2003考研数三真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x x

x λ

?≠?

=?=??若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是.

(2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=

2b .

(3) 设0a >，，

x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤???==而D 表示全平面，则

??-=D

dxdy x y g x f I )()(=

.

(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=，

T a

E B αα1

+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .

(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

.

(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞

→n 时，∑==n i i n X n Y 1

2

1依概率收敛于

.

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x

x f x g )

()(=

( ) (A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.

(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.

(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.

(3) 设2

n

n n a a p +=

，2

n

n n a a q -=

，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )

(A) 若∑∞

=1n n a 条件收敛，则∑∞

=1n n p 与∑∞

=1n n q 都收敛.

(B) 若∑∞

=1

n n a 绝对收敛，则∑∞

=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 都收敛.

a b =(C) 若∑∞=1

n n a 条件收敛，则∑∞=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 敛散性都不定.

(D) 若∑∞=1

n n a 绝对收敛，则∑∞=1

n n p 与∑∞

=1

n n q 敛散性都不定.

(4) 设三阶矩阵????

?

?????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( )

(A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠.

(C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠.

(5) 设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )

(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s

ααα,,,21Λ线性无关.

(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有

.02211=+++s s k k k αααΛ

(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正

面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( ) (A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.

三 、(本题满分8分)

设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=

+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,2

1[上连续.

四 、(本题满分8分)

设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12

222=??+??v f u f ，又)](2

1,[),(22

y x xy f y x g -=, 求.2

222y g

x g ??+??

五 、(本题满分8分)

计算二重积分

.)sin(22)

(22

dxdy y x e I D

y x

+=??-+-π

其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤

六、(本题满分9分)

求幂级数∑∞

=<-+1

2)1(2)1(1n n

n

x n x 的和函数()f x 及其极值.

七、(本题满分9分)

设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =, .2)()(x e x g x f =+

(1) 求()F x 所满足的一阶微分方程； (2) 求出()F x 的表达式.

八、(本题满分8分)

设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==. 试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf

九、(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

?????

????=+++++=+++++=+++++=+++++,

0)(,0)(,0)(,

0)(332211332211332211332211n

n n

n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01

≠∑=n

i i a 试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

十、(本题满分13分)

设二次型)0(222),,(312322

21321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(1) 求,a b 的值；

(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

十一、(本题满分13分)

设随机变量X 的概率密度为

;],

8,1[,

0,31

)(32其他若∈?????=x x x f

()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.

十二、(本题满分13分)

设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为

???

? ??7.03.021

~X ，

而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题 (1)【答案】2>λ

【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量

10

001

cos

()(0)

1(0)lim

lim lim cos 00

x x x x f x f x f x x x x

λλ-→→→-'====-，

要使该式成立，必须10

lim 0x x λ-→=，即1λ>.

当(,0)(0,)x ∈-∞+∞U 时，

1211

()cos sin f x x x x x

λλλ--'=+

要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有

120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→?

?''=+== ??

? 由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．

(2)【答案】64a

【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则0

0x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =