第二章 随机变量及其概率分布总结
2．2．1．随机变量与它的分布函数
1．随机变量的概念
随机变量ξ是定义在样本空间Ω上的实值集函数，它具有取值的不确定性(随机性)和取值范围及相应概率的确定性(统计规律性)两大特征。特别是后一特征表明，对于任意实数x ，事件{ξ≤x }都有确定的概率。
常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类。 2．分布函数与它的基本性质
对于随机变量ξ以及任意实数x ，称一元函数 F (x )=P {ξ≤x } 为ξ的分布函数。
由此可见，分布函数是定义域为),(∞-∞、值域为[0，1]的实函数。其基本性质是： (1) 1)(0≤≤x F ，对一切∞<<∞-x 成立；
(2)F (x )是一个单调不减函数，即当21x x <时，有
)()(21x F x F ≤；
(3)F (x )是右连续的，即F (x +0)=F (x )；
(4)1)(lim )(,0)(lim )(==∞==-∞∞
→-∞
→x F F x F F x x 。
反之，具有这四条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。
若F (x )为随机变量ξ的分布函数，则对于任意的a ，b (a
这样，ξ落入任一区间的概率都可用分布函数来表达。从这个意义上讲，分布函数完整地描述了各类随机变量取值的统计规律。
例：随机变量X 的分布函数F (x ) 是随机变量｛X ≤x ｝的概率。
2．2．2．离散型随机变量及其分布
1．分布律与它的基本性质
若随机变量ξ的取值只能是有限个值或可列个值，则称ξ为离散型随机变量。
对离散型随机变量需要知道它取哪些值及其取值的概率。所有这些将由分布律来描述，随机变量ξ的分布律可表示为
r ．v ．ξ~ .3,2,1,
}{ ===i p x P i i ξ 分布律也可表示为
分布律具有以下基本性质：
(1),0≥i p ,3,2,1=i (非负性)； (2)∑∞
==1
1i i p (规范性)。
例：p11-7（重点）
2．常用的离散型分布
常用的离散型分布有两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布。 （1）两点分布
若随机变量ξ有分布律
{}2,1, ===i p x P i i ξ，121=+p p 。
则称ξ服从两点分布。特别地，如果只取0，1两个值时也称为0-1分布，其分布律为
{}p q p k q p k P k k -=<<===-110.
10,1，， ξ。
（2）二项分布
若随机变量ξ分布律为{}k
n k k n q p C k P -==ξ
其中n p q p n k ,1,10.,,2,1,0-=<<= 为自然数，则称ξ服从参数为n ，p 的二项分布。简记为r.v .ξ～B (n , p )。
注：若n i i ,,2,1, =ξ服从参数为p 的0-1分布，则∑==n
i i
1
ξ
ξ就服从参数为n ,p 的二项分布。在解题中常用此方法分解
随机变量。
（3）几何分布
在概率p 一定的情况下，某事件首次发生的概率。（各事件是相互独立的） （4）超几何分布（n 次不放回抽样）
若随机变量ξ有分布律{}n k C C C k P n
N
k n M
N k M ,,2,1,0, ===--ξ 这里M ≤N ，n ≤N ，n ，N ，M 为自然数，并规定b >a 时，0=b
a C 。则称ξ服从以n ，N ，M 为参数的超几何分布。简记为),,(~..M N n H v r ξ。
注：若n 是一取定的自然数，且p N
M N =∞→lim ，则有n k p p C C C C k n k k n n N k n M
N k M N ,,2,1,0,)1(lim =-=---∞→。
即当N 充分大时，随机变量ξ就近似服从二项分布B (n ,p )。
（5）泊松分布
若随机变量ξ有分布律
{}0,,2,1,0,!
>==
=-λλξλ k e k k P k
为常数
则称ξ服从参数为λ的泊松分布，简记为)(~..λπξv r 。
注：泊松分布的背景是与泊松定理分不开的，即
设λ>0是一常数，n 是任意正整数，设λ=n np ，则对于任一固定的非负整数k ，有
!
)1(lim k e p p C k k
n n k n k n n λλ--∞
→=-。 故当n （n ≥20）很大，p （p ≤0.1）很小时(np <10)的二项分布可用下式近似计算： )(,!
)1(np k e p p C k k
n n k n k n =≈---λλλ
由此发现，在大量试验中稀有事件出现的次数常可用泊松分布来描述。
例1：设随机变量X 服从参数为?(?>0)的泊松分布，且P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.1，则?=?(2) 例2：p16-29
3．分布律与分布函数的计算
（1）分布律已知时分布函数的求解
当分布律给定时，运用逐段求和可求得分布函数，即 ∑∑===≤=≤≤x
x x
x i i i i p x P x P x F }{}{)(ξξ。
可见，离散型场合下的分布函数是一个右连续的分段阶梯函数，在i x x =处有跳跃i p 。
（2）分布函数已知时分布律的求解
当分布函数已知时，通过逐段求差可求得分布律。随机变量的取值即为分布函数的间断点i x ，而取值的概率由下式给出：
){){){i i i i x P x P x P p <-≤===ξξξ
.,3,2,1,)0()( =--=i x F x F i i
综上所述，离散型随机变量的分布律和分布函数可以相互唯一确定。
为给定函数就能算出各种事件的概率，即对任意的俩实数x1，x2，有p ｛x1< X ≤x2｝=p{X ≤x1}- p{X ≤x2}=P{x2}-P{ x1} 例：p14-15
有关离散型随机变量分布函数的几个问题（p16-25、p16-30、p15-23、p13-3）
2．2．3．连续型随机变量及其概率密度（必考大题）
1．概率密度与它的基本性质
设对于随机变量ξ的分布函数F (x )，如果存在非负可积函数f (x )，使得对任意的实数x ，都有
?
