初中数学竞赛试题汇编

初中数学竞赛试题汇编 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120 分钟）

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．

1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组

成等腰三角形的概率是（）

A ．4

1 B ．31 C ．2

1 D ．1

2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN

于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（）

A ．38

B ．39

C ．40 D. 41

3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则

的值等于（） A ．95 B ．59 C ．5

2011

D ．9

2011

4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图

中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）

A ．6 B. 7 C ．8 D ．9

5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2

(2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值b 5

8-，则△ABC 是（）

A ．等腰三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形 D

照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数

据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入

数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5

个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）

A ．5种

B ．6种

C ．10种

D ．12

种

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .

8．（人教版考生做，在 ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为．

8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则

= ． 9．已知012

=--a a ，且32

22322324-

=-++-a

xa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件．

11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为

12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，

四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对

(x 313.（本题满分20分）

已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式．求证： c b a ==． 14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，

动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．

（1）点B 的坐标为；用含t 的式子表示点P 的坐标为；

（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的

函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何

值时，S 有最大值？

（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的3

1若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=.（1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；

（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.

2013年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分

答题时注意：

1.用圆珠笔或钢笔作答；

.解答书写时不要超过装订线；

草稿纸不上交。

一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1.设非零实数a 、b 、c 满足?

??=++=++0432032c b a c b a ，则2

22c b a ca

bc ab ++++的值为（） (A) -21 ( B) 0 (C) 2

(D) 1

2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中，以

211x ，22

x 为两个实根的是（）

(A) 0)2(2222=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2222=+--a x ac b x c

0)2(2222=+--a x ac b x c

3，如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB,垂足为D ，DE ⊥OC,垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长

度都是有理数，则线段OD 、OE 、DE ，AC 的长度中，不．

一定．．

是有理数的为（）

(A) OD ( B) OE

4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC BC=4AF ，DCFE 是平行四边形，则图阴影部分(△BDE+△（）。

(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8

5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：

60)1()1(45

33*333223-++++++=

y x xy y x x y x ，且z y x z y x *)*(**=，则2013*2012*……*3*2的值为（）

(A)

967607 ( B) 9671821 (C) 9675463 (D) 967

16389

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6.设33=a ，b 是2a 的小数部分，则3)2(+b 的值为

７.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5则四边形AEFD 的面积是。

８.已知正整数a 、b 、c 满足0222=--+c b a ，0832=+-c b a ，则a b c 的最大值为。

９.实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程02=++d cx x 的两根为a ，b ，一元二次方程02=++b ax x 的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为。

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了支圆珠笔。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线x 与轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且

OB=OC=3OA 。直线13

+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC-∠CBE.

12.、设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求

∠BAC 所有可能的度数。

13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，b a c y -+=，c b a z -+=，当y z =2，

2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论。

14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的

魔术数），求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数n a a a ,21 ?，满足任意一个正整数m ，在n a a a ,21

?中都至少有一个为的m 魔术数。 2013年全国初中数学联赛江西预赛试题

时间：2013年3月10日上午9：00－11：30

一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）

1、若n m n m n

n m 、且,532-=同号，则2

232654n

mn m n mn m +-+-的值是（） A 、7 B 、6 C 、5 D 、4

2、若△ABC 中，AB ＝26-，BC=2, △ABC 的面积是1，若∠B 是锐角，则∠ACB 的度数是（）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、75°

3、若0

97,0972

2=++=++b b a a ，ab ≠1, 则b

a b

-的值为（）

A 、

313

B 、313

- C 、3

± D 、0 4、一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有套法（）

A 、82

B 、40

C 、22

D 、21

5一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中，从1开始数起，问第1990个“智慧数”是（）

A 、2663

B 、2664

C 、2665

D 、2626

6、能使方程mx 2 +2(2m-1)x+4(m-3)=0至少有一个整数解的正整数a 的值的个数有（）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

二、填空题（每题7分，共4小题，计28分）

7、如图：在△ABC 中，AB ＝9，BC=4,Q 为AC 的中点，P 为AB 边上一点，且∠APQ=90°+2

1∠B ，则BP 的长为______

8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

奖金（元/人）15007000

当比寒进行到12轮结束（每人均需要12轮）时，A队共积分19分，若每赛一场队员人均出场费500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元，则W的最大值是_________

9、已知a、b、c、d是四个不同的实数，且（a+c）(a+d)=-2013,(b+c)(b+d)=-2013,

则(a+d)(b+d)=--_______

10、已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是圆内接四边形，对角线AC与BD交于点E,CE＝，若AC是直径，且AD=BD，则四边形ABCD的周长是_______

