相似图形知识点与题型分析教学提纲

相似图形知识点与题

型分析

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相似图形的知识与题型 知识点1：比例线段的相关概念

1.比例线段：

对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

a c

b d

=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

注意：⑴ 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

⑵ 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例

式．

⑶ 比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，

那么应得比例式为：a

d c

b =．

2.比例中项：如果

c

b

b a =（或a

c b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。 知识点2：比例的性质

基本性质：(1)bc ad d c b a =?=::；

(2)b a c b c c a ?=?=2::．

反比性质（把比的前项、后项交换）：c

d a b d c b a =?=． 合比性质：

d

d

c b b a

d c b a ±=±?=．发生同样和差变化比例仍成立。

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等比性质：若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a ，则

b

a

n f d b m e c a =+???++++???+++. 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，

b a d

c ::=，c a

d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．

②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法， 设d

c

b a = ＝k ，那么a ＝kb ，

c ＝k

d ，ad ＝kb ×d ＝b ×kd ＝bc 知识点3：比例线段的有关定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理）。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。

平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

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边与原三角形三边对应成比例。

定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边。

知识点4：黄金分割

点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），且AC

BC AB

AC =，叫做把

线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

618.02

1

5≈-=

AB

AC

注：黄金三角形：顶角是36°的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。

知识点5：相似图形

1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形。

相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

注意：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （4）相似三角形的对应边之比叫做相似比。

2、相似三角形的判定方法

形的三边与原三角形三边对应成比例。

判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。

判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似。

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

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从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 3、相似三角形的性质定理：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形的周长比等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；

（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4、相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

(3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽

C B A ''''''?．

5、相似直角三角形

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边。

定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。

定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

6、直角三角形的射影定理

直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项。

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型

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知识点6：与位似图形有关的概念

1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。

（3）位似图形的对应边互相平行或共线。

2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

关于相似的证明

（一）证明比例式或等积式（三点定形法）：

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1．横向定型法

欲证AB BC BE

BF

=，横向观察，比例式中的分子是AB 和BC ，三个字母A 、

B 、

C 恰为⊿ABC 的顶点；分母是BE 和BF ，三个字母B 、E 、F 恰为⊿BEF 的三个顶点。因此只需证⊿ABC ∽⊿EBF ． 2．纵向定型法

欲证AB DE BC

EF

=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A 、

B 、

C 恰为⊿ABC 的顶点；右边的比是DE 和EF 中的三个字母

D 、

E 、

F 恰为⊿DEF 的三个顶点．因此只需证⊿ABC ∽⊿DEF ． 3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形。

这种方法就是等量代换法。在证明比例式时，常用到中间比。 方法：将等式左右两边的比表示出来。 ①)(,为中间比n m

n m d c n m b a == ②

'',,n n n

m

d c n m b a === ③),(,'''

'''n

m n m n n m m n m d c n m b a =====或 （二）比例中项式的证明：

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解。 （三）倒数式的证明：

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。 （四）复合式的证明：

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复合式的证明比较复杂。通常需要进行对线段进行等量代换、等比代换、等积代换，将复合式转化为基本的比例式（或等积式），然后进行证明。

（五）相似证明中常见辅助线的作法： 1、在相似的证明中，常见的辅助线的作法是

做平行线构造成比例线段或相似三角形，再结合等量代换得到要证明

的结论。

2、常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。 如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：BD AB DC

AC

=．

3

21E

D C

A B B

A

C

D

E

12

证法一：过C 作CE AD ∥，交BA 的延长线于E ．

∴1E ∠=∠，23∠=∠．

∵12∠=∠，∴3E ∠=∠．∴AC AE =． ∵AD CE ∥，∴

BD BA BA

DC BE AC

==

． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模

型。

证法二：过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ．

∴12E ∠=∠=∠，∴AB BE =． ∵BE AC ∥，∴

BD BE AB

DC AC AC

==

． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模

型。

3、相似证明中常用的面积法基本模型如下：

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图1：“山字”型

H

D

C

B

A

1

21

2ABC ACD

BC AH

S BC S CD CD AH ??==

??△△

图2：“田字”型

G H

O

D

C

B

A

1

212

ABC BCD

BC AH

S AH AO S DG OD BC DG ??===

??△△

图3：“燕尾”型

C

D

E

B

A

ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB AD

S S S AE AC AE AC

?=?=?=

?△△△△△△

4、相似证明中的基本模型

I H G F

E

D C

B A

G

F E

D

C B

A

E

D

B A E

D C B A

E

F

D

C B

A F E D C B

A O

D C B

A

O

D C B

A

H

E D

C

B A E

D

C

B

A

E

D

C

A

O

D

B

A

B D B

C

A

E

D A

B A

G E

D

C

A

G

F E

D

C B

A G F

E

D

C

B A

D

E

F

C

B

A

P

M

N

F D

C

B

A

G

H

G F

E

D

C A

E F

D

C B A

F

E D

C B A

相似三角形的几种基本图形归纳：

(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）