专题13 反比例函数(解析版)

专题13 反比例函数

1．反比例函数：形如y＝

x

k

（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、1-

=kx

y。2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。5．反比例函数解析式的确定

由于在反比例函数

x

k

y=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）

A．1B．C．D．2

【答案】A

【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．专题知识回顾

专题典型题考法及解析

∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，

∴OA＝OB＝，AC＝，

∴点C的坐标为（，），

∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝＝1

故选：A．

【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4

x的图象的交

点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．

【答案】8

【解析】∵A、C是两函数图象的交点，

∴A、C关于原点对称，

∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，

又∵反比例函数y=4

x的图象上，

∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1

2

×4＝2，

∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．

【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝m

x

（m＞0，x＞0）图像上的两点，

一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，连接OA 、OD ．已知△OAB 与△ODE 的面积满足S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4． （1）S △OAB ＝________，m ＝________；

（2）已知点P (6，0)在线段OE 上，当∠PDE ＝∠CBO 时，求点D 的坐标．

【答案】见解析。

【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．先求出B 点纵坐标和A 点的横坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA 的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE 的面积，最后根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m 的值；先由点A 在双曲线上，求出A 点坐标；再先求出直线AB 的解析式；连接DP ，通过条件∠PDE ＝∠CBO ，∠PED ＝∠COB ＝90°，得PD ∥AB ，于是可令直线PD 的解析式为y ＝

12x ＋t ，则0＝1

2

×6＋t ，求出PD 的解析式； 最后由132

8y x y x ?=-????=

??

解得1181x y =??=?，2224x y =-??=-?．从而锁定D 点的坐标．

（1）∵一次函数y ＝kx ＋3（k ≠0）的图像经过点A ，与y 轴交于点B ， ∴B (0，3)，OB ＝3． ∵点A (2，n )， ∴A y ＝2． ∴S △AOB ＝

12?OB ?A y ＝1

2

×3×2＝3． ∵S △OAB ﹕S △ODE ＝3﹕4， ∴S △DOE ＝4．

y

x

P O

E D

C

B

A

∵DE⊥x轴，且点D在双曲线y＝m

x

上，

∴1

2

m＝4．

∵m＞0，

∴m＝8．

（2）如答图，连接PD，

∵点A(2，n)在双曲线y＝8

x

上，

∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．

∵一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，∴4＝2k＋3．

∴k＝1

2

，直线AB的解析式为y＝

1

2

x＋3．

∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，∴∠DPE＝∠BCO．

∴PD∥AB．

∴令直线PD的解析式为y＝1

2

x＋t，则0＝

1

2

×6＋t．

∴t＝－3，直线PD的解析式为y＝1

2

x－3．

由

1

3

2

8

y x

y

x

?

=-

??

?

?=

??

解得1

1

8

1

x

y

=

?

?

=

?

，2

2

2

4

x

y

=-

?

?

=-

?