三、解答题（70分）

11、（满分20分）已知方程x2+ax+2a+2=0有两个整数解，求a的值。

12、（满分25分）已知AE是△ABC的角平分线，D是线段AE上的点，且

∠BDE=90°+2

1∠BAC ，求证:D 是△ABC 的内心。

13、（满分25分）如图：抛物线y=mx2+5x+n 与x 轴交于B 、C 两点，交y 轴与A 点，过A 、B 、C 三点作⊙P ，且⊙

P 与y 轴相切于点A ，

（1）求m 、n 的关系；

（2）求∠BAC 的正切值；

（3）设抛物线的顶点为D ，试判断直线DB 与⊙P 的位置关系，并证明。

2012年全国初中数学竞赛预赛试题

江西省吉安市

一、选择题：（每题7分，共42分）

1、化简38194233122172+---+的结果是（）

A 、2

B 、－2

C 、－33

D 、33

2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（）。

A 、70%

B 、 79%

C 、74%

D 、81%

3、如图：在△ABC 中，,3

,31,31CA CF BC BE AB AD ===

则AN:NL:LE 等于（） A 、2：1：1 B 、3：2：1 C 、3：3：1 D 、2：3：1

4、满足方程xy y x y x ++=+)(222的所有非负整数解的组数有（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

5、如图：正方形ABCD 的边长为152，E 、F 分别是AB 、BC

的中点，AF 分别交DE ，DB 于M ，N,则△DMN 的面积为（）

A 、8

B 、9

C 、10

D 、11

6、使分式3

222+-+-x x x x 的值为整数的实数x 的值的个数是（）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

二、填空题（每题7分，共28分）

7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 .

8、边长为9cm, 40cm,41cm 的三角形的重心到外心的距离是

9、已知二次函数c bx ax y ++=2

,一次函数4

)1(2

k x k y --=，若它们的图像对于问题任意

的数k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为

10、代数式49)8(922+-++x x 的最小值是

三、解答题（共三大题，70分）

11、已知关于x 的方程024)2810()4)(2(2=+----x k x k k 的根是整数，求满足条件的所有实数k 的值（20分）

12、如图：在矩形ABCD 中，点P 在AB 上，且△ACP 是等腰三角形，O 是AC 的中点，OE ⊥ AB 于有，点Q 是OE 的中点，求证：PQ ⊥ CE （25分）.

13、已知二次函数4)3(2++--=m x m x y 图像与轴交于）点点0,(),0,(21x B x A (x 1

（1）求m 的值；

（2）是否可能出现∠CAB ＝∠CBA

若可能，求出m 的值；若不可能，比较∠CAB 与∠CBA 的大小；

（3）当∠CAB 与∠CBA 互余时，△ABC 的面积是多少（

25分）

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是（）

A. a b c <<

B. a c b <<

C. b a c <<

D.b c a <<

2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（）

A ．3.

B ．4.

C ．5.

D ．6.

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD

交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（ D ）

A D 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（）

A ．18-.

B ．0.

C ．1.

D ．98

5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2323

112

24()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（）

A ．0.

B ．34-.

C ．1-.

D ．5

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足

a c

b d +=+.这样的四位数共有（）

A ．36个.

B ．40个.

C ．44个.

D ．48个.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111

a b c t b c a

=+=+=，则t = ． 2．使得521m ?+是完全平方数的整数m 的个数为．

3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则

＝ 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，

222

43131319

a b c a a b b c c ++=------，则222

a b c ++＝．第二试

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D.证明：2AD BD CD =?.

三．（本题满分25分）已知抛物线

半轴交

y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正

于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设

M 3

(0,)2

-，若AM 2011年全国初中数学竞赛试题

(考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分)

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

、设3

x =

，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、2

2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v ）△（x, y ）＝（u, v ）,那么（x, y ）为（）

A 、（0, 1）

B 、（1, 0）

C 、（﹣1， 0）

D 、（0, ﹣1）

3、已知A ，B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223

cos sin 4A B t +=，则实数

t 所有可能值的和为（）

A 、83-

B 、53-

C 、1

D 、11

4、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设

B C

1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ?＝，3BCF S S ?＝，4CEF S S ?＝，则13S S 与24S S 的大小关系为

（）

A 、13S S ﹤24S S

B 、13S S ＝24S S

C 、13S S ﹥24S S

D 、不能确定

5、设3333

111

+++

123

2011

S ＝，则4S 的整数部分等于（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6、两条直角边长分别是整数a, b （其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两

个数字和为5的概率是 .

8、如图，双曲线2

y x

（0x >）与矩形OABC 的边BC ， BA 分别交于点E ， F ，且AF ＝BF ，连结EF ，则△OEF 的面积为 .

9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为 .

10、设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 .