电磁学答案第3章解析
第三章 静电场的电介质
3.2.1 偶极矩为
p →
=q l →的电偶极子，处于场强为E 的外电场中，p →
与E →的夹角为θ。 （1） 若是均匀的，θ为什么值时，电偶极子达到平衡？
（2）如果E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？
解： （1）偶极子受的力：
F + =F _=qE
因而F →+=-F → _∴偶极子
受合力为零。偶极子受的力矩
ΘT =?E
即 T=qEsin θ
当 T=0时，偶极子达到平衡，
∴ pEsin θ=0
p →≠0 E →≠0 ∴θ=0 , π θ=0这种平衡是稳定平衡。θ=π是不稳定平衡。 （2） 当E →不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个
力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。
3.2.2 两电偶极子
1p →和2
p →在同一直线上，所以它们之间距r 比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F= 402123r p p πε，力的方向是：1p → 与2p →
同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。
证： 已知当r
>>l 时，偶极子在其延长线上
一点的场强：E → =
302r p πε→
当
1p →与2p → 同方向时，如图
2p → 所受的力的大小： +→F =E →q=r l r q
p ∧
+3
201)2(2πε
-→F = -E →q=r l r q p ∧
--3
201)2(2πε ∴F →= +→F +-→
F =r l r l r q p ∧????????????--+323201)2(1)2(12πε =r l r l l r q p ∧
??????---?3222322201)2()2(2262πε 略去 4
22l 及 832l 等高级小量。 F →=-r r
ql p ∧402
146πε = -r r
p p ∧402
123πε
当 1p →与2p → 反方向时（如图）
，同理： F →= r l r l r q p ∧?????
???????--+323201)2(1)2(12πε =012πεq p ?r l r l l r ∧
-+3
2223222)4()2(23 略去高级小量得：
F →=r r P P ∧
402
123πε 3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为
，其所在处的电场强度为 。
（1） 求电偶极子在该处的电位能，
（2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是
多少？
（3） 在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是
多少？
解： （1）电位能：
W =q +U -q _U =q U ?
又由于E →= -n n U ∧??，=?n lcos θ(θ是l →与E →
间夹角) ∴ θcos El n E U -=?-=?
∴ W = -qEl cos θ
= -E p →
→
?
（2）当
p →与E →一致时，W = -pE.即θ=0时电位能最小。 （3）当p →与E →
方向相反时， W = pE. 即θ=π时电位能最大。 3.2.4 一电偶极子，由q=1.0?108-（库）的两个异号电荷所组成，这两个电荷相距为l=2.0（厘米），把这电偶极子放在1.0?105牛顿/库伦的均匀外场中，
（1） 外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？
（2） 把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力
所作的功是多大？
解： （1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为：
T=pEsin θ
当时θ=2
π时，力矩最大， T=pE=qlE=108-?2?102-?105
=2?103- (牛顿?米)
（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力
所做的功：
A=?20πθTd =?20sin π
θθd pE
=pE=2?103-(牛顿?米)
3·4·1 一平行板电容器面积为S ，面板间距离为d ，中间充满均匀电介质，已知当一板上自己电荷为Q 时，整块介质的总偶极矩为 总, 求电容器中的电场强度。
整块介质的总偶极矩为 总
极化强度=
设上、下是介质上下两面的外法线，
上=·上= —Pn= —P
下= ·下= —Pn= —P
自由电荷激发的场强：
AB=AB
极化电荷激发的场强：
BA= —AB= —AB= —AB
电容器中电场强度：
AB =AB
3·4·2 一半径为R，厚度为d的均匀介质圆板（R d）被均匀极化，其极化强度为P，且平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电场强度。
解：如图所示，在柱坐标系中：
是面元法线与极化强度为夹角
其中
根据对称性分析,极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有y方向分量(y轴与反方向),
当R>>d时,略去高级小量得:
3·4·3 在图中A为一块金属,其外部充满均匀介质,其极化率为x,已知交界面上某点的极化电荷面密度为,求该点的自由电荷面密度。
解: 在静点平衡时,利用高斯定理可得,导体外(即介质内)紧靠导体表面一点的场强为:
= =-
与 反方向,如图所示, 是介质表面外法线.
