培优讲义01：相似三角形(一)解析
第一讲相似三角形（一）
A、相似多边形是全等多边形
B、不全等的多边形不是相似多边形
C、全等多边形是相似多边形
D、不相似的多边形可能是全等多边形
1、下列说法中正确的是（）
A、两个三角形不全等，那么它们也不相似
B、两个三角形不相似，那么它们也不全等
C、两个相似三角形一定不全等
D、两个全等三角形一定不相似
例2、观察下面的图形，如图形状相同的有。
2、（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）
A、平移
B、旋转
C、对称
D、相似
3、某图纸的比例尺是1：20，图中零件长是32 mm，则加工的零件实际长为________cm。
例4、下列各组线段中，能组成比例线段的是（）
A、3、6、7、9
B、2、5、6、8、
C、3、6、9、18
D、1、2、3、4
4、如图，
AB
BC
=________，
AB
CD
=________，
BC
DE
=________，
AC
CE
=________，
AC
CD
=________，
CD
DE
=________，图中成比例的线段的是________________________________。
5、已知AB=0.5m，BC=25cm，A’B’=20cm，B’C’=10cm，问AB、BC、A’B’、B’C’是否成比例线段？
知识点二：成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
（1）若四条线段a、b、c、d成比例，则记作
a c
b d
=或::
a b c d
=。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。（2）四条线段a、b、c、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，c、d的单位一致也可以）
（3）判断四条线段是否成比例：
①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；
②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
（4）拓展：比例式中，
a c
b d
=或()
a b c d
=
：：中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，如果b c
=，那么b叫做a、d的比例中项。把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
知识点一：图形的相似
形状相同的图形叫做相似图形。
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例5、△ABC 的三边长分别为2、10、2，△DEF 的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△DEF ，那么△DEF 的第三边长为（ ）
A 、22
B 、2
C 、2
D 、22
6、一个多边形的边长分别是4 cm 、5 cm 、6 cm 、4 cm 、5cm ，和它相似的一个多边形最长边为8 cm ，那么这个多边形的周长是（ ）
A 、12 cm
B 、18 cm
C 、32 cm
D 、48 cm
7、Rt △ABC 的两条直角边分别为3 cm 、4 cm ，与它相似的Rt △A'B'C'的斜边为20 cm ，那么Rt △A'B'C'的周长为（ ）
A 、48 cm
B 、28 cm
C 、12 cm
D 、10 cm 8、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）
A 、2：1
B 、4：11
C 、2：1
D 、1.5：1 9、两个相似三角形的对应高的比为1：2，其中小三角形的最长边为10 cm ，那么另一个三角形的最长边为________。
10、如图所示，已知矩形ABCD ，AB=6 cm ，BC=8 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE=DF=4 cm ，两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动。猜测当M 、N 运动多长时间时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似？
11、观察图中的三个矩形，其中属于相似形的是（ ）
A 、甲和乙
B 、甲和丙
C 、乙和丙
D 、三个矩形都不相似 12、小华在一块一边靠墙，长为6 m ，宽为4 m 的矩形的小花园周围栽种了一种蝴蝶花作装饰，这种蝴蝶花的边框宽为 20 cm ，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？
例6、下列各组图形：① 两个平行四边形；② 两个圆；③ 两个矩形；④ 有一个内角都是80°的两个等腰三角形；⑤ 两个正五边形；⑥ 有一个内角是100°的两个等腰三角形。其中一定是相似形的是 （填序号）。
13、下列多边形中，一定相似的是（ ）
A 、两个矩形
B 、两个菱形
C 、两个正方形
D 、两个平行四边形
14、下列说法正确的是（ ）
知识点四：判断两个多边形相似
判断两个多边形相似，必须同时具备：
（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
知识点三：相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
A 、两个等腰三角形相似
B 、所有的等腰梯形相似
C 、两个等腰直角三角形相似
D 、所有的正多边形相似
15、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形相似 B 、所有的等腰梯形相似
C 、两个等腰直角三角形相似
D 、所有的正多边形相似
16、下列说法中，错误的是（ ） A 、所有的等边三角形都相似 B 、和同一图形相似的两图形也相似 C 、所有的等腰直角三角形都相似
D 、所有的矩形都相似 （1）求证：CDF BGF △∽△；
（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，
求CD 的长。
17、（2011年黄冈浠水模拟）如图，AB//CD ，AE//FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中
共有相似三角形（ ）
A 、4对
B 、5对
C 、6对
D 、7对
18、如图，在△ABC 的边AB 、AC 、BC 上分别取点E 、D 、F ，使四边形AEDF 是一个菱形，
若AB=15 cm ，BC=12 cm ，那么菱形的边长是多少？
19、（2009年崇左）如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G 。求证：13GE GD CE AD ==。
20、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。
（1）求证：△EDM ∽△FBM ；
知识点五：相似三角形
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。三角形相似具有传递性。
2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：
相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
考点一：相似三角形的判定1：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（基本不用）
考点二：相似三角形的判定2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）若DB=9，求BM。
（3）若△BFM的面积为1，求梯形的面积。
考点三：相似三角形的判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例8、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
21、判断图中两三角形是否相似，简单说明理由。
22、（2011杭州模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
考点四：相似三角形的判定4：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
求证：△ADQ∽△QCP。
23、（2011江苏无锡）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四
A、B、C、D、
个三角形。若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A、①和②相似
B、①和③相似
C、①和④相似
D、②和④相似
24、如图，BC平分∠ABD，AB=12，BD=15，当BC=________时，△ABC∽△CBD。
第23题图第24题图
25、如图，△ABC中，D是BC上一点，已知AC=15，BC=9，CD=3，在AC上找一点E，使△CDE与原三角形相似，求CE的长。
26、如图，点T在O上，延长O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=l2，PB=8。
（1）求证：△PTB∽△PAT；
（2）求证：PT为圆O的切线；
（3）在弧AT上是否存在一点C，使得BT2=8TC?若存在，请证明；若不存在，请说明理由。
考点五：相似三角形的判定5：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（1）求证：△DEC∽△BDA；
（2）若正三角形的边长为4，并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式。
27、（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论。
相似三角形培优拔高题(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第一讲 相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长 为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO
7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案
九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案 一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， 当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN?MN=2，
相似三角形培优训练含答案
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案
中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
相似三角形培优难题集锦(含答_案)
一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
初三相似三角形的判定培优同步讲义
初三相似三角形的判定培优同步讲义 学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 (一)相似三角形的概念 对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 1、相似三角形是相似多边形中的一种; 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; 3、相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; 4、母子型:已知∠ACB=90°,AB ⊥CD ,则△CBD ∽△ABC ∽△ACD . 5、斜交型: 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。 (有“反 A 共 角型”、“反 A 共角共边型”、 “蝶型”)b5E2RGbCAP 6、垂直型:有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂 直型”) 考点 1:三角形相似判定方法的运用 例 1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点 D ,则图中相似三角形共有( ) A .1 对 B .2 对 C .3 对 D .4 对 p1EanqFDPw 例 2、如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( ) A .∠ABD=∠ACB B .∠ADB=∠ABCDXDiTa9E3d C .AB 2 =AD?AC D .= 典例分析 A B C D A B C D E 12 A
A B B C C D D E E 124 1 2 E C B D A B C D E A E
( )
A D C B 例 3、已知:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E 是 BC 的中点,连接 AE、 AC.RTCrpUDGiT (1)点 F 是 DC 上一点,连接 EF,交 AC 于点 O(如图 1),求证:△AOE∽△COF; (2)若点 F 是 DC 的中点,连接 BD,交 AE 与点 G(如图 2),求证:四边形 EFDG 是菱形. 例 4、如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=,在 AC 边上截取 AD=BC,连接 BD. (1)通过计算,判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数. 考点 2:网格图中相似三角形的判定 例 1、下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是() A.B.C.D. 实战演练 课堂狙击 1、下列命题中,是真命题的为() A.锐角三角形都相似