．

∵点D在第一象限，∴D(8，1)．

y

x

P

O E

D

C B

A

一、选择题

1. （2019贵州省毕节市）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣1

x

的图象上，

则y1、y2、y3的大小关系是（）

A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2

【答案】C．

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．

∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣1

x

的图象上，

∴y1＝﹣1

4-

＝

1

4

，y2＝﹣

1

2-

＝

1

2

，y3＝﹣

1

2

，又∵﹣

1

2

＜

1

4

＜

1

2

，∴y3＜y1＜y2．故选：C．

2.(2019安徽)已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．3B．C．﹣3D．﹣

【答案】A

【解析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．

点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），

把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．

故选：A．

专题典型训练题

3.（2019黑龙江哈尔滨）点(－1,4)在反比例函数y＝k

x

的图象上,则下列各点在此函数图象上的是（）。

A．（4，-1）B．（-1

4

，1）C．（-4，-1）D．（

1

4

，2）

【答案】A

【解析】反比例函数的图象及性质

将点（﹣1，4）代入y＝k

x

，

∴k＝﹣4，∴y＝

4

x

，

∴点（4，﹣1）在函数图象上。

4.（2019湖北十堰）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y=k x的

图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）

A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8

【答案】

【解析】根据点的坐标可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．

解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：

则△BDE≌△FDE，

∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°

易证△ADF∽△GFE

∴AF

EG

=

DF

FE

，

∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），

∴AB ＝OC ＝EG ＝4，OA ＝BC ＝8， ∵D 、E 在反比例函数y =k x

的图象上， ∴E （k

4，4）、D （﹣8，?k

8）

∴OG ＝EC =?k 4，AD =?k 8

， ∴BD ＝4+k

8，BE ＝8+k

4 ∴

BD BE

=

4+

k 88+k 4

=

12

=

DF FE

=

AF EG

，

∴AF =12

EG =2，

在Rt △ADF 中，由勾股定理：AD 2+AF 2＝DF 2 即：（?k

8）2+22＝（4+k

8）2 解得：k ＝﹣12

5.（2019湖北仙桃）反比例函数y =?3

x ，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣3） B ．图象位于第二、四象限

C ．图象关于直线y ＝x 对称

D ．y 随x 的增大而增大

【答案】D

【解析】由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y =?3x

，故A 是正确的； 由k ＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的；

由反比例函数的对称性，可知反比例函数y =?3

x

关于y ＝x 对称是正确的，故C 也是正确的，

由反比例函数的性质，k ＜0，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D 是不正确的。

6. （2019黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x =

的图象上，顶点B 在反比例函数5

y x

= 的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（ ） A ．32

B ．52

C ．4

D ．6

【答案】C

【解析】反比例函数的图象和性质；平行四边形的面积。 设A(a,b)，B （a+m ，b ），依题意得1b a

=，5

b a m =+，

∴

15a a m =

+，化简得m=4a.∵1

b a

=，∴ab=1， ∴S 平行四边形OABC =mb=4ab=4×1=4，故选C.

7.（2019广西贺州）已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数a

y x

=在同一直角坐标系中的图象 可能( )

【答案】A

【解析】若反比例函数a

y x

=经过第一、三象限，则0a >．所以0b <．则一次函数y ax b =-的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数a

y x

=

经过第二、四象限，则0a <．所以0b >．则一次函数y ax b =-的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A 正确。

8.（2019?湖南衡阳）如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝（m 为常数且m ≠0）的图象都经过A （﹣1，2），B （2，﹣1），结合图象，则不等式kx +b ＞的解集是（ ）

A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0

C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2

【答案】C．

【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．

由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，

∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2

9.（2019?湖北黄石）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝（x ＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），若△OAB的面积为3，则k的值为（）

A．B．1C．2D．3

【答案】D．

【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．

∵点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），

∴C（n，1），

∴OA＝n，AC＝1，

∴AB＝2AC＝2，

∵△OAB的面积为3，∴，

解得，n＝3，

∴C（3，1），

∴k＝3×1＝3．

10.（2019内蒙古赤峰）如图，点P是反比例函数y=k

x（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，

垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（）

A．﹣4B．4C．﹣2D．2【答案】A

【解析】∵△POM的面积等于2，

∴1

2

|k|＝2，

而k＜0，∴k＝﹣4．

11.（2019四川泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2=k

x的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2

成立的x取值范围是（）

A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4B．x＜﹣2或0＜x＜4

C．x＜﹣2或x＞4D．﹣2＜x＜0或x＞4

【答案】B

【解析】观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使y1＞

y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．故选：B．

二、填空题

12.（2019贵州省毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、

B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝k

x

（k≠0）的图象上．若正方形

ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是．

【答案】3.

【解析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），

则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y＝5

x

，C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），进而求n的

值；

过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，∵AB⊥AD，

∴∠BAO＝∠DAE，

∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，

∴△ABO≌△DAE（AAS），

∴AE＝BO，DE＝OA，

易求A（1，0），B（0，4），

∴D（5，1），

∵顶点D在反比例函数y＝k

x

上，

∴k＝5，

∴y＝5

x

，

易证△CBF≌△BAO（AAS），

∴CF ＝4，BF ＝1， ∴C （4，5），

∵C 向左移动n 个单位后为（4﹣n ，5）， ∴5（4﹣n ）＝5， ∴n ＝3， 故答案为3；

13.（2019湖北孝感）如图，双曲线y =9

x

（x ＞0）经过矩形OABC 的顶点B ，双曲线y =k x

（x ＞0）交AB ，BC 于点E 、F ，且与矩形的对角线OB 交于点D ，连接EF ．若OD ：OB ＝2：3，则△BEF 的面积为 ．

【答案】

2518

【解析】设D （2m ，2n ）， ∵OD ：OB ＝2：3， ∴A （3m ，0），C （0，3n ）， ∴B （3m ，3n ），

∵双曲线y =9

x （x ＞0）经过矩形OABC 的顶点B ，

∴9＝3m ?3n ， ∴mn ＝1，

∵双曲线y =k

x

（x ＞0）经过点D ， ∴k ＝4mn

∴双曲线y =4mn x （x ＞0）， ∴E （3m ，4

3

n ），F （4

3

m ，3n ），

∴BE ＝3n ?43n =53n ，BF ＝3m ?43m =5

3m ， ∴S △BEF =12

BE ?BF =2518mn =2518

故答案为

2518．

14.（2019北京市）在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1

k y x

=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2

k y x

=上，则12k k +的值为_______. 【答案】0

【解析】关于x 轴对称的点的坐标特点、双曲线k

y x

=上点的坐标与k 的关系. ∵A 、B 两点关于x 轴对称， ∴B 点的坐标为(),a b -.