又由于在介质内: = ; ·
=
=-
=
求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知极化强度为 ,如图所示.
解: 取球心Q 为原点,极轴与 平行的球坐标,由于轴对称性,表面上任一点A 的极化电荷密度 只与 角有关.着也是A 点外法线 与 的夹角,故 这表明：在右半球 为正，左半球 为负；在两半球分界线面上，
在
3·4·5 图中沿x 轴放置的介质圆柱，地面积为S ，周围是真空，已知介质内个点极化矢量 （为常数）
（1）求圆柱两底面上的极化电荷密度 及 ；
（2）求出圆柱内体电荷密度 。
解：（1）kb P n P ka P n P b b b b a a a a ==?='-==?='
0cos ?cos ?ρρσπσ （2）由定义得： ()k Sdx
Skdx Sdx S P P S d P p x dx x s -=-=--=?-
='+??τρρ 3.4.6平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上的自由电荷面密度为0σ±，求电容器的电容C 与没有电介质时的电容0C 之比。
解：P n
P =?='?ρσ
极化电荷的场强：0
0εεσP E ='=' 自由电荷的场强：000εσ=
E 0E ρ与E 'ρ反方向，
()()x x E E E
x E xE
E E x E P E E E E +=+=+=∴-=-=-
=-=∴1110000000000εσεεε
()x d Ed U +=
=100εσ
S Q 0σ= ()()0011C x d
S x U Q C +=+==∴ε
3.4.7一空气平行板电容器，面积S=0.2(2米)，d=1.0(厘米)，充电后断开电源，其电位差()伏30103?=U ，当电介质充满两版间以后，则电压降至1000伏，试计算：
(1)原电容0C ；
(2)每一个导体板上的电量Q ；
(3)放入电介质后的电容C ；
(4)两板间的原电场强度0E ；
(5)放入电介质后的电场强度E ；
(6)电介质每一面上的极化电荷Q '；
(7)电介质的相对介电常数r ε[提示0
0C C =ε]。
解：
()()法拉1012
12001077.1102.01085.81---?=??==d S
C ε ()()库伦710001031.53000
1077.12--?=??==U C Q
()()法拉10371031.510
1031.53--?=?==U Q C ()()米伏/10310
30004520
0?===-d U E ()()米伏/.1010
105523===-d U E ()E E E '-=06Θ 0
0εσ'=-='∴E E E ()()()库伦75512001045.32.010*******.8--?=?-??=-='='S
E E S Q εσ
()3107.11031.5710
100=??==--C C r ε 3.4.8 两相距为 5.0毫米的平行导体板间均匀充满相对介电常数()10.30+==x r εε的电介质，其介质内的电场强度是610伏/米。试求：
（1）在导体板上的面电荷密度0σ；
（2）在电介质面上的极化面电荷密度σ'
解：（1）利用3.4.6题结论：
()d S
x C +=10ε
又由于Ed
S U Q C 0σ== ()Ed S
d S
x 001σε=+∴
()()
251260001065.231058.8101库--?=???==+=r
E x E εεεσ
()()()
256
12001077.1101058.8131米库--?=???-=-==='E
E x P r εεεσ 3.4.9在相对介电常数为()1+=x r r εε的电介质中有一强度为E ρ的均匀电场。
在介质内有一球形空腔。求球面上的极化电荷在球心产生的电场强度E 'ρ。
解：如图所示，在均匀电介质
中： ()θσεεcos ?10P n
P E x P r -=?='-=ρρρ n
?是介质表面的外法线即指向球心。 R R
ds E d ?420πεσ'='ρ 根据对称性分析可得，E '只有z 方向分量，
???-='='='π
θπεθθπεθ?θσθ2020222
024sin cos 4sin cos d R
R P R d d R E d E s s
=0
3εP =31-r ε E ∴ ='E ?3
1-r εE ρ 3.5.1 两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为20
微库/米2，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，r ε=3.0毫米，
r ε=4.0。略去边缘效应，求各介质内的D 、E 和介质表面的σ'。
解：如图所示，作一个底在导体内，另一底平行于极板的封闭圆柱形高斯面。根据高斯定理得：D 1=0σ=2510-?(库/米2)