【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质
专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题） 解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A
【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =， 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题） 解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到： ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=； ④ 2ABC S =△. 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案
2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案 一、相似 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x=﹣； （2）解：存在，∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即，解得：t= ； ②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或； （3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2， 当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即 （2＜t＜）． 综上所述： 【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。 （2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可； ②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。 （3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。 2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点
相似三角形的综合应用(培优提高)
相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4
相似三角形培优题
1.（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= 2.（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（） 3.（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（） 4.（2013?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（） A． 2 B．或C．或D． 2或或 5.（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A， ∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（） A．B．C．D．
6.（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ． 7.（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8.（2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 9.（2013台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（） A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙 10、（2013?黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是． 11、（2013?牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．
相似三角形培优训练(含答案)之令狐文艳创作
相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
相似三角形培优专题
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
相似三角形培优
相似三角形综合培优题型 基础知识点梳理： 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是 d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、 d 的比例中项， 此时有2b ad =。 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． 知识点4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边( 的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. B
相似三角形培优题
相似三角形培优题 1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论: ①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２ =PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点. 其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３ Ｄ.2 2、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ） 3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ ) 4、如图，在?ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ． 3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ． ８ 6、如图,在?ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= .. 7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( ) A . 1:3 B ． 2:3 C ． １：4 D ． ２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( ) Ａ．a ? B. ? C. D ． 9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７?C ．18?D ．19 １0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ ) １1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ． （6，3) C . （6，５） D ． （4,２) 1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中 阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（ ） A . B ． 12 C ． D ． １3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（ ） A.２ B ． ２.5或３．5 C. 3．5或4.５ D ． ２或3．5或４.５ A ． B ． C . D ．
第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义
相似之类比探究（讲义） 一、 知识点睛 ● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由 简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路 解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提． ● 类比探究中的常见结构 平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型； 直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形． 二、 精讲精练 1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如 下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若 3AF EF =，求CD CG 的值． （1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ， 则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数 量关系是_____________，CD CG 的值是_________． （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF m EF =（m >0） ， 则CD CG 的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出 解答过程． 图3 B F E C D A 图2 A D E F G 图1A B C D E F G
（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =， BC b BE =（a >0，b >0） ，则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）． 2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件： （1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM DM 的值 为___________； ②在平移过程中，AM DM 的值为___________（用含x 的代数 式表示）． （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算 AM DM 的值． （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤， 原题中的其他条件保持不变，如图4 所示，请计算AM DM 的值（用含x 的代数式表示）． 如图1，两个等腰直角三角板 ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2 ．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ． 图2 l 图1 图4 图3 图3 F E C D A
中考数学相似(大题培优)附答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ． （1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD； （2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ． 【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ; ②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°， ∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP， (本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP) （2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可 得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答
相似三角形培优训练[含答案解析]
] 相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． ￥ 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． < 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 【 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度 向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似若能，求出AP的长；若不能说明理由．
相似三角形培优精彩试题
1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长．
3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边A D C D 、上的点，1 4 A E E D D F D C ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：AB E DE F △∽△； （2）若正方形的边长为4，求B G 的长． A E D F B C 图（4）
5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） B 图（5） 图１ Ｅ G Ｂ A C F D Ｃ D F 图２ 第6题图