平行四边形和菱形(尖子)

平行四边形和菱形

◆一、平行四边形的性质与判定

1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．

，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．

。 2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 3、平行四边形的判别方法：

(1）∵_____∥______，_____∥______，∴四边形ABCD 是平行四边形（2）∵AB ＝，BC ＝______，∴四边形ABCD 是平行四边形（3）∴AO ＝______，BO ＝______，∴四边形ABCD 是平行四边形

（4）∵∠BAD ＝∠______，∠ABC ＝∠_____，∴四边形ABCD 是平行四边形（5）∵AD ∥______，AD ＝_____，∴四边形ABCD 是平行四边形 ◆二、菱形的性质与判定：

5、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。

6、菱形的性质：

（1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。四边形ABCD AB BC CD DA ?===是菱形四边形12AC BD

ABCD ⊥???∠=∠?

是菱形

7、菱形的判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形。

平行四边形四边形是菱形ABCD ABCD AC BD ?

??⊥?

（3）四条边都相等的四边形。AB BC CD DA ABCD ===?是菱形 ?（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。

B C

◆三、三角形的中位线

如下图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，连结DE ，DE 叫△ABC 的中位线

∴（1）DE=

ＢＣ（2）ＤＥ∥ＢＣ三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

例题1、如下图：□ABCD 中，DM ＝BN ，BE ＝DF ．求证：四边形MENF 是平行四边形．

★变式练1--1、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ．求证：GF ∥HE ．

★例题2、如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，E 为AD 延长线上的一点，CF//BE 交AD 于F ，连

H A

B D

E G

（图1）（图2）

结BF 、CE 。求证：四边形BECF 是菱形。

变式练2--1、如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝

90，AB 与CE 交于

F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． (1)求证:CF ＝CH ；

(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=

45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．

变式练2--2、菱形的周长为24cm ，两邻角的比为1：2，较短对角线的长是，菱形的高

为，面积是。

★★例题3、观察控究，完成证明．

如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F

、

G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）若AC=BD，请你猜想并证明四边形EFGH的形状？若AC⊥BD呢？

（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？

★变式练3--1、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。

课堂练习：

（一）选择题：相信你一定能选对！

1、下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）

B C

A.两个等腰三角形

B. 两个直角三角形

C. 两个锐角三角形

D. 两个全等三角形 2、平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（）．

A ．锐角

B ．直角

C ．钝角

D ．不确定

3、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等

4、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.梯形

5、菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）

A.6 cm

B.1.5 cm

C.3 cm

D.0.75 cm

6、下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（）

A ．□ ABCD 中，AB=BC

B ．□ ABCD 中，A

C ⊥B

D C ．□ ABCD 中，AC=BD

D ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD

7、如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（）

A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cm

（二）填空题：你能填得又快又对吗？

8、菱形周长为20cm ，相邻两角比为1：2，则菱形的两对角线的长。

9、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是。 10、在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，AB=10,则BD=________,AC=__________,菱形ABCD 的面积=________

11、在四边形ABCD 中,对角线ACBD 相交于O 点,从(1)AB=CD;(2)AB ∥CD; (3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC ⊥BD;(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中,选取三个推出

四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5) ?四边形ABCD 是菱形四边形;再写出符合要求的两个:

?四边形ABCD 是菱形; ?四边形ABCD 是菱形.

（三）解答题:

12、如图AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC,交AB 于点E ，DF//AB ，交AC 于点F ，

证明：AD ⊥EF

13、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，连接CE ，过点A 作AF//CE ，并交DE 的延长线于点F.

（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形;

（2）当∠B 的大小满足什么条件时四边形ACEF 是菱形？请证明你的结论; （3）四边形ACEF 有可能是矩形吗?为什么?

★14、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD>BC ，AD=8cm ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以1cm/s

的速度由A 出发向D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动。几秒钟后四边形ABQP 是平行四边形？

★15、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点，求证：EF=1

（BC-AD ）

A D

E F

B C

1、已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，且OA=OC ，AB ∥DC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。

2、如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线交BC 、AD 于点E 、F ，求证：四边形AECF 是菱形。

平行四边形和菱形课后小测试

1、能判别一个四边形是平行四边形的条件是（）

A ．一组对边相等，另一组对边平行

B ．一组对边平行，一组对角互补

C ．一组对角相等，一组邻角互补

D ．一组对角互补，另一组对角相等 2、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）

A.对角线相等且互相平分

B.对角线互相垂直且相等

A C

C.对角线互相平分

D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角

3、菱形的一个内角等于 120，过这个角的顶点的对角线长为8cm,则这个菱形的周长为 cm 。

4、已知菱形的周长是52cm ，较短一条对角线的长是10cm ，则这个菱形的面积是（）

A ．30cm 2

B ．60cm 2

C ．120cm 2

D ．240cm 2

5、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（）

A.∠A+∠C=180°

B.∠B+∠D=180°

C.∠A+∠B=180°

D.∠A+∠D=180°

6、如图3所示，菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，AE=EB ，则∠EDF 等于（） A ．75° B ．60° C ．50° D ．45°

7、下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）

A ．已知菱形的两条对角线

B ．已知菱形的一边和一个内角

C ．已知菱形的四条边

D ．已知菱形的周长和面积 8、顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（）

A 矩形

B 菱形

C 正方形

D 平行四边形 9、如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于（）

A.135°

B.45°

C.22.5°

D.30°

10、顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是（）

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

图3