初中数学常见辅助线的添加方法(总6页)
初中数学常见辅助线的添加方
法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除
中考数学复习专题
——几何论证题中辅助线的添加方法
例1:
如图:等腰梯形ADBC 中AB ∥CD ,底角∠ABC=450
对角线AC 、BD 交于点O ,且∠BOC=1200
求:
BC
AD
的值
分析:在已知条件中,底角∠ABC=450,有的同学想到延长两腰,出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线,反而增加解题困难,因为
∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时,应考虑过上底顶点D (或A )作对角线的平行线,把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题,而解等腰三角形时,常添的辅助线是作底上的高,这样不难求BC
AD
的比值。 证明:过D 点作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ,作DE ⊥BC 于E AD ∥BC AD=CF AC ∥DF ??ACFD 平行四边形 AC=DF
等腰梯形ABCD ? DB=AC ?BD=DF
AC ∥DF ?∠BDF=∠BOC=1200 DE ⊥BF ∠BDE=600
? BE=EF ?BE=EF=a 3 ∠BED=900 设a DE =
DE ⊥BC a CE DE == a AD CF )13(-==
? ?
∠BCD=450 EF=a 3 a CE BE BC )13(+=+=
?32)13()13(-=+-=a
a
BC AD .
例如图:已知直线PQ 是线段AB 的中垂线, 是OQ 上的任意一点,若OD ⊥BC 于D ,M 是OD 的中点
求证:CM ⊥AD
分析:在已知条件中,PQ 是线段AB 的中垂线,同学们肯定想到连结AC 运用线段中垂线性质,但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系,这种添线不能解答本题,而图中出现“母子三角形”,使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM ⊥AD ,从图中观察到如能证得∠1=∠A ,那么CM ⊥AD 即可成立;而∠A 除了在Rt △AON 中,它还在△AOD 中,若把∠1也放到与△AOD 相似的三角形中,结论就可成立。因此构筑一个与△AOD 相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M 是OD 的中点,想到增添中点(或添平行线)的方法,故取OC 的中点为G ,想法证明△AOD ∽ △
CGM 。通过基本图形分析,发现∠2=∠3,故∠AOD=∠CGM 。因此证:GM
CG
OD AO =
是本题又一关键。
证明:取OC 的中点为G ,连GM, ∵PQ 是AB 的中垂线,
∴∠BOC=900设OA=OB=a ,OD=b . ∵OD ⊥BC,
∴∠CDO=∠ODB=900
∵∠4+∠3=900,∠3+∠B=900 . ∴∠4=∠B ,△COD ∽△OBD .
∴b
a
OD OB CD OC ==,G 、M 为OC 、OD 的中点.
∴OC=2CG ,CD=2GM..
∴OD
OA
b a OD OB GM CG =
==22,△AOD ∽△CGM . 1=∠A.
∵∠A+∠ANO=900 ∴∠1+∠CNH=900
即∠NHC=900,CM ⊥AD.
例3:如图:正方形ABCD 中,E 、F 分别AB 、BC 的中点, AF 和DE 交于点P 求证:CP=CD
图(1)
分析:要证明CP=CD ,因为CP 、CD 在同一三角形中,一般三种思路可证: 思路(1):只要证对角相等,即证∠1=∠2。如图(1)分别寻找∠1、∠2的是正方形,∴AB ∥CD ,∠2=∠AEP ,∠1=,
延长CP 交AB 于G ,∴∠1=∠EPG 。要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG ,由已知可知,E 、F 为AB 、BC 的中点可证:△AED ≌△BFA ,可得AF ⊥DE ,P 为垂足。假设∠AEP=∠EPG ,G 可能为AE 的中点,因此证PG 为AE 的中线是本思路证题的
关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难,推得PA
PE
AD AE =
=21,设PE 为a ,PA 为2a ,PD 为4a ,因为AE ∥CD ,可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G 为AE 的中点,PG 是AE 的中线,∠AEP=∠EPG 成立。从分析的过程中得到
思路(2),CD PC AB AB AE PG PC PG CD EG PD PE ==∴=====,4
1
21,41
思路(3):要证CP=CD ,只要证:C 在线段PD 的中垂线上,取AD 的中点,连AFCH 为平行四边形,由思路(1)可知,AF ⊥DE ,故CH ⊥DE ,再证:CH 平分PD ,通过Rt △APO 易证CH 平分PD 。
证明方法(1):
∵E 、F 为AB 、BC 的中点,ABCD 是正方形,∴AB=AD ,∠B=∠DAE ,BF=AE ∴△ADE ≌△BAF ,∴∠ADE=∠EAP
∵∠EAP+∠DAP=900,∴∠ADE+∠DAP=900,∴∠APD=∠APE=900, ∵∠ADE=∠EAP ,∴△APE ∽△DPA , ∴
a PE AP PE AD AE 为设,
21
== ∴a PD PD PE AP a AP 4,,22=∴?== ,AB ∥CD
∴
===AB AE
PD PE CD EG ,411:2, ∴G 为AE 的中点,PG=EG ∵∠GEP=∠GPE ,
∵∠GPE=∠1,∠GEP=∠2
∴∠1=∠2,CP=CD
证明方法(2)(如图2):
取AD 的中点为H ,连CH 、PH..
