高中数形结合问题总结知识讲解
高中数形结合问题总
结
数形结合思想在高中数学中的应用
灵宝实验高中 王少辉
一、什么是“数形结合思想”？
数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。
二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？
“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。
数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；
形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。
既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题：
①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题
三、数形结合思想应用举例
（一）在集合中的应用
【知识点】集合的基本运算
在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。
【例1】
(1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=I I I
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 【小结】 数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中： （1）离散的集合用Venn 图表示 （2）连续的数集用数轴表示，注意端点 （二）在函数中的应用 1.二次函数区间求值问题 二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图象来进行。 【例2】已知12)(2+-=ax x x f ，求f (x )在[1,2]上的最小值 【跟踪训练】已知12)(2+-=x x x f ，求f (x )在[t,t+2]上的最小值 2.函数性质综合应用 函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可以借助图象来进行。 【例3】设函数???>≤+-=4 ,log 4,4)(22x x x x x x f ，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 【例4】已知函数???<+-≥=0 ,20,2)(x x x x f ，则满足不等式)2()3(2x f x f <-的x 的取值范围为 3.函数零点个数问题 函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。 【例5】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________. 【例6】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围. 【小结】 数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中 （1）二次函数求给定区间上的最值问题 ①轴动区间定 ②轴定区间动 （2）函数性质（奇偶性、单调性、周期性）的综合应用 ①求范围 ②解不等式 （3）函数零点个数、方程根的个数 转化为图象交点个数问题 【跟踪训练1】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系 中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所 示： 由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案 C 【跟踪训练2】若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________. 解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示. 由图象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解. 答案 (0，＋∞) 【跟踪训练3】已知函数???>-≤+=0 ,130,)(x x x a e x f x (a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0) D.[－1，0) 解析 当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.