∞
-=
≤=x
dt t f x P x F )(}{)(ξ
成立,则称ξ为连续型随机变量，f (x )便是ξ的概率密度（或分布密度）。
概率密度具有如下基本性质：
(1)0)(≥x f (非负性)；(2)
?
∞
∞
-=1)(dx x f (规范性)；
(3)对任何实数c ，有0}{==c P ξ；对任意的实数a ，b (a
=
≤ a dx x f b a P )(}{ξ。 且只要区间的端点不变，ξ取值于开区间或闭区间或半开半闭区间的概率都是相等的。 （必考题型）：P 书42例2 2．常用的连续型分布 常用的连续型分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。 （1）均匀分布 若随机变量ξ取值在有限区间(a ,b )上，其概率密度为 ??? ??<<-=. 其它, 0, ,1 )(b x a a b x f 其中b >a 为常数。则称ξ服从区间(a ,b )上的均匀分布，简记为],[~..b a U v r ξ。 均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。 （2）指数分布 若随机变量ξ的概率密度为???≤>=-.0, 0, 0,)(x x e x f x λλ 其中λ>0为常数，则称ξ服从参数为λ的指数分布，简记为)(~..λξE v r 。 服从指数分布的随机变量ξ具有“无记忆性”，即对任意的s ,t >0，有}{}{t P s t s P >=>+>ξξξ 例：p 11-12 （3）正态分布 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数f (x )＝ 12πσ e － x －μ2 2σ 2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称f (x ) 的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．标准正态分布的分布函数记作 ，即 ， 当出时， 可查表得到；当时，可由下面性质得到 ． 设 ，则有； ． 六条性质 2 (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率． 落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【示例】?已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为 ()x Φ() x Φ2 2 ()t x x dt - Φ=? 0x ≥()x Φ0x <()x Φ()1()x x Φ-=-Φ2 ~(,)X N μσ()( ) x F x μ σ -=Φ()( )( ) b a P a X b μ μ σ σ --<≤=Φ-Φ ( )． A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15% 实录 同学甲 A 同学乙 B 同学丙 C 正解 依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为 1－99.7% 2 ＝0.15%.故选D. 【】在正态分布N ????0，1 9中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． A ．0.097 B ．0.046 C ．0.03 D ．0.002 6 解析∵μ＝0，σ＝1 3，∴P (x ＜－1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤x ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 例：p11-13设随机变量服从正态分布且二次方程无实根的概率为1/2，则 解： 例：p12-22 2．2．4．随机变量函数的分布（连续型的必考） 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布（重点必考大题） 标准差允许的最大值为31 随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋… 第三章--多维随机变量及其分布总结 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?. 第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++) 随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ， 00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： 第13讲 正态分布 教学目的：理解并熟练掌握正态分布的密度函数、分布函数、数字特征及线性性质。 教学重点：正态分布的密度函数和分布函数。 教学难点：正态分布密度曲线的特征及正态分布的线性性质。 教学学时：2学时 教学过程: 第四章 正态分布 §4.1 正态分布的概率密度与分布函数 在讨论正态分布之前，我们先计算积分()? ∞ +∞ --- dx e x 2 2 221σ μσ π。 首先计算? ∞ +∞ --dx e x 2 2 。因为 π θ σπ 20 2 20 2 2 2 2 2 2 22 2 == = ?? ? ?? ? ? ∞ +- +- ∞ +∞ -- ∞ +∞ --rdr e d d e dy e dx e r R x x y x (利用极坐标计算) 所以π 22 2 =? ∞ +∞ -- dx e x 。 记 t x =-σ μ ，则利用定积分的换元法有 ()1 2212121212 2 22 2 2 2 == = = ? ? ? ∞ +∞ -- ∞ +∞ -- ∞ +∞ --- ππ π π σ πσ μdt e dt e dx e t t x 因为 ()0 212 2 2≥-- σ μσ πx e ，所以它可以作为某个连续随机变量的概率密度函数。 定义 如果连续随机变量X 的概率密度为 ()(), ,212 2 2+∞<<∞-= -- x e x f x σ μσ π 则称随机变量X 服从正态分布,记作()2 ,~σμN X ,其中()0,>σ σμ是正态分布的参 数。正态分布也称为高斯（Gauss ）分布。 对于1,0==σμ的特殊情况,即如果()1,0~N X ,则称X 服从标准正态分布,它的概率密度记为()x ?,有()2 2 21x e x - = π ?。 函数()2 2 21x e x - = π?的图象的特点： 令()0 22 2 =-= '- x e x x π ?，得驻点0=x 。根据()x ?'的正负性可知, 0=x 是()x ?的 极大值点,该点坐标为???? ? ? π21 , 0。 令()()0 212 2 2 =-= ''- x e x x π ?,得1±=x ,根据()x ?''的正负性可知,函数()x ?在() 1,-∞-和()+∞,1内是凹的,在()1,1-内是凸的, ???? ? ? --2 121, 1e π 和??? ? ? ?- 2 121,1e π 是拐点。 因为021lim 2 2 =- ∞ →x x e π ,所以x 轴是该曲线的渐近线。 根据()x ?的偶函数性质,函数()x ?的图象关于y 轴对称。 根据上述特点作出()x ?的曲线如下： 复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、ξ、η等表示． ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==，则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1)0,123≥，，，i p i =L ；123(2)1p p p +++=L 3．常见的分布列 ⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下： x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L ．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列 二项分布？还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率 均为 5 1，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ???，． 3 3 1464(0)55125P X C ????==?= ? ?????∴； 1 2 131448(1)55125P X C ????==?= ? ?????； 2 1 23 1412(2)55125P X C ????==?= ? ?????； 3 33141(3)55125 P X C ????