第六章半导体的物质结构和能带结构
第6章 异质结和纳米结构
1、试讨论用窄禁带n 型半导体和宽禁带p 型半导体构成的反型异质结中的能带弯曲情况，画出能带图。 答：
2、仿照第4章对pn 同质结的讨论方法，完成突变pn 异质结接触电势差表达式（6-5）和势垒区宽度表达式（6-7）的推导过程。
解：设p 型和n 型半导体中的杂质都是均匀分布的，其浓度分别为N A1和N D2。势垒区的正负空间电荷去的宽度分别为(x 0-x 1)=d 1，(x 2-x 0)=d 2。取x=x 0为交界面，则两边势垒区中的电荷密度可以写成
?
??
-=<<-=<<22201101)(,)(,D A qN x x x x qN x x x x ρρ
势垒区总宽度为
211002)()(d d x x x x X D +=-+-=
势垒区的正负电荷总量相等，即
Q x x qN x x qN D A =-=-)()(022101
Q 就是势垒区中单位面积上的空间电荷数值。因此上式可以简化为
1
2
0210)()(A D N N x x x x =--
设V(x)代表势垒区中x 点得电势，则突变反型异质结交界面两边的泊松方程分别为
)()(0111
212x x x qN dx x V d A <<=ε )()(202
2
2
22x x x qN dx x V d D <<=ε ε1ε2分别为p 型及n 型半导体的介电常数。对以上两式分别积分一次得
)()(011111x x x C x qN dx x dV A <<+=ε )()(2022
22x x x C x
qN dx x dV D <<+=ε C 1‘C 2是积分常数，有边界条件决定。因势垒区外是电中性的，电场集中在势垒区内，故边
界条件为
0)(1
111=-
==x x dx
dV x E
0)(2
222=-
==x x dx
dV x E
注意，在交接面处的电场并不连续，但电位移连续[即)()(022011x E x E εε=]。由边界条件定出
2
2
221
1
11,εεx qN C x qN C D A =
-
=
将C 1C 2带入上式中得
1111)
()(εx x qN dx x dV A -= 2
222)
()(εx x qN dx x dV D -= 对以上两个公式积分得
111112112)(D x x qN x qN x V A A +-=εε
22
2222222)(D x
x qN x qN x V D D ++-=εε
在热平衡条件下，异质结的接触电势差V D 为
)()(1122x V x V V D -=
而V D 在交界面p 型半导体一侧的电势降为
)()(11011x V x V V D -=
而V D 在交界面n 型半导体一侧的电势降为
)()(02222x V x V V D -=
在交接面处，电势连续变化，即)()(0201x V x V =，故
21D D D V V V +=
令V 1(x 1)=0，则V D =V 2(x 2)，并带入上面的公式可得
2
2
2
22121112,2εεx qN V D x qN D D D A -
== 因此，降D 1，D 2分别带入得
1
2
1112)()(εx x qN x V A -=
2
2
2222)()(εx x qN V x V D D --
= 由)()(0201x V x V =，即得接触电势差V D 为
2
2
022121012)(2)(εεx x qN x x qN V D A D -+
-= 而
0121112101122)(εεεx qN x x qN V A A D =-=，0
22
222202222)(εεεx qN x x qN V D D D =
-= 进一步化简可知
21210)(D A D D N N X N x x +=
-；2
1102)(D A D
A N N X N x x +=-
将上述两式带入V D 公式得
])()(
)[2(
2
2
11212212122
1D A D A D D A D D A D N N X N N N N X N N q V +++=εεεε
进一步可以求得势垒区宽度X D 为
2
112212122121])
()(2[A D D A D D A D N N N qN V N N X εεεε++=
3、仿照第4章对pn 同质结的讨论方法，完成突变pn 异质结微分势垒比电容表达式（6-8）的推导过程。
解：势垒区总宽度为
211002)()(d d x x x x X D +=-+-= (1)
势垒区的正负电荷总量相等，即
Q x x qN x x qN D A =-=-)()(022101 (2)
由(1),(2)式可得
][
2
121D A D
D A N N qX N N Q += (3)
势垒区宽度X D 为
2
112212122121])
()(2[A D D A D D A D N N N qN V N N X εεεε++= (4)
将(4)带入(3)式可得
2
12
2112121])(2[
D A D D A N N V V N qN Q εεεε+-= (5)
由微分电容定义C=dQ/dV,即可求得单位面积势垒电容和外加电压的关系为
2122112
121])
)((2[V V N N N qN dV dQ C D D A D A TS -+==
εεεε 4、已知纤锌矿结构GaN 和AlN 的电子亲和能分别为和，禁带宽度分别为和。设固溶体
