全等三角形综合(一)

第9讲全等三角形综合（一）

小测试总分10分得分___________

1．（4分）如图，已知DO ⊥AB ，OA ＝OD ，OB ＝OC ，求∠OCE ＋∠B ＝_________°． 2．（6分）已知，△ABC 与△MNP 中，满足下列（）组条件，一定能说明△A B C ≌△MNP ．

A ．∠A ＝30°，AC ＝5，∠C ＝70°，∠M ＝30°，MN ＝5，∠P ＝70°

B ．∠A ＝30°，∠B ＝70°，A

C ＝5，∠M ＝30°，∠P ＝70°，MP ＝5 C ．AC ＝5，∠B ＝80°，AB ＝6，MP ＝5，∠N ＝80°，MN ＝6

D ．∠A ＝30°，AC ＝5，∠C ＝70°，∠M ＝30°，MP ＝5，∠N ＝80°

【教学目标】

1．能熟练利用全等三角形的判定及性质判断两个三角形全等；

2．能够熟练利用全等三角形证明两个角或线段相等；

3．能够结合题目特点适当的添加辅助线，证明两个三角形全等或两个角相等或线段相等．

【教学重难点】

重点：巩固全等三角形的判定及性质；难点：作辅助线证明三角形全等．【例1】已知：如图，线段AD=CB ，AB=CD ，求证：∠B=∠D ．

【例2】已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，G 点恰好落在BC 边上，求证：BC ＝AB ＋DC ．

【例3】如图，在锐角△ABC 中，∠ACB ＝45°，AB ＝1，分别以A 、B 为直角顶点，向△ABC

外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线AB 的垂线，垂足为M 、N ．求证：EM ＋FN ＝AB ；

B C

A D

B E G

图 1A O

【例4】如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB 于点D ，将△CDB 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜90°，如图2），得到△EDF ，连接AE 、CE ，求∠AEC 的度数．

作CK ⊥CE 交AE 于K

则∠KCE ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACK ＝∠BCE 由题意，DE ＝AD ＝DB

∴∠AED ＝∠EAD ，∠DEB ＝∠DBE

∵∠AED ＋∠EAD ＋∠DEB ＋∠DBE ＝180° ∴∠AED ＋∠DEB ＝90°，即∠AEB ＝90° ∵∠ACB ＝90°，∴∠CAK ＝∠CBE 又AC ＝BC ，∴△ACK ≌△BCE ∴CK ＝CE ，∴∠AEC ＝45°

【例5】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠FBC ＝∠ECB ＝

∠A ，求证：BE ＝CF ．

证明：作BG ⊥CE 于G ，CH ⊥BF 于H 先证△BCG ≌△CBH ，得BG ＝CH 而∠BEG ＝∠ABC ＋∠ECB ＝∠ABC ＋

∠A

∠CFH ＝∠A ＋∠ABF ＝∠A ＋∠ABC －∠FBC

C A B

D G E

F 图2 C A B D 图1 C

G H

A B E

＝∠A ＋∠ABC －

1 2 ∠A ＝∠ABC ＋

∠A

∴∠BEG ＝∠CFH

则△BEG ≌△CFH ，得BE ＝CF

【例6】如图，DA ⊥AB ，CF ⊥AB ，EB ⊥AB ，DA ＝BF ，EB ＝AF ，CF ＝AB ，求证：∠ACB ＋∠DCE ＝90°．

证明：连接AE 、BD ∵EB ＝AF ，∠EBA ＝∠AFC ＝90°，AB ＝CF

∴△EAB ≌△ACF

∴AE ＝AC ，∠EAB ＝∠ACF

∵∠ACF ＋∠CAF ＝90°，∴∠EAB ＋∠CAF ＝90°

即∠EAC ＝90° ∴∠ACE ＝45°

同理，∠BCD ＝45°

∴∠ACB ＋∠DCE ＝45°＋∠BCE ＋45°－∠BCE ＝90°

【例7】（1）如图1，AB ＝AC ，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC ＝180°，点A ，E ，F 在一条直线上，△ABE 与△CAF 全等吗？请说明理由；