又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2k

y x

=上； ∴12,ab k ab k =-=. ∴120k k +=；故填0.

15.（2019贵州省安顺市） 如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝k 1/x （x ＞0）及y 2＝k 2/x （x ＞0）的图象分别交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为4，则k 1﹣k 2＝ ．

【答案】8

【解析】∵反比例函数y 1

＝x k 1（x ＞0）及y

2＝x

k

2（x ＞0）的图象 均在第一象限内， ∴k 1＞0，k 2＞0． ∵AP ⊥x 轴，

∴S △OAP ＝21k 1，S △OBP ＝2

1

k 2． ∴S △OAB ＝S △OAP ﹣S △OBP ＝2

1

（k 1﹣k 2）＝4，

解得：k 1﹣k 2＝8． 故答案为：8．

16.（2019辽宁本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边∴OAB 和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S ∴ABD =3，反比例函数k

y x

(x ＞0)的图象经过点B ，则k 的值为

【答案】3.

【解析】过点D 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，设OE=2a ，OA=2b ，根据四边形OCDE 是菱形和∴OAB 为等边三角形可得DM=3a 和BN=3b 进而得出S ∴ABD =S 梯形BDMN +S ∴ABN -S ∴ADM ，进而求出b 2的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 的值. 过点D 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N. 设OE=2a ，OA=2b .

第15题图

∴四边形OCDE 是菱形，

a .

∴∴OAB 为等边三角形，

，

∴S ∴ABD =S 梯形BDMN +S ∴ABN -S ∴ADM

=

)

(

)

(

)22

2

a b a b +++-=，

解得b 2=1.

∴点B 的坐标为（b

），且点B 在反比例函数k

y x

=的图象上， ∴k

2

17.（2019广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例(0)k

y t x =>的图象和ABC ?都在第一象限内，

5

2

AB AC ==

，//BC x 轴，且4BC =，点A 的坐标为(3,5)．若将ABC ?向下平移m 个单位长度，A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，则m 的值为 ．

【答案】54

【解析】

5

2

AB AC ==

，4BC =，点(3,5)A ． 7(1,)2B ∴，7(5,)2

C ，

将ABC ?向下平移m 个单位长度，

(3,5)A m ∴-，7

(5,)2

C m -，

A ，C 两点同时落在反比例函数图象上，

7

3(5)5()2m m ∴-=-，

54m ∴=

三、解答题

18.（2019年广西柳州市）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ． （1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；

（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．

【答案】见解析。

【解析】将点A （1，0），点B （0，2），代入y ＝mx +b ，可求直线解析式；过点C 作CD ⊥x 轴，根据三角形全等可求C （3，1），进而确定k ；设与AB 平行的直线y ＝﹣2x +h ，联立﹣2x +b ＝，当△＝b 2﹣24＝0时，点P 到直线AB 距离最短；

（1）将点A （1，0），点B （0，2），代入y ＝mx +b ， ∴b ＝2，m ＝﹣2， ∴y ＝﹣2x +2；

∵过点C 作CD ⊥x 轴，

∵线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ， ∴△ABO ≌△CAD （AAS ）， ∴AD ＝AB ＝2，CD ＝OA ＝1， ∴C （3，1），

∴k＝3，

∴y＝；

（2）设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，

联立﹣2x+b＝，

∴﹣2x2+bx﹣3＝0，

当△＝b2﹣24＝0时，b＝，此时点P到直线AB距离最短；∴P（，）；

19. (2019黑龙江大庆)如图,反比例函数

2m

y

x

=和一次函数y＝kx－1的图象相交于A(m,2m),B两点.

(1)求一次函数的表达式;

(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式2m

x

【答案】见解析。

【解析】(1)因为点A(m,2m)在反比例函数

2m

y

x

=图象上,所以

2

2

m

m

m

=,所以m＝1,所以点A(1,2)反比例函数

2

y

x

=,将点A代入一次函数可得,2＝k－1,k＝3,所以一次函数表达式为:y＝3x－1;

(2)令2

x

＝3x－1,解之,得,x1＝1,x2＝

2

3

-,所以B(

2

3

-,－3),根据图象可得不等式

2m

x

2

3

-

或x>1.

20.（2019吉林省）已知y 是x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6, （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x=4时，求y 的值 【答案】见解析。

【解析】将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式； 当x=4时，代入解析式，可求出y 的值 （1）∵y 是x 的反比例函数， ∴设y=

x

k

(k≠0）， ∵当x=2时，y=6, ∴k=xy=12, ∴y=

x 12 (2)当x=4时， 代入y=x

12

得， y=34

12