Al x Ga 1-x N 的电子亲和能和禁带宽度随组分比x 线性变化，试按安德森定则求nn-GaN/同型异质结的E C 和E V ，并画出能带示意图。
解：导带底在界面处的突变△E C 为两种材料的电子亲和能之差，即：
21χχ-=?C E
价带顶的突变自然就是两种材料禁带宽度之差的剩余部分，即
)()(2121χχ---=?g g V E E E
固溶体Al x Ga 1-x N 的禁带宽度Eg AlGaN (X)由下式计算
)1(0.1)1()(x x Eg x xEg x Eg GaN AlN AlGaN ---+=
代入GaN 和AlN 禁带宽度和，计算可得
792.38.02.00.139.38.02.62.0)(=??-?+?=x Eg
AlGaN
固溶体Al x Ga 1-x N 的电子亲和能随组分比x 线性变化
GaN AlN AlGaN x x χχχ)1(-+=
代入数据可得
4.31.48.06.02.0=?+?=AlGaN χ
因此nn-GaN/同型异质结的E C 为
eV E C 7.04.31.421=-=-=?χχ
因此nn-GaN/同型异质结的E V 为
eV E E E g g V 102.1)()(2121-=---=?χχ
5、用安德森定则计算一个用n-Ge 与p-GaAs 形成的异质结在室温下的△E C ，△E V 和V D 。已知Ge 和GaAs 的电子亲和能分别为和，掺杂浓度均为1016cm -3，Ge 在300K 时的n i =×1013cm -3。
解：查表可知，GaAs 的禁带宽度为，Ge 的禁带宽度为 根据安德森定则
异质结在室温下的△E C 为
eV
E C 06.007.413.421=-=-=?χχ
异质结在室温下的△E V 为
eV E E E g g V 83.0)()(2121-=---=?χχ
查表可知，掺杂浓度均为1016cm -3时n-Ge 与p-GaAs 的功函数分别为和。 代入公式可得V D
eV W W V Ge GaAs D 01.131.432.5=-=-=
6、对用受主浓度为1×1015cm -3的p-Ge 和施主浓度为1×1014cm -3的n-Si 构成反型异质结，求其室温热平衡状态下的接触电势差V D 和势垒区总宽度X 及其在两边的分配V D1、X 1和V D2、X 2，并据此画出能带图。已知Ge 和Si 的电子亲和能分别为和，室温下杂质完全电离。（我计算了一个结果，感觉不太对，就没计算其它结果） 解：查表可知Ge 和Si 的功函数分别为和 由接触电势差公式可知
V q W W V D 2.010
6.137
.457.419
21=?-=-=
- 由势垒区宽度公式可知
2
/1212021])
()(2[D A D A D D A D N N N qN V N N X εεεεε++=
代入数据可得X D =×10-2cm 结左边的空间电荷区宽度为
2/1210211])
(2[
D A A D
D N N qN V N X εεεεε+=
代入数据可得X 1=
交界面p 型半导体一侧的电势降为
2
10
112X qN V A D εε=
代入数据可得V D1=
结右边的空间电荷区宽度为
2/1210212])
(2[
D A D D
A N N qN V N X εεεεε+=
代入数据可得X 2=
交界面n 型半导体一侧的电势降为
2
20
222X qN V D D εε=
代入数据可得V D2=
7、大致绘出突变异质结在下列情况下的能带图：(a)n +-AlGaAs 与本征GaAs;(b)n +-AlGaAs 与p-GaAs ，(c)p +-AlGaAs 与n +-GaAs 。假定的E g = ，△E C 等于△E g 的2/3。 解：
8、GaAs 和GaP 的晶格常数分别为和，试计算以GaAs 为衬底外延GaP 薄膜时的晶格失配率
和GaP 应变膜的临界厚度。 解：根据晶格失配率定义
失陪率%6.354505
.056531.0)
54505.056531.0(2)(22121=+-=+-=
a a a a
临界厚度
e
s e e C a a a a t -=
?≈222
=
9、接上题，计算GaAs 衬底为（100）面时，GaP/GaAs 异质结界面的悬挂键密度。 解：
32
221212121222))((11a
a
a a a a a a a a N S ?≈+-=-=?= 10、对以n 型和p 型GaP 构成的晶体管发射结，当GaP 的受主浓度为2×1019cm -3，的施主
浓度为4×1017cm -3时，求其室温下的注入比和发射效率。
解：查本书表1-6知Ga x In 1-x P 固溶体室温禁带宽度与组分比x 的关系为++ 代入数据可得
eV E g 869.15.0786.05.0643.0351.12=?+?+=?
该异质结的禁带宽度为
eV E g 323.1546.0869.1=-=?
室温下的注入比为
20
19
1712105.2)026
.0323.1exp(102104)exp(?=??=?∝kT E N N J J g A D p n 室温下的发射效率
11=+=+=p
n
p n
p n n
J J J J J J J γ
11、试证明以d 为薄层重复周期的超晶格的小简约布里渊区的边界为k =/d 。
12、试画出用同种半导体按nipi 方式掺杂构成的超晶格的能带图。