人教版七年级下册数学第八单元8.4 三元一次方程组的解法(导学案)
*8.4 三元一次方程组的解法
一、新课导入
1.导入课题:
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法，知道有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多个未知数，这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法（板书课题）.
2.学习目标:
（1）知道什么是三元一次方程组.
（2）会用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组.
（3）通过解三元一次方程组进一步体会消元思想.
3.学习重、难点:
重点：用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组，进一步体会消元思想.
难点：根据方程组的特征寻找合适的消元途径.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学范围：课本P103~P105例2之前的内容.
（2）自学时间：8分钟
（3）自学要求：认真阅读课文，弄清楚解三元一次方程组的基本思路还是消元，通过尝试比较，体会如何选择合理、简便的消元途径.
（4）自学参考提纲：
①什么叫三元一次方程组？
②解三元一次方程组的基本思路是什么？常用的方法有哪些？
③按课本上提供的消元思路解方程组
12
2522
4
x y z
x y z
x y
++=
?
?
++=
?
?=
?
，你还有其他的解法
吗？试一试.
④仔细阅读例1，体会“分析”是怎样思考找消元思路的，以及如何书写解
题过程，其中解消元后的二元一次方程组的详细过程可省略不写，最后尝试解决例题后方框中的问题.
⑤通过解这两个三元一次方程组，对“怎么消元、先消哪个元”你有何感悟或心得？
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况（主要是学习进度、效果及存在的问题等）.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨、互助解疑难.
4.强化：
（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤.
（2）练习：解下列三元一次方程组:
a.
29
3
247
x y
y z
z x.
-=-
?
?
-=
?
?+=
?
，①
，②
③
b.
34
2312
6
x y z
x y z
x y z.
-+=
?
?
+-=
?
?++=
?
，①
，②
③
解：a.①+②×2，得x-2z=-3.④
③与④组成方程组
247
23
z x
x z.
+=
?
?
-=-
?
，
解得
22
25
2
x
z.
=
?
?
?
=
??
，
把
25
2
z=代入②，得
31
2
y=.
∴原方程组的解为
22
31
2
25
2
x
y
z.?
?=
?
?
=
?
?
?
=
??
，
，
b.①+②，得5x+2y=16.④
①-③，得2x-2y=-2.⑤
④和⑤组成方程组
5216
222
x y
x y.
+=
?
?
-=-
?
，
解得
2
3
x
y
=
?
?
=
?
，
.
把
2
3
x
y
=
?
?
=
?
，
代入③得z=1.
∴原方程组的解为
2
3
1
x
y
z.
=
?
?
=
?
?=
?
，
，
1.自学指导：
（1）自学范围：课本P105例2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，先根据题中条件得出关于a、b、c的三元一次方程组，然后分析方程组的特点，找到简便消元途径，进而求出方程组的解.
（4）自学参考提纲：
①例2中解三元一次方程组为什么要先消元未知数c？
②不看例题的解题过程，自己再解一遍这个三元一次方程组，然后再与课本相对照，体会如何书规范的解题过程.
③若甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1
3
等于丙
数的1
2
，你能求出这三个数吗?
答案：甲=10，乙=15，丙=10.
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②异指导：根据学情进行应指导.
（2）生助生：小组内同学间相互交流、纠错.
4.强化：
（1）解三元一次方程组的基本思路、消元策略和一般步骤. （2）练习：
在y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=2；当x=2时，y=8；当x=5时，y=158. （1）求a，b，c的值；（2）求当x=-2时，y的值.
解：（1）根据题意，有解得
8
6
12 a
b
c.
=
?
?
=-
?
?=-
?
，
，
(2)把（1）中a=8，b=-6，c=-12代入y=ax2+bx+c，得y=8x2-6x-12.
当x=-2时，y=8×（-2）2-6×（-2）-12=32.
三、评价
1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况及学习的感受等.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价:教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力
.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(20分)对于方程组
235
26
322
x y
x y z
x y z
+=
?
?
++=
?
?--=-
?
，
，
，
最优的解法是先消去（ C ）转化为
二元一次方程组.
A.x
B.y
C.z
D.都一样
2.(20分)解方程组
233 321
5
x y z
x y z
x y z.
-+=
?
?
+-=-
?
?++=
?
，
，
（1）若先消去x，得到关于y、z的方程组是
-+=-
?
?
+=
?
37 2516
y z
y z
.
（2）若先消去y ，得到关于x 、z 的方程组是+=??+=?52
348x z x z .
（3）若先消去z ，得到关于x 、y 的方程组是+=??+=?412
539
x y x y .
通过消元转化为二元一次方程组的过程看，上面的三种方法中第二种比较简便.
3.（30分）解下列三元一次方程组：
2715322344y x x y z x z =-??++=??-=?
，①（），②；③
解：（1）把①代入②，得11x+2z=23.④
③与④组成方程组34411223x z x z .-=??+=?，解得212x z .=??
?=??，
把x=2代入①，得y=-3.
∴原方程组的解为==-=?
??
????2312
x y z .，，
?
?+=?-=???+=?4912232119
754x y y z x z ，①（），②；③
(2)①-②×3，得4x+6z=9.④
③与④组成方程组?
+=?
??+=?19754469x z x z .，
解得3
24x z .=-=，
把z=2代入②，得53
y =. ∴原方程组的解为
?=-??
?=?
?
=???
34532x y z .，， 4917331518232x z x y z x y z .-=??++=??++=?
，①（），②③
（3）②×2-③，得5x+27z=34.④
①与④组成方程组491752734x z x z .-=??+=?，解得513x z .=??
?=??，
把513x z .=???=??，
代入②，得y=-2.
∴原方程组的解为
5213x y z .
?
?=?
=-???=?
，，
二、综合运用（15分）
4.解方程组24393251156713x y z x y z x y z .++=??
-+=??-+=?
，①
，②③
解：①+②×2，得8x+13z=31.④②×3-③，得x+2z=5.⑤
④与⑤组成方程组8133125x z x z .+=??+=?，解得13x z .=-??=?，
把13x z .
=-??=?，代入①，得y=1
2.
∴原方程组的解为
1
1
2
3
x
y
z.
=-
?
??
=
?
?
=
??
，
，
三、拓展延伸（15分）
5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x=3
2
与
x=1
3
时，y的值相等，求a、b、c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
2
20
9311
4293
a b c
a b c
a b c a b c.
++=-
-+=
++
?
??
?
?
?=++
?
，
，
解得
6
11
3
a
b
c
=
=-
?=
?
?
?
?
，
，.
∴a，b，c的值分别为6，-11，3.
【素材积累】
1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群
花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。
2、摘湖的周围有些像薄荷的小草，浓郁时，竟发出泥土的气息！仔细看几朵小花衬着绿绿的小草显得格外美丽。夏天，大大的荷叶保护着那一朵朵娇粉的荷花。摘整个湖泊中格外显眼。如果你用手希望对您有帮助，谢谢来捧一捧这里的水，那可真是凉爽它会让你瞬间感到非常凉爽、清新。