数值分析应用实例
非线性方程求根
问题：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长度。
设空中电缆的曲线（悬链线）方程为
]
,
[
,
)
(
50
50
2
-
∈
+
=
-
x
e
e
a
y
a
x
a
x
（1）
由题设知曲线的最低点))
(
,
(0
0y与最高点))
(
,
(50
50y之间的高度差为1m，所以有
1
2
50
50
+
=
+-
a
e
e
a a
a)
(
（2）
由上述方程解出a后，电缆长度可用下式计算：
)
(
)
(a
a
a
x
a
x
L
e
e
a
dx
e
e
dx
x
y
ds
L
50
50
50
50
50
2
1-
-
-
-
=
?
?
?
?
?
?
+
=
'
+
=
=?
?
?（3）
相关Matlab命令：
1、描绘函数]
,
[
,
)
(
)
(1500
500
1
2
50
50
∈
-
-
+
=
-
a
a
e
e
a
a
y
a
a
的图形；
2、用fzero 命令求方程在1250=a 附近的根的近似值x ，并计算)(x y 的函数值；
3、编写二分法程序，用二分法求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出对分次数；
4、编写Newton 迭代法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。
5、编写Newton 割线法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。
线性方程组求解应用实例
问题：投入产出分析
国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子：
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。
表1 国民经济三个部门间的关系单位：亿元
假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示。
表2 三个部门的投入产出表
上表中的数字称为投入系数或消耗系数，在技术水平没有明显提高的情况下，可以假定投入系数是常数。
（1）如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这3个部门的总产出分别应为多少？
（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问它们的总产出应分别增加多少？
（3）投入产出分析称为可行的，是指对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出。为了可行，投入系数应满足什么条件？
模型：设有n 个部门，记一定时期内第i 个部门的总产出为i x ，其中对第j 个部门的投入为ij x ，外部需求为i d ，则
n i d x x i n
j ij i ,,,, 211=+=∑=
记投入系数为ij a ，且n j i x a x j ij ij ,,,,, 21==，即ij a 是第j 个部门的单位产出所需要的第i 个部门的投入。因此我们有：
n i d x a x i n
j j ij i ,,,, 211=+=∑=
用矩阵乘法描述，即
d x A I d Ax x =-?+=)(
其中n n ij T n T n a A d d d d x x x x ?===)(,),,,(,),,,( 2121。对于给定的投入系数ij a 及各部门的外部需求d ，求出上述方程组的解，就可以得到各部门的总产出。