∵ABCD 是正方形,∴BC ∥AD ,BC=AD ,F 、H 为BC 、AD 的中点, ∴CF ∥AH ,CF=AH , ∴AFCH 为平行四边形.
∴CH ∥AF ,由证明方法(1)可知AP ⊥DE ,故CH ⊥P. 在Rt △APO 中,PH 为斜边中线,
∴DH AD PH ==2
1
,∴CH 垂直平分PD ,∴CP=CD.
例4:⊙O 1与⊙O 2相交于点A ,P 是O 1O 2的中点
(1)如图(1)如果AC 切⊙O 2于点A ,交⊙O 1于点C ,D 是AC 的中点
求证:PA=PD
(2)如图(2)如果过点A 作两圆的一条割线交⊙O 1于点C ,交⊙O 2于点B ,点
D 是BC 的中点,那么PA 与PD 是否相等?如果相等,请给出证明;如果不相等,请说明理由。 (3)
图(1) 图(2)
分析(1):由已知可知,P 为O 1O 2的中点,D 为AC 的中点,AC 切于⊙O 2于点A 。想到常用辅助线,连O 1D 、O 2A ,由O 1D ⊥AC ,O 2A ⊥AC ,得O 1D ∥O 2A ,作PG ∥O 2A 可证得G 为AD 中点,PG 垂直平分AD ,可证得PA=PD
分析(2):通过观察发现PA=PD ,理由是什么?由已知条件,分别作O 1E ⊥AC ,PH ⊥BC ,O 2F ⊥AB ,P 为O 1O 2的中点,所以H 为EF 中点,要证:PD=PA ,只要证:DH=AH ,现在只要证DE=AF ,因为DE=CD —CE ,AF=EF —AE ,因为CE=AE ,
所以证CD=EF 是本题的关键,而BC CD 21=,所以只要证BC EF 2
1
=即可。
证明(1):在图(1)中连O 1D 、O 2A ,作PG ∥O 2A.. ∵D 为AC 中点, ∴O 1D ⊥AC. ∵AC 切于⊙O 2于点A , ∴O 2A ⊥AC.
∴O 2A ∥O 1D ∥PG.. ∵P 为O 1O 2的中点,
∴G 为AD 的中点,且PG ⊥AD. ∴PA=PD.
证明(2):作O 1E ⊥BC 于E ,PH ⊥BC 于H ,O 2F ⊥BC 于F, ∴O 1E ∥PH ∥O 2. ∵P 为O 1O 2的中点,
∴H 为EF 的中点,E 为AC 的中点,F 为AB 的中点.
BC AB AC AB AC AF AE EF 2
1
)(212121=+=+=+= ,
∵BC CD 2
1
=,
∴CD=EF ,AF=EF —AE ,DE=CD —CE. ∴AF=DE. ∵EH=PH,
∴DH=AH ,PH ⊥AD. ∴PA=PD.
从以上四例中,你是否有所收益,拿到几何题以后,应认真分析已知条件找出证题中有用的隐含条件,当直接用已知条件论证发生困难时,想到各题中隐含的常用辅助线,化繁就简,化难为易,在添辅助线时,切记要随题意,要充分运用每个已知条件。有的在关键点上添辅助平行线,有的需增添线段中点,有的需倍长中线,有的只要延长某条线段等等,不要硬性添作,把简单的问题复杂化,反而误导论证思路。希望我的分析给同学带来启发。