特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式

一.特征方程类型与解题方法

类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn

特征方程为 X 2

=aX+b 解得两根X 1 X 2

(1)若

X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2

n

(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n

(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为

特征方程为X =

d

c b a X X ++ 解得两根X 1 X 2

(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=2

1

x d cA b aA x d cA b

aA n n n n -++-++=k

2

1x A x A n n --

接着做代换B n =2

1

x A x A n n -- 即成等比数列

（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x

d cA b aA n n -++1

=k+x

A n -1

接着做代换B n =x

A n -1

即成等差数列

(3)若为虚数根，则为周期数列

类型三 递推公式为

特征方程为X =d

c b ax X ++2

解得两根X 1 X 2 。然后参照类型二的方法进行整理

类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k

(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k n

k

(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k

则A n=X n Q n

)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n

s

)( ，

其中)(n Q i

=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1

-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）

二.特征方程的推导及应用

类型一、p ，q 均为非零常数）。

先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足

??

?-==+q

x x p

x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。 1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。 2）

如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。公比为2x ，

所以1

2

11211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：

)(1122

2

211

2

1a x a x a x x x a n n

n n -=-

--+， ( I )又如果x x x ==21，则{

1

2

1-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，

所以

))(1(1

1122

1

2

1a x a n a x a n n --+=

-+， 即：1

211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a

1

22

11222])()2([

---+=n n x x a x a n x a a

Ii)如果21x x ≠，则令

11

2

1+-+=n n n b x a ，

A x x =2

1

，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式 2

12

11212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n ---

--=

- 所以2

22

1211212121221])()()1([

-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：

1

22

1211112121)1(----+--=

n n n x x x a x a x x x x a a ，

小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列

{}n a ，方程02=--q px x ，为特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，

数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

简例应用（特征根法）：

例1：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,

解：特征方程是：02532

=+-x x 3

2,121=

=x x , ∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是???-=-=???

?

??+=+=)(3233

2b a B a b A B

A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例2：设p 、q 为实数，α、β是方程x 2

-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足

x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)求数列{x n }的通项公式。

解： 显然x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x 2

-px+q=0，而α、β是方程

x 2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：

⑴ 当α=β时，设1)(-+=n n Bn A x α，因为x 1=p,x 2=p 2

-q ，所以

???-=+=+q p B A p B A 2)2(α 解得???

????--=+-=ααααp

q P B q

P P A 2

22 ∴=n x 222})(2{---++-n n p q p q p p ααα

⑵ 当βα≠时，设11--+=n n n B A x βα，因为x 1=p,x 2=p 2

-q ，所以

???

-=+=+q

p B A p B A 2

βα 解得αββ----=q p p A 2，αβα---=q p p B 2 ∴=n x 12-----n q p p ααββ+1

2----n q p p βα

βα

类型二、

解法：如果数列}{n a 满足：已知1a ，且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、

h 均为常数，且r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,如果01x a =则0x a n =；如果01x a ≠则01n a x ?

?

?

?-??

是等差数列。当特征

方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ??

-??-??

是等比数列。

（证明方法如同类型一，从略）

例1：已知数列}{n a 满足：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解: 数列}{n a 的特征方程为,3

24

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有

.N ,)2

21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51

(521∈-=-n c n n

∴.N ,1)5

1(521

)51

(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a n

n n

例2：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

25

131+-=+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a

（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？ 解：作特征方程.3

25

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r

n a b n --+-=

)

1(1151131)1(5

31?-?-+-=n ,8

1

21-+-

=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5

17

51--=

+=

n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8

1

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=

λλ

令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知，51=a 时，}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，有.N ,8

1

51)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,1

13

51∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当1

13

51--=

n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在。 于是知：当1a 在集合3{-或,:1

13

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在。

例3: 数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

11≥-=

n a b n n

求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解：由已知,得n

n n a a a 816521-+=

+,其特征方程为x x x 81652-+=解之得,211=x 或45

2=x

∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,n

n n a a a 816)45

(12451--=-+ ∴

452121452111--?=--

++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(4521

4521111-=?-

-

=---∴42521++=-n n n a )1(34

231≥+?=n b n n ,1212

11+=-

=n n n n n b b a a b 得由

n n n b a b a b a S +++= 2211故

121()2n b b b n

=++++ 1

(12)

53123

n n -=+-1(251)3n n =+-

例4：各项均为正数的数列{}n a 中

都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==

=

+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++， 当时，求通项54

,21==b a n a 解：由

=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++得=

+++)1)(1(11a a a a n n )

1)(1(212

1a a a a n n +++-- 化间得2

1211++=

--n n n a a a ，作特征方程21

2++=x x x ，11=x ，12-=x 。

所以

1

1

311111+-=

+---n n n n a a a a n n n a a 3

1

11-=+- 1313+-=n

n n a