=1．

∴f′(1)=2e2．

∴f(x)=e2x+x2?2x，

∴f(2)=e4．

令?(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，

∴?′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，

∴函数?(x)在R上单调递减，∴?(2016)>?(2018)，

∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．

∴g(2016)>f(2)g(2018)．

故选：C．

f(x)=

f′(1)2

e 2x?2

+x 2?2f(0)?x ，令x =0，则f(0)=

f ′(1)2e 2

.由f′(x)=f′(1)?e 2x?2+

2x ?2f(0)，令x =1，可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令?(x)=e 2x g(x)，及其

已知g′(x)+2g(x)<0，可得?′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数?(x)在R 上单调递减，即可得出．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

13. 解：由于a =∫(π

0cosx ?sinx)dx =(sinx +cosx)|?0π=?1?1=?2，

∴(?2√x ?

1√x

)6

=(2√x +

1√x

)6

的通项公式为T r+1=26?r C 6r

?x 3?r ，

令3?r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26?1C 61

=192． 故答案为：192

根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题

得以解决．

本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x?b),x≥0

={ax 2+2ax,x <0x 2?bx,x≥0

为奇函数，

故f(?x)=?f(x)恒成立， 故{?b =2a a=?1

.即{b =2a=?1

， ∴f(x)=

{?x 2?2x,x <0x 2?2x,x≥0，

∴f(a +b)=f(1)=1?2=?1， 故答案为：?1．

由已知中函数f(x)为奇函数，f(?x)=?f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)

的值．

本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．

15. 解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，

即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =1

2

GC =1，

在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．

由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．

本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．

16. 解：

由CD//OA ，∠AOB =π

3，∠AOC =θ，得∠OCD =θ，∠ODC =2π

3

，∠COD =π

3?θ； 在△OCD 中，由正弦定理，得CD =2

√3sin(π

3?θ)，θ∈(0,π

3)， 设渔网的长度为f(θ)，

可得f(θ)=θ+1√3sin(π

3?θ)，

所以f′(θ)=1?√3cos(π

3?θ)，因为θ∈(0,π

3)， 所以π

3?θ∈(0,π3)，

令f′(θ)=0，得cos(π

3?θ)=√3，所以π

3?θ=π

6，所以θ=π

6．

所以f(θ)∈(2,

π+6+2√3

6

]. 故所需渔网长度的最大值为

π+6+2√3

6

． 确定∠COD ，在△OCD 中利用正弦定理求得CD 的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．

本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．

17. (1)6S n =a n

2

+3a n +2，n ∈N ?.n ≥2时，6a n =6S n ?6S n?1，化为(a n +a n?1)(a n ?a n?1?3)=0，由a n >0，可得a n ?a n?1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，

且a 1<2，解得a 1.利用等差数列的通项公式可得a n ．

(2)b n =(?1)n a n 2

=(?1)n (3n ?2)2.b 2n?1+b 2n =?(6n ?5)2+(6n ?2)2=3(12n ?7)=36n ?21.利用分组求和即可得出．

本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18. (1)推导出△BAD≌△EDC ，∠DBA =∠DEH ，从而BD ⊥EC ，由PH ⊥平面ABCD ，得BD ⊥PH ，由此能证明BD ⊥平面PEC ，从而PC ⊥BD ．

(2)推导出PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分

别为x ，y ，z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B ?DF ?C 的余弦值是√15

15．

本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19. (1)把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； (2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．

本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．

20. (1)先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2+2y 2=8y=kx+m

，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为?1

2，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．

21. (1)当b=2时，f(x)=ae x+x2?2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x?2，(a∈R)，

由题意a=2?2x

e x ，令?(x)=2?2x

e x

，则?′(x)=2x?4

e x

=0，解得x=2，由此能求出当a=?2

e2

或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．

(2)由f(x)=ae x+x2?bx，得f′(x)=ae x+2x?b，假设存在x0，则f(x0)?f(m)

x0?m

=

f′(x0+m

2

),(x0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)?n=

f′(x0+m

2

)(x0?m)成立．

本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．

22. (1)考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t．

(2)利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．

考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．

23. (1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．