复合函数 总结 复习

课次教学计划（教案）

一、复合函数的构成

设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =

是'B 到'C 上的函数，且

B 'B ?，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍

C ，那么(())y f g x =就是A

到C 上的函数。此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复

合而成的复合函数。 说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =

中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M

?．

解复合函数题的关键之一是写出复合过程 例1：指出下列函数的复合过程。

（1）y=√2-x 2 (2)y=sin3x (3)y=3cos√1-x 2 解：(１) y=√2-x 2是由y=√u,u=2-x 2复合而成的。 （2）y=sin3x 是由y=sinu,u=3x 复合而成的。

（3）y=3cos√1+x 2是由y=3cosu,u=√r,r=1-x 2复合而成的。

例2：复合函数的定义域问题

⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：

⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

函数)(x f 的定义域是[0，1]，

∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ，

∴021≤-≤-x ，即2

10≤≤x ， ∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．

⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

)12(-x f 的定义域是[-1，1]，

∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，

∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =

的定义域是[-3，1]．

要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的

x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g

)(A x ∈的值域。

⑶ 函数)3(+x f 是由A 到B 上的函数3+=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合

而成的函数．

)3(+x f 的定义域是[-4，5),

∴A=[-4,5)即54<≤-x ，

∴831<+≤-x 即3+=x u 的值域B=[-1，8）

又)32(-x f 是由'A 到'B 上的函数32'-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的

函数，而'B B =,从而32'-=x u 的值域)8,1['-=B ∴8321<-≤-x ∴,1122<≤x ∴2

111<

≤x ∴)32(-x f 的定义域是[1，2

11）．

练习：1，已知f(x)的定义域为[0，1],求f(2x-1)的定义域。 2，已知f(2x-1)的定义域为[0，1],求f(x)的定义域。

3，已知f(x+3)的定义域为[１，２],求f （2x-5）的定义域。

说明：

① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：

已知)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：

若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知复合函数))((x g f 直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的

范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域,即使函数)(x f 的解析式形式所要求定义域真包含)(x g 的值域，也应以)(x g 的值域做为所求)(x f 的定义域，因为要确保所求外含数)(x f 与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(x f 将失去解决问题的有效性。

2．求有关复合函数的解析式， 例6．①已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f ；

②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ． 例7．①已知x

x x f 1

)1(+=- ，求)(x f ； ②已知221

1(x

x x x f +=-，求)1(+x f ．

要点3：

已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。

已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得

)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

例8．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；

②已知x x

f x f 4)1

(

2)(3=+，求)(x f ． 要点4：

⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。

⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知)(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他

未知量，如)(x f -、)1

(x f 等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程

组，通过解方程组求出)(x f 。

解析式的求法 练习 1. 代入法

例1、()21f x x =+，求(1)f x +

2. 待定系数法

例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()f x 解析式

3. 换元法 例3、21

34(31)x x

f x +-+=

，求()f x 解析式

4. 配凑法（用于二次函数较多）

例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式

5. 消元法（构造方程组法，赋值法） 例5、2()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式

6. 利用函数的性质求解析式

例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且3

2

[0,]x ∈时，25()x f x x -+=-

(1)求()f x 解析式

(2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值

例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5

（1）证明：(1)(4)0f f +=

（2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式 （3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式

复合函数的值域

换元法：

（1） 求函数y x =+

分式法 求2

1

+-=

x x y 的值域。

例1、（指、对数函数作内层函数）己在函数2()1233x

x

f x =-?- （1）求函数()f x 的值域

（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为和最大值

例2、（耐克函数）求函数2()(0),[1,2]x x a

f x a x x

++=

>∈的值域

【变式训练】 求函数2

2()2a

f x x x

=+的值域

例3、（其它函数复合）求函数y =2

212124()2

x x x x x +

---≤-的值域

二、复合函数的性质

1、复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：（同增异减）

)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数, )(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.

求复合函数单调区间的步骤是： (1)求函数的定义域；

(2)用换元法把复合函数分解成常见函数； (3)求各常见函数的单调区间；

(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间； (5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间．

例8、 求下列函数的单调区间： y=(x 2－4x+3)2

例9、求复合函数213

log (2)y x x =-的单调区间

例10、求y=2x 6x 7--的单调区间和最值。

例11、 求y=1

2x x 221--?

?

?

??的单调区间。

例12、 求y=1/（x 2－4x+3）的单调区间。

2、复合函数[])(x g f y =的奇偶性

若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由

)(),(u f y x g u ==的奇偶性得到[])(x g f y =的奇偶性的规律是:

即当且仅当)(x g u =和)(u f y =都是奇函数时,复合函数[])(x g f y =是奇函数. （与奇数偶数的乘法类似）

若f （x ）=x 3, g(x)=x 2+1 判断以下函数奇偶性： A.f(x ）*g （x) B.f(g(x)) C.g(f(x))

课后作业：

1、若函数(1)f x -定义域为(3,4]，则函数f 的定义域为

2、已知函数()f x =

R ，则实数a 的取值范围是

3、已知2211

()f x x x x

-=+，则(1)f x +=

4、已知2(1)34f x x x +=++，则()f x =

5、已知函数()f x 的图像与函数1

()2h x x x

=++的图像关于点A(0,1)对称 （1）求函数()f x 的解析式 （2）若()()a

g x f x x

=+

，且()g x 在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围 6、设()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，求[2,0]x ∈-时()f x 的解析式

7、

()f x =R,则求m 的取值范围

8、已知函数211()log 1x f x x x

+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。 9、求函数)5,0[,)

3

1(42∈=-x y x

x 的值域。

10、求函数11(()142

x x

y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。

总结：

１．复合函数的构成；

设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =

是由外函数)(u f y

=和内

函数)(x g u =复合而成的复合函数。其中x 被称为直接变量，u 被称为中间变量。复合函数中直接变量x 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u 的取值范围，即是)(x g 的值域，是外函数)(u f y =的定义域。 ２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法： ⑴定义域求法：

求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由b x g a <<)(解x ）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由b x a <<求)(x g 的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。

特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域。

⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．

四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： ⑴ 当)(x f 为整式或奇次根式时，x ∈R ；

⑵ 当)(x f 为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶ 当)(x f 为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； ⑷ 当)(x f 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如0)(x x f =，

22

1

)(x

x

x f ==-中0≠x ）

。 ⑸ 当)(x f 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹ 分段函数)(x f y =的定义域是各段上自变量x 的取值集合的并集。 ⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。