2011山东济南中考数学

2011年济南中考试卷

数学

（满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅱ卷（非选择题共72分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 16．（2011山东济南，16，3分）19-的绝对值是__________．【答案】19

17．（2011山东济南，17，3分）分解因式：269a a -+=__________________．【答案】2(3)a +

18．（2011山东济南，18，3分）方程220x x -=的解为__________________．【答案】10x =，22x =

19．（2011山东济南，19，3分）如图，直线l 与直线a 、b 分别交于点A 、B ，a ∥b ，若∠1

= 70°，则∠2 = _______度．

【答案】110 20．（2011山东济南，20，3分）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为

（1，2），点B 与点D 在反比例函数y =

（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为____________．【答案】（3，6） 21．（2011山东济南，21，3分）如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的

边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O

ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．

【答案】4

三、解答题（本大题共7小题，满分57分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（2011山东济南，22，7分）（1）计算2()()2a b a b b +-+；（2）解方程

3x x

=+．【答案】（1）解：2()()2a b a b b +-+

=2222a b b -+

=22a b +．（2）解：

213x x

=+．方程两边都乘以(3)x x +，去掉分母得23x x =+．

解这个方程，得3x =．

经检验，3x =是原方程的解． 23．（2011山东济南，23，7分）（1）如图1，△ABC 中，∠A = 60°，∠B ︰∠C = 1︰5．求

∠B 的度数．

（2）如图2，点M 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，分别连接AM 、CM ．求证：AM = CM ．

【答案】（1）解：设∠B = x °，则∠C = 5x °，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴60°+ x °+5x °=180°，

∴6 x °=120°，∴x =20，即∠B = 20°．（2）∵BD 是正方形ABCD 的对角线，

图1

图2

∴∠ABD =∠CBD ，AB = BC ． ∵BM = BM ，

∴△ABM ≌△CBM ． ∴AM = CM ． 24．（2011山东济南，24，8分）某小学6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵

突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元．在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？【答案】设教师有x 人，学生有y 人。根据题意，得

11040+202400x y x y +=??

，

．解得1000x y =??=?

，１．

答：教师有10人，学生有100人．

25．（2011山东济南，25，8分）飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上

“店庆购物送礼”活动．该文具店设置了A 、B 、C 、D 四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同．（1）飞飞购物后，获赠A 型号钢笔的概率是多少？

（2）飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？【答案】（1）P （获赠A 型号钢笔）=

；

赠的钢笔型号相同的有4种，因此飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是

41164

P =

=． 26．（2011山东济南，26，9分）（1）如图1，△ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AC = n ，

延长CB 至点D ，使BD = AB ． ①求∠D 的度数； ②求tan75°的值．（2）如图2，点M 的坐标为（2，0），直线MN 与y 轴的正半轴交于点N ，∠OMN = 75°．求直线MN 的函数表达式．

图1

【答案】（1）①∵BD = AB ，

∴∠D =∠DAB =

12∠ABC =1

×30°=15°． ②∵∠C = 90°，∠D =15°，

∴∠BAC =75°．

在Rt △ABD 中，∵AC = n ，∠ABC = 30°，∴AB = 2n ，∴BC

． ∴CD = BD + BC = AB + BC = 2n

． ∴tan75°=

CD AC

（2）∵点M 的坐标为（2，0），∴OM = 2．

∵∠OMN = 75°， ∴tan ∠OMN =

∴ON

∴点N 的坐标为（0，

设直线MN 的函数表达式为y kx b =+．则

204k b b +=???

=+??

，

解得24k b ?=--??=+??

∴直线MN

的函数表达式为(24y x =-+++

27．（2011山东济南，27，9分）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），

点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =24

x bx c -++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ

图2

CP ，连接PQ ，设CP = m ，△CPQ 的面积为S ．

①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；

②当S 最大时，在抛物线y =24

x bx c -++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接．．

写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）分别把A （0，8）、C （6，0）代入y =24

x bx c -++，得

81660c b c =??

-++=?

，

　．解得b =

，c = 8． ∴抛物线的函数表达式为y =244

x x -+

+．

（2）①如图1，过点Q 作QE ⊥BC ，垂足为E ．由题意值，AB =OA =6，BC =OA =8，

10．由△CQE ∽△CAB ，得

QE CQ AB AC =，即10610

QE m

．整理得QE =3

m -． ∴△CPQ 的面积为S 为 S =12CP QE ?=13(6)25m m ?-=2

3310

m m -

+．

图1

第27题备用图

第27题图

当m =332()

?-=5时，S 的值最大，

S 最大值=2353510-

?+?=15

152-+=152．

②存在，点F 的坐标为F 1（32，4），F 2（32，8），F 3（32

），F 4（32

）．

28．（2011山东济南，28，9分）如图，点C 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合）分

别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ，CA = CD ，CB = CE ，∠ACD 与∠BCE 都是锐角且∠ACD =∠BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接PC ．（1）求证：△ACE ≌△DCB ；

（2）请你判断△AMC 与△DMP 的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC =∠BPC ．

【答案】（1）证明：∵△ACD 和△BCE 都是等腰三角形，

∴AC = DC ，BC = EC ． ∵∠ACD =∠BCE ， ∴∠ACE =∠DCB ．

在△ACE 和△DCB 中， AC DC ACE DCB CE CB =??

∠=∠??=?

， ∴△ACE ≌△DCB （SAS ）．

（2）△AMC ∽△DMP ．理由如下：由（1）知△ACE ≌△DCB ， ∴∠CAE =∠CDB ．又∵∠AMC =∠PMD ， ∴△AMC ∽△DMP ．

（3）证明：在DB 上截取DF =AP ，连接CF ，由（1）知△ACE ≌△DCB ， ∴∠CAE =∠CDB ．

又∵CA = CD ，DF =AP ， ∴△ACP ≌△DCF ，

∴∠APC =∠DFC ，CP =CF ． ∴∠BPC =∠DFC ， ∴∠APC =∠BPC ．

P N

第28题图

C D

E M

P 第28题