高考物理专题汇编物理万有引力与航天(一)含解析

高考物理专题汇编物理万有引力与航天(一)含解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：

（1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R

m

-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】

（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l

在最高点：2

22mv F mg l += ① 在最低点：2

11mv F mg l

-= ② 由机械能守恒定律，得

221211222

mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1

2

6F F g m

-= （2）

2

GMm

mg R

= 2GMm R =2

mv R

两式联立得：12()6F F R

m

-

（3）在星球表面：2

GMm

mg R = ④ 星球密度：M

V

ρ=

⑤ 由④⑤，解得12

8F F GmR

ρπ-=

点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．

2．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自O 点竖直上抛，经t 时间上升到最高点，OP 间的距离为h ，已知引力常量为G ，星球的半径为R ；求：

（1）该星球表面的重力加速度g ； （2）该星球的质量M ； （3）该星球的第一宇宙速度v 1。

【答案】（1）22h

g t

= （2）22

2hR Gt （32hR 【解析】（1）由竖直上抛运动规律得：t 上=t 下=t

由自由落体运动规律： 212

h gt = 22h g t

=

（2）在地表附近： 2Mm

G

mg R

= 22

2

2gR hR M G Gt ==

（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得： 212v Mm G m R R

=

12GM

hR

v R t

=

=

点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。

3．某双星系统中两个星体A、B 的质量都是m，且A、B 相距L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论

值T0，且=k (），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体C 的影响，并认为C 位于双星A、B 的连线中点．求：

(1)两个星体 A、B组成的双星系统周期理论值；

(2)星体C的质量．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】

(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:

可得：

两星绕连线的中点转动,则

解得：

(2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则

再结合：=k

可解得：

故本题答案是：（1）；（2）

【点睛】

本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.

4．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点，已知月球半径为R，引力常数为G．

(1)求月球的密度．

(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？

【答案】（1）032v GRt π （2【解析】 【详解】

(1)由匀变速直线运动规律：02

gt

v = 所以月球表面的重力加速度0

2v g t

=

由月球表面，万有引力等于重力得

2

GMm

mg R

= G

gR M 2

= 月球的密度03=

2v M V GRt

ρπ= (2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：2

v mg m R

=

可得：v =

5．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23

2

4r GT π

【解析】 【分析】

双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】

对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22

122Mm G

M r m r r

ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22

2GM r r ω=；

其中2T

π

ω=

，r=r 1+r 2；

三式联立解得：23

2

4r M m GT

π+= 【点睛】

解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．

6．2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射．标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平．飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道．已知地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，引力常量为G ，求： (1)地球的质量；

(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期T ．

【答案】(1)G

gR M 2

=(2)2T =【解析】 【详解】

(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有2Mm

G

mg R

= 解得：G

gR M 2

=

(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r ，则据题意有：r R h =+

飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：2

224πMm G m r r T

=

解得：2T =

7．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后F

k mg

=

称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）

(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）

(2)求地球的笫一宇宙速度；

(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）

【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =? (3)T =5420s 【解析】

(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；

(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值． 【详解】

(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma 即：6mg -mg ＝ma 解得：a ＝5g

(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，

由万有引力提供向心力得：2

v mg m R

=

所以：639.8 6.410m/s 7.9210m/s v gR =

=??=?

(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：2

22()Mm G m r T

π= 在地面上万有引力等于重力：2

Mm

G

mg R = 解得：2363

262

44(6.710)s 5420s (6.410)r T gR π??===?

【点睛】

本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．

8．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A 是地球的同步卫星，已知地球半径为R ，地球自转的周期为T ，地球表面的重力加速度为g,求：

（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G )

【答案】（122

32

4gR T

R π

（2）34g GR π 【解析】

【详解】

（1）设地球质量为M ，卫星质量为m ，地球同步卫星到地面的高度为h ，同步卫星所受万有引力等于向心力为

()222

4()R h mM

G m R h T

π+=+ 在地球表面上引力等于重力为

2

Mm

G

mg R = 故地球同步卫星离地面的高度为

h R =

（2）根据在地球表面上引力等于重力

2

Mm

G

mg R = 结合密度公式为

2

33443

gR M g G V GR R ρππ===

9．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)人造卫星的角速度； (2)人造卫星绕地球转动的周期； (3)人造卫星的向心加速度． 【答案】（1）

R h ω

+（2）2T R h π=+（3）()2 GM a R h =+ 【解析】 【分析】

根据万有引力提供向心力2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r

πω====求解角速度、周期、向

心加速度等。 【详解】

（1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G

()

2

mM

R h +＝m ω2(R +h )，

解得卫星角速度R h ω+

故人造卫星的角速度R h ω+

（2）由()

2

2

24Mm

G

m R h T R h π=++（）

得周期2T R h π=+（

故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G

()

2 mM

R h +=m a 可解得，向心加速度a=

()

2

GM

R h +

故人造卫星的向心加速度为()

2

GM

R h +．

【点睛】

解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即

2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r πω====.

10．2017年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步，中国航天空间站预计2022年建成。建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。已知地球质量为M ，空间站的质量为m 0，轨道半径为r 0，引力常量为G ，不考虑地球自转的影响。 （1）求空间站线速度v 0的大小；

（2）宇航员相对太空舱静止站立，应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零；

（3）规定距地球无穷远处引力势能为零，质量为m 的物体与地心距离为r 时引力势能为Ep=-

GMm

r

。由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用，长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径慢慢减小到r 1（仍可看作匀速圆周运动），为了修正轨道使轨道半径恢复到r 0，需要短时间开动发动机对空间站做功，求发动机至少做多少功。

【答案】(1) 00GM

v r =；(2)0；(3) 10

22GMm GMm W r r =- 【解析】 【详解】

解：(1)空间站在万有引力作用下做匀速圆周运动，则有：

2

000

200

GMm m v r r = 解得：00

GM

v r =

(2)宇航员相对太空舱静止，即随太空舱一起绕地球做匀速圆周运动，轨道半径与速度和太空舱相同，此时宇航员受万有引力和太空舱的支持力，合力提供向心力

设宇航员质量为m ，所受支持力为N F ，则有：2

000

2

00

N GMm m v F r r -= 解得：0N F =

根据牛顿第三定律，宇航员对太空舱的压力大小等于太空舱对宇航员的支持力，故宇航员对太空舱的压力大小等于零

(3) 在空间站轨道由1r 修正到0r 的过程中，根据动能定理有：22

011122

W W mv mv +=-万 而：10

()GMm GMm

W r r =-

--万 2

1211

mv GMm r r = 联立上述方程解得：10

22GMm GMm

W r r =

-