【苏教版】高中数学必修五-3.4-基本不等式的证明和应用-课时讲义(江苏省启东中学)

【苏教版】高中数学必修五

第7课时：§3.4. 基本不等式的证明和应用课时讲义【教学重点与难点】：

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式错误!未找到引用源。的证明过程；难点：理解基本不等式错误!未找到引用源。等号成立条件及“当且仅当错误!未找到引用源。时取等号”的数学内涵

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1. 提问：错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。哪个大？

2.基本不等式错误!未找到引用源。的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

二、研探新知

重要不等式：一般地，对于任意实数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，我们有错误!未找到引用源。，当且仅当错误!未找到引用源。时，等号成立。

证明: 错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。 (注意强调当且仅当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。)

注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；

（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。基本不等式：对任意正数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。时等号成立。

证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。由基本不等式1，得错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。时等号成立。即错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。时等号成立。

证法2：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时，取“错误!未找到引用源。”。

证法3：要证错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，只要证错误!未找到引用源。，只要证错误!未找到引用源。，只要证错误!未找到引用源。

因为最后一个不等式成立，所以错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。成立，当且仅当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时，取“错误!未找到引用源。”。

证法4：对于正数错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

说明：把错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。分别叫做正数错误!未找到引用源。的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述结论可推广至3个正数。

（1）基本不等式成立的条件是：错误!未找到引用源。

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）

（3）错误!未找到引用源。的几何解释：（如图1）以错误!未找到引用源。为直径作圆，在直径错误!未找到引用源。上取一点错误!未找到引用源。， 过错误!未找到引用源。作弦错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，从而错误!未找到引用源。，而半径错误!未找到引用源。 基本不等式错误!未找到引用源。几何意义是：“半径不小于半弦” （4）当且仅当错误!未找到引用源。时，取“错误!未找到引用源。”的含义：一方面是当错误!未找到引用源。时取等号，即

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。；另一方面是仅当错误!时取等号，即

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。。

（5）如果错误!未找到引用源。，那么错误!未找到引用源。（当且仅当错误!未找到引用源。时取

“错误!未找到引用源。”）．

（6）如果把错误!未找到引用源。看作是正数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的等差中项，错误!未找到引用源。看作是正数错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的算术平均数，称错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.平均值定理：设n 个正数a 1，a 2，…，a n ，记

调和平均

n

n a a a n

H 1...1121+++=

, 几何平均n n n a a a G ???=...21，

算术平均n a a a A n n +++=...21， 平方平均n

a a a Q n n 22221...+++=

. 4.基本不等式的变形公式：

(1) 2

2

2(,)a

b ab a b R (2) 2

2

(,)2

a b ab a b R

(3) 2(,)a b

ab a b

R (4) 2(

)(,)2

a b

ab

a b

R

最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值2

4

1s ． 证明：∵+

∈R y x ,， ∴

xy y

x ≥+2， ①当xy p = (定值)时，p y

x ≥+2

∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；

②当s y x =+ (定值)时，

2s xy ≤

∴2

4

1s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2

max 4

1)(s xy =

． A 错

错错误错错（图1）

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。 ③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1. （教材p 89例1）设错误!未找到引用源。为正数，证明下列不等式成立：（1）错误!未找到引用源。；（2）错误!未找到引用源。

例2. （1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。

（2）若上题改成10<

例3. （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值。 （2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值

例4. 若21x y +=，求11

x y

+的最小值。

例5. (1) 若0x >,求9

()4f x x x

=+的最小值;

(2)若0x <,求9

()4f x x x

=+的最大值. [思维拓展1] 求9

()45

f x x x =+-(5x >)的最小值.

[思维拓展2] 若0x >,y>0,且28

1x y

+=,求xy 的最小值.

[思维拓展3] 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是

[思维拓展4]设0,0x y ≥≥,2

2

12

y x +=,则21x y +的最大值为

[思维拓展5]已知两正数,x y 满足1x y +=,则z =11

()()x y x y

++的最小值为

[思维拓展6]求函数y ＝2x 2＋x

3

（x ＞0）的最小值 .

[思维拓展7] 求函数y ＝x 2＋41

x

（x ＞0）的最小值

[思维拓展8] 求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜

2

3

）的最大值.

[思维拓展9] 求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1）的最大值

例6. 已知错误!未找到引用源。为两两不相等的实数，求证：错误!未找到引用源。

变题：设,a b R ∈，求证：221a b ab a b +≥++-.

例7.已知错误!未找到引用源。都是正数，求证错误!未找到引用源。．

例8.求证：错误!未找到引用源。．

例9.已知0,0a b

，且1a b ，求证：221125()()2

a

b

a

b

例10.（教材p 99例1） 用长为错误!未找到引用源。的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

例11.（教材p 99例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是错误!未找到引用源。立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。

例12. 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的

保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

例13. 如图错误!未找到引用源。为定角，错误!未找到引用源。分别在错误!未找到引用源。的两边上，错误!未找到引用源。长为定长，当错误!未找到引用源。处在什么位置时，错误!未找到引用源。的面积最大？

例14. （教材100P 例3）过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，当AOB ?的面积最小时，求直线l 的方程．

例15. （教材100P 例4）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A 它的两边都留有宽为a 的空白，

顶部和底部都留有宽为b 的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？

例16. 四边形ABCD 的两条对角线相交于O ，如果AOB ?的面积为4，COD ?的面积为16，求四边形ABCD 的面积S 的最小值，并指出S 最小时四边形ABCD 的形状。

四、归纳整理，整体认识

基本不等式错误!未找到引用源。

1.如果a,b 是正数，那么错误!未找到引用源。

2.基本不等式错误!未找到引用源。几何意义是“半径不小于半弦”

3.几个重要不等式

（1）若错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。

（2）若错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，(或错误!未找到引用源。，（当仅当a=b 时取等号）

（3）如果错误!未找到引用源。都是正数，那么 错误!未找到引用源。（当仅当错误!未找到引用源。时取等号）

最值定理：若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。则：

如果错误!未找到引用源。是定值, 那么当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的值最小； ○2如果错误!未找到引用源。是定值, 那么当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。的值最大. 注意：

①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；

② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；

③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 知识回顾

1.几个重要不等式

（1）错误!未找到引用源。

（2）错误!未找到引用源。（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么错误!未找到引用源。（当仅当a=b时取等号）

最值定理：若错误!未找到引用源。则：

○1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

注意：

○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；

○2“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；

○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

错误!未找到引用源。（当仅当a=b=c时取等号）

错误!未找到引用源。（当仅当a=b时取等号）

2.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么错误!未找到引用源。

（当仅当a=b时取等号）

（2）柯西不等式：

错误!未找到引用源。

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点错误!未找到引用源。有

错误!未找到引用源。

则称f(x)为凸（或凹）函数.