（2）如图2，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC

＞BC ，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC ＝180°，点A ，F ，E ，D 在一条直线上，点D 在BC 边上，CD ＝2BD ．若△ABC 的面积为39，则△ABE 与△CDF 的面积之和为_________．

解：（1）△ABE ≌△CAF

理由：∵点A ，E ，F 在一条直线上，

∴∠1＋∠BEF ＝180° 又∵∠1＋∠BAC ＝180°，∴∠BEF ＝∠BAC ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠FAC ，∠BEF ＝∠BAF ＋∠B ∴∠FAC ＝∠B 又∵∠1＝∠2，BA ＝AC ∴△ABE ≌△CAF （2）26

【例8】已知：△ABC 中，∠ABC ＝45°，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于点F ．（1）求证：BF ＝AC ；（2）连接DE ，求证：DE 平分∠ADB ．

（1）∵∠ABC ＝45°，CE ⊥AB 于E ∴△BEC 是等腰直角三角形，∴BE ＝CE

A B D E C F

A B

E C

F B A

C E F

1 2

B A

C 2 1 F E

D 图1 图2

A D

∵∠EBF ＋∠A ＝90°，∠ECA ＋∠A ＝90°

∴∠EBF ＝∠ECA 又∵∠BEF ＝∠CEA ＝90°，∴△BEF ≌△CEA

∴BF ＝AC （2）过E 作EG ⊥BD 于G ，EH ⊥AC 于H

∵BE ＝CE ，∠EBG ＝∠ECH ，∠BFE ＝∠CHE ＝90°

∴△BEG ≌△CEH ，∴EG ＝EH

【例9】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 为BC 边上一动点，分别过点B 、C 作AP 的垂线，垂足分别为D 、E ．求证：①CE ＝DE ；②AD －BD ＝2CE ；

（1）①连接CD ，过C 作CG ⊥CD 交AE 于G

∠ACB ＝90°，∴∠ACG ＝∠BCD

∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∠APC ＝∠BPD

∴∠CAG ＝∠CBD

又AC ＝BC ，∴△ACG ≌△BCD

∴CG ＝CD ，∴△CGD 是等腰直角三角形 ∴CE ＝DE

②∵△CGD 是等腰直角三角形

∴GD ＝2CE ∵△ACG ≌△BCD ，∴AG ＝BD

∴AD －BD ＝AD －AG ＝GD ＝2CE

【例10】已知：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，CF 、DE 分别平分∠ACB 、∠ADC ，CF 分别交DE 、AD 、AB 于点M 、N 、F ，DE 交AC 于点E . 求证：（1）CN ＝2AF ；（2）CN ＝2FM .

【家庭作业】

已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 在BC 边上（P 不与B 、C 重合）或点P 在△ABC 内部，连接CP 、BP ，将CP 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ；将BP 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BD ，连接ED 交AB 于点O ．

（1）如图1，当点P 在BC 边上时，求证：OA ＝OB ；

（2）如图2，当点P 在△ABC 内部时， OA ＝OB 是否成立？请说明理由．

B D

E F

C A B E P D

B E

P D G

（1）证明：由已知得：CP ＝CE ，BP ＝BD ，E 在AC 上，∠PBD ＝90° ∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90° ∴AC ＝BC ，∠ACB ＋∠PBD ＝180° ∴AC －CE ＝BC －CP ，AC ∥BD

∴AE ＝BD ，∠A ＝∠OBD ，∠AEO ＝∠D ∴△AOE ≌△BOD ∴OA ＝OB

（2）①OA ＝OB 成立

理由如下：连接AE

∵∠ACE ＝∠BCP ＝90°－∠ACP ，CE ＝CP ，CA ＝CB ∴△ACE ≌△BCP ∴AE ＝BP ，∠CAE ＝∠CBP

∴AE ＝BD ，∠EAO ＝∠CAO ＋∠CAE ＝45°＋∠CBP

∠OBD ＝90°－∠OBP ＝90°－(

45°－∠CBP

)＝45°＋∠CBP ∴∠EAO ＝∠OBD

又∵∠AOE ＝∠BOD ，∴△AOE ≌△BOD

∴OA ＝OB

图1 图2

O D A

P E

A B