==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本 称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此 得到样本的频率分布直方图，如图4 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量, （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克 的产品数量，求Y 的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 克的概率。 第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2 第二章概率总结 一、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会 出现哪一个结果． 2.分类 随机变量 （如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结 果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等 或希腊字母ξ、η等表示。） 离散型随机变量：连续型随机变量： 3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 性质：①---------------------------------------------- ②-------------------------------------------------． 二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0 一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量， 则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中 则称随机变量X 的分布列 , 为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的 总数、样本容量 条件概率 1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率， 叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率 2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB 3.条件概率计算公式: 例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品， 求第二个又取到次品的概率. 相互独立事件 1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件 叫做相互独立事件 2.相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有 如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。即： P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An) 3解题步骤 说明（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. （3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立. Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.360docs.net/doc/7211911900.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1 2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1 (5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)= 信息系统项目管理师重点知识点：完工概率计算总结 例图： 活动BCD的乐观(m)工期都是9天，最可能(o)工期为12天，最悲观(p)工期都是15天，那么在14天内完成单项活动的概率和完成全部这三项活动的概率是多少 首先计算平均工期（PERT）：公式－－（乐观时间+4*最可能时间+悲观时间）/ 6 (9+4*12+15)/6=12天； 其次计算标准差：公式－－（悲观时间-乐观时间）/ 6 ； (15-9)/6=1天 再计算偏离平均工期：方法－－[给出的天数计算（14）－计算出来的平均工期(12)]/标准差(1) (14-12)/1=2 备注：此时得出来的为几,之后就是使用几西格玛 (Sigma)(1σ=68,37%)(2σ=95.46%)(3σ=99.73%)(6σ=99.99966%百万分之三点四) 计算每一项活动在14天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+95.46%/2=97.73% 备注：50%参考正态分布图，95.46参考2西格玛值； 计算全部活动在14天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 97.73%*97.73%*97.73%＝93.34% 下图为简要正态分布图： 备注：正态分布有50%成功，有50%不成功 如计算将上面的14天，修改为13天； 偏离平均工期就是1天，计算方法：(13-12)/1=1天，则应该使用1西格玛； 计算每一项活动在13天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+68.37%/2=84.19% 备注：50%参考正态分布图，68.37参考1西格玛值； 计算全部活动在13天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 84.19%*84.19%*84.19%＝59.67% 如果计算为11－15天的概率：最小值的概率+最大值的概率 68.37/2+99.75/2=84.06% 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?. 二项分布？还是超几何分布 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率 均为1 ， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 1 ，．5X~B 35 0312 ∴ P(X 0) C301 464 ；P(X 1)C31 1 448 ； 5512555125 21 P(X 3) C33 130 P(X 2) C321 412 ；4 1 ．5512555125 因此， X 的分布列为 X0123 P 6448121 125125125125 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有： P(Y 0)C20C837 ；P(Y1)C21C82 7 ；P(Y2)C22C81 1 ． C10315C10315C10315 因此， Y 的分布列为 Y012 771 P 1515 15 例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 （ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 , （ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克 的产品数量，求Y 的分布列； （ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率。 随机变量及其分布考点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ. ,2,1,01=≥i p 121=++++ i p p p 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋 中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．随机变量及其分布列概念公式总结
第三章--多维随机变量及其分布总结
随机变量及其分布考点总结
随机变量及其分布函数
正态分布总结
随机变量及其分布小结与复习
项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文
选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结
联合概率分布：离散与连续随机变量
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
正态分布、概率
第三章__多维随机变量及其分布总结
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习
随机变量及其分布考点总结