高中数学 轨迹问题专题

轨迹问题专题

一.综述

(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:

⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.

⒉写出点M 的集合(几何关系）.

⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.

4.检验特殊点,进行必要的文字说明.

(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:

1.直译法与定义法,

2.相关点法;

3.参数法;

4.交轨法

(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.

二.例题精讲 破解规律

例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.

分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.

222150x y x ++-=EA EB +EA EB

+

点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.

规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.

(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.

(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.

例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；

规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.

现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==u u u u v u u u v u u u v u u u v []0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P AB B ()6,5A ()()22

1:434C x y -+-=AB P 2C 2212

x y +=

的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；

例3: 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

点评:本题考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法

规律总结: 当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x 、y 与某一变量(或多个)的关系,再消去参变量,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法

现学现用3: 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时， 的内心的轨迹方程为__________．

三.课堂练习 强化技巧

NP =u u u r u u u r C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ AR FQ ∥PQF △ABF △AB 12,F F 22

:143

x y C +=P C 12PF F ?I

1. 已知|| =3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点， ，则点P 的轨迹方程为( )．

A .

B .

C .

D .

2. 若动圆与圆和圆都外切，则动圆的圆心的轨迹（ ） A . 是椭圆 B . 是一条直线 C . 是双曲线的一支 D . 与的值有关

3. 已知直线过抛物线： 的焦点， 与交于， 两点，过点， 分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.

四.课后作业 巩固内化

1. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，

点与点关于轴对称， 为原点，若为的中点，且，则点

的轨迹方程为__________．

2. 已知A(1,14),B(?1,14)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是12，则点M 的轨迹C 的方程是___________．

3. ．点P 是圆C:(x +2)2+y 2=4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是___． AB 12OP OA OB 33=+22

y x 14+=22x y 14+=22x y 19+=2

2y x 19+=P ()22:21M x y ++=()()2

2:314N x y λλ++=≤≤P λl C 24y x =l C A B A B C P P (),P x y x y A B Q P y O P AB 1OQ AB ?=u u u v u u u v P

4. 如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1.求点的轨迹的方

程；

5. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.求动圆的圆心点的轨迹方程；

6. 在平面直角坐标系中，设动点到两定点， 的距离的比值为的轨迹为曲线．求曲线的方程；

7. 已知动点E 到点A 与点B 的直线斜率之积为，点E 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；

8. 平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.求点的轨迹方程；

9. 设M,N,T 是椭圆x 216+y 212=1上三个点，M,N 在直线x =8上的射影分别为

xOy 1:l y x =2:l y x =-W W (),P x y 12,l l P

C G ()4,0F y 8G G xOy P ()2,0M -()1,0N 2C C ()2,0()2,0-14

-xOy 222150x y x ++-=M ()1,0N T M TN TM P P

M1,N1．

（1）若直线MN过原点O，直线MT,NT斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值；（2）若M,N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，ΔM1N1L与ΔMNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．

10. 已知椭圆Γ:x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为

2的等腰直角三角形，O为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；

（2）设点A在椭圆Γ上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1

OA2+1

OB2

为定

值；

（3）设点C在椭圆Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数√3，求动

点D 的轨迹方程．

轨迹问题专题答案

一.综述

(一)求动点的轨迹方程的基本步骤:

⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M （x ,y ）的坐标.

⒉写出点M 的集合(几何关系）.

⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f (x ,y )=0,化简方程为最简形式.

4.检验特殊点,进行必要的文字说明.

(二)高考中常见的求轨迹方程的方法有:

1.直译法与定义法,

2.相关点法;

3.参数法;

4.交轨法

(三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.

二.例题精讲 破解规律

例1. 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明为定值，并写出点E 的轨迹方程.

分析: 题目中要求证明为定值,容易知道, E 的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.

222150x y x ++-=EA EB +EA EB +

答案:（） 解析:因为，，故，

所以，故.

又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. 点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视.

规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简即可.

(2)定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.

(3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现学现用1:如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程

.

13

42

2=+y x 0≠y ||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13

42

2=+y x 0≠y ABCD ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D --,AM AD DN DC λλ==u u u u v u u u v u u u v u u u v []0,1,AN λ∈BM Q Q P P x y P

解析：设，由,求得,

∵,∴, ∴，整理得. 可知点的轨迹为第二象限的

椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为. 例2. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.求线段的中点的轨迹的方程；

分析：设点的坐标为，点的坐标为，根据点坐标，和点是线段的中点，得， ，再由点在圆上运动，求得点的轨迹方程，进而可求得点的轨迹的方程；

答案:

解析：设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为， 且点是线段的中点，所以， 于是有， ①

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足的方程 即： ②

把①代入②，得

整理，得

所以点的轨迹的方程为.

(),Q x y ,AM AD DN DC λλ==u u u u v u u u v u u u v u u u v ()()2,2,42,2M N λλ--1,22

QA AN QB BM k k k k λλ====-11224QA QB k k λλ???=?-=- ???1224

y y x x ?=-+-()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤Q 14P 2

214x y +=AB B ()6,5A ()()22

1:434C x y -+-=AB P 2C P (),x y A ()00,x y B P AB 026x x =-025y y =-A 1C A P 2C ()()22541x y -+-=P (),x y A ()00,x y B ()6,5P AB 062x x +=

052

y y +=026x x =-025y y =-A 1C A 1C ()()22434x y -+-=()()2200434x y -+-=()()222642534x y --+--=()()22541x y -+-=P 2C ()()22541x y -+-=

规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点N 、M ,且点N 的运动是有规律的(轨迹方程已知)，而M 的运动是由N 的运动而引发的，这样的题目可采用相关点法求动点M 的轨迹方程.基本方法是设M 的坐标,再反解出N 的坐标,然后带入N 所在曲线的轨迹方程,整理即可.

现学现用2: 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足.求点P 的轨迹方程；

解析:设，，

即 代入椭圆方程，得到 ∴点的轨迹方程。

例3: 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 分析：（Ⅰ）设出两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．

答案:（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

解析：由题设.设，则，且 2212

x y +

=NP =u u u r u u u r (,)P x y (,)M x y ''(,0)N x

'NP =u u u r u u u

r (,))x x y y ''-

=0x x x x y y '=?'-=??????'='=????

2

212

x y ''+=222x y +=P 222x y +=C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ AR FQ ∥PQF △ABF △AB ,,,,A B P Q R AR FQ l x 1(,0)D x 1x AB (,)E x y AB x AB DE k k =12-=x y )0,2

1(F b y l a y l ==:,:210≠ab