牛顿运动定律中的临界和极值问题

1．动力学中的典型临界问题

（1)接触与脱离的临界条件

两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝０．

（２)相对静止或相对滑动的临界条件

两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(３）绳子断裂与松弛的临界条件

绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是F

＝0.

(4)速度最大的临界条件

在变加速运动中,当加速度减小为零时,速度达到最大值.

２．解决临界极值问题常用方法

(１)极限法:把物理问题（或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．

(２）假设法：临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题．

（3)数学法：将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件．

题型一:接触与脱离类的临界问题

例１: 如图所示,在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一

托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长,然后使托盘以加速度a竖直向下做匀

速直线运动(ａ

例２: 如图,竖直固定的轻弹簧,其劲度系数为ｋ=8００N/m，上端与质量为3．0 k

ｇ的物块B相连接。另一个质量为１.０ kg的物块A放在Ｂ上。先用竖直向下的

力F=120N压A,使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、Ｂ共同向上

运动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 ｍ，取ｇ＝１0 m/s2，求

刚撤去F时弹簧的弹性势能?

例3：如图所示，质量均为ｍ的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A,当运动距离为ｈ时Ａ与B 分离。则下列说法正确的是（）

A ．A 和

B 刚分离时,弹簧为原长

B.弹簧的劲度系数等于h

mg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小

D.从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，A 物体的机械能一直增大

例４:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为ｋ，一端固定在倾角为θ的斜面底端,另一端与

物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B ，使B 做

加速度为a 的匀加速运动，A 、Ｂ两物块在开始一段时间内的v －t 关系分别对应图乙中A 、Ｂ图线（t 1

时刻Ａ、B 的图线相切，t 2时刻对应A 图线的最高点），重力加速度为ｇ，则（）? A.ｔ１和t 2

时刻弹簧形变量分别为k

ma mg +θsin 和0?Ｂ.A 、B 分离时t １()ak

ma mg +=θsin 2 ? C.拉力Ｆ的最小值ma mg +θsin ? D.从开始到ｔ２时刻，拉力F 逐渐增大

题型二：相对静止或相对滑动的临界问题

例1:如图所示,质量分别为15kg 和5kg 的长方形物体A 和B 静止叠放在水平桌面上。A 与桌面以及Ａ、B

间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ２=０.６,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

问:

（1）水平作用力Ｆ作用在Ｂ上至少多大时,A、B之间能发生相对滑动？

（2）当F=３0N或4０N时,Ａ、B加速度分别各为多少？

跟踪训练：（多选)如图甲所示,一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力Ｆ作用时,用传感器测出长木板的加速度ａ与水平拉力F的关系如图乙所示，取g=１０m/s2，则（） A.小滑块的质量m＝2kg B.当Ｆ＝８N时,滑块的加速度为1m/s2?C．滑块与木板之间的动摩擦因数为0．1 D.力与加速度的函数关系一定可以表示为Ｆ=6a（Ｎ)

例2：如图所示，两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上,且木块A、Ｂ与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为Ｌ的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴Ｌ处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O１Ｏ2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大。为使细绳有弹力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值。

例３：如图所示的水平转盘可绕竖直轴ＯO′旋转,盘上水平杆上穿着两个质量均为ｍ=２kg的小球A和B。现将Ａ和B分别置于距轴r A＝0.5m和r B＝1ｍ处,并用不可伸长的轻绳相连。已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m＝1N。试分析转速ω从零缓慢逐渐增大(短时间内可近似认为是匀速转动),两球对轴保持

相对静止过程中,在满足下列条件下，ω的大小。

(１)绳中刚要出现张力时的ω1；?（2)A、Ｂ中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2，并指明是哪个球的摩擦力方向改变；

（3)两球对轴刚要滑动时的ω３。

跟踪训练: （多选）圆形转盘上的Ａ、B、C三个物块如图放置,Ａ、O、B、Ｃ在一条直线上,A、B间用一轻质细线相连(开始细线刚好伸直),三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，Ａ、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m，到转盘中心O的距离分别为3r、ｒ、2r,现让转盘以角速度ω（可调)匀速转动,重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（）

A、当物块C相对转盘刚要滑动时，物块B所受摩擦力为μmg

B、当物块C相对转盘刚要滑动时，细线张力为０．5μｍg

Ｃ、当细线内刚出现张力时，物块C所受摩擦力为μｍｇ

Ｄ、当细线内刚出现张力时，A、Ｂ、C所受摩擦力大小之比为3:1:4

题型三:绳子断裂与松弛的临界问题

例5．如图所示,在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 ｃｍ,细线ac长５０ cm，ｂc长3０ｃm,在c 点系一质量为ｍ的小球，在转动轴带着小球转动过程中,下列说法不正确的是( )

A．转速小时,aｃ受拉力,bｃ松弛

B.bc刚好拉直时，ac中拉力为1.2５mg

C.bc拉直后转速增大，aｃ拉力不变

Ｄ.ｂc拉直后转速增大，aｃ拉力增大

例6．如图所示,将两物块Ａ、Ｂ用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A、B的质量分别为m1=８kg，m2=2ｋg，滑块与地面间的动摩擦因数均为

μ=0.2,ｇ＝１0m／ｓ2，细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块Ａ上施加

一水平向右的力Ｆ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使两滑块共同

向右运动,则拉力F多大?

题型四：速度最大的临界问题

例7．如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为ｍ、带电荷量为＋ｑ的圆环A套在OＯ′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan α.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中:

(1)圆环A的最大加速度为多大?获得最大加速度时的速度为多大?

(2)圆环Ａ能够达到的最大速度为多大？

跟踪练习:

1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止,P

的质量m=1２kg,弹簧的劲度系数ｋ=30０Ｎ／m。现在给P施加一个竖直向上的力Ｆ,使P

从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在ｔ＝0.2s内F是变力，在0．2s以后Ｆ是恒

力，ｇ＝１0m/s2,则F 的最小值是，F的最大值是。

思维拓展:若上题中秤盘质量ｍ１=１．5ｋg，盘内物体P质量为m２=10.5kg,弹簧的劲度系数 k=800N/m，其他条件不变,则F的最小值是 ,F的最大值是。

2. 如图所示,细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块Ａ的顶端P处，细线的另一端拴一质量为ｍ的小球。当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以ａ＝2g的加速度向左运动时，球此时线中拉力T大小？

3. 一个带负电荷q，质量为m的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的Ａ点由静止

下滑，小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点Ｂ而做圆周运动.现在

竖直方向上加如图所示的匀强电场,若仍从A点由静止释放该小球，则（)

A.小球不能过Ｂ点

B.小球仍恰好能过Ｂ点

C．小球能过B点，且在B点与轨道之间压力不为0 Ｄ．以上说法都不对

5.如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的AＢ两物体,Ｂ的质量是Ａ的2倍,B受到向右的恒力ＦＢ=２Ｎ，Ａ受到的水平力F A=(9-２t）Ｎ，（t的单位是ｓ)。从t＝０开始计时,则：

A．A物体在３s末时刻的加速度是初始时刻的5/11倍；

B．t>４s后，Ｂ物体做匀加速直线运动；

C.t＝4.5ｓ时,Ａ物体的速度为零；

D．t＞4．5s后，ＡB的加速度方向相反。

6．如图所示,在光滑水平面上有一辆小车A,其质量为m A＝2.0 kg,小车上放一个物体B,其质量为m B＝1．０kg.如图甲所示,给Ｂ一个水平推力F，当F增大到稍大于３.0 N时,A、B开始相对滑动．如果撤去F,对A 施加一个水平推力Ｆ′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动,求F′的最大值Fｍ.