中考专题-正多边形与圆

正多边形与圆

【重点、难点、考点】

重点：正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算；圆周长弧长、扇形及弓形的面积公式及有关的计算；正多边形与圆的关系及正多边形的性质．

难点：将较复杂的图形分割成扇形、弓形、三角形等基本图形进行计算是难点．

考点：将不能直接用公式计算的图形，转化成能用公式计算的图形，是近几年中考所考查的知识点，这部分知识的考查约占总考量的2％左右．

【典例精讲】

例1 ：已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．

解：设正三角形边长为a，则其周长为C1＝3a，面积S1＝3

a2，又设正六边形边长为b，

则周长为C2＝6b．面积S2=33

b2，由C1=C2，

知,a=2b,∴S1∶S2=3

a2∶

b2=3b2∶

b2=

,故它们的面积的比值为2∶3。

【解题技巧点拨】

本题必须抓住“周长相等”这一重要信息，找出两种图形的内在联系，然后利用三角形的面积公式计算。

例2 ：已知：如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以各边为直径在AB同侧作半圆，求阴影部分的面积．

解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。

则图中阴影部分的面积为S阴

π×(

)2+

π×(

)2+

×3×4-

π×(

)2=

+2π+6-

故图中阴影部分的面积为S阴=6个（平方单位）．

【解题技巧点拨】

本题必须经过认真细致的观察，发现以AC、BC、AB为直径的三个半圆的面积，以及

Rt△ABC的面积之间的内在联系，然后利用圆的面积公式，三角形的面积公式进行计算．【综合能力训练】

一、填空题

1．扇形的圆心角为90°，半径为2cm，扇形的面积为cm2.

2．如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC＝3O°，则图中阴影部分的面积

是．（结果用π表示）

3.我国国旗上五角星的每一个锐角是。

4. 一个正n边形的中心角是它的一个内角的1

，则n＝。

5. 在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝

。

6．半径为5，孤长等于圆周长1

的扇形面积。

7．母线长为3cm，底面半径为1cm的圆柱侧面展开图的面积为cm2。8．用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥模型的侧面（不计接缝），那么这个圆锥底面的半径是cm.

二、选择题

9.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R,则r∶a∶R等于（）A．1∶23∶2 B．1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶3∶23

10.如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是（）

A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形

11.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A．43B．4 C．23 D.2

12.下列命题中的真命题是（）

A ．正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2∶1

B ．正六边形的边长等于其外接圆的半径

C ．圆外切正方形的边长等于其边心距的2倍

D ．各边相等的圆外切多边形是正方形 13.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（）

A ．正三角形

B ．正方形

C ．圆

D ．不能确定

14. 1994年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是（）

A ．Rsin20°

B ．Rsin40°

C ．2Rsin20°

D ．2Rsin40°

15.将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为（）

A ．()2222a -

B ．279a

C ．232a

D ．()2

322a - 16.如图两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，则两圆组成圆环的面积是（）

A ．16π

B ．36π

C ．52π

D ．81π

三、解答下列各题：

17.已知：如图P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA ＝2cm ，PC ＝1cm ，求图中阴影部分的面积S.

18．如图，把三个半径均为15cm的圆筒捆在一起，要用多长的绳子才能绕它们一圈？

19．如图，已知B是AC上一点，分别以AB、BC、AC为直径在AC同侧作半圆，过B作BD⊥AC，与半圆交于D，如果BD＝6，求图中阴影部分的面积．

20．如图，⊙O的内接正五边形AB CDE的对角线AD与BE相交于点M，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM2＝BE· ME；（3）设BE、ME的长是关于x的一元二次方程x2-25x+k＝0的两个根，试求k的值，并求出正五边形ABCDE的边长．

【创新思维训练】

21．已知，如图⊙O 和⊙O′相交于A 、B ，弦AC 、AD 分别与⊙O′，⊙O 相切于点A ，∠CAB ＝45°，∠BAD ＝30°，⊙O′的半径为 6cm.

求：（1）公共弦AB 的长及BC AC 2-AD BD

的值；（2）求图中阴影部分的面积。

22.如图，表示广场中心的圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植六种不同颜色的花，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等，请你帮助设计一种种植方案作在圆上（保留痕迹，不写作法）．

23．某单位的办公室由四种正多边形的小木板铺成，设这四种正多边形的边数分别为 x 、y 、z 、w 。试求：1111x y z w

+++的值．

参考答案

【综合能力训练】

一、1. π 2. 6π-43

3.36°

4.12

5.30°或90°

6.5π

7.6π

8.10cm 二、

9.A 10.A 11.B 12.B 13.C 14.C 15.A 16.B

三、17.( 435-2π

)cm 2 18.(90+3π)cm 19.9π 20.（1）（略）（2）（略）（3）k=4,边长为2

21.（1）62cm, 2 （2）(27+273)cm 2 22.（略） 23.1

初中九年级数学正多边形和圆

24.3 正多边形和圆教学任务分板书设课后反

问题与情境师生行为设计意图活动一：复习提问 1.什么样的图形叫做正多边形？展示图片（课本P 113页图片），你还能举出一些这样的例子吗？ 2.正多边形与圆有什么关系呢？（引出课题）活动二：等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师提出问题，学生进行回答：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．并举出生活中的例子．教师可再展示一些图片让学生欣赏．学生根据教师提出的问题进行思考，回忆圆的有关知识，进而回答教师提出的问题．即等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明．复习正多边形的概念，为今天的课程做准备．激发学生的学习兴趣．培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．

问题与情境师生行为设计意图活动三：如何等分圆周呢？问题：已知⊙O 的半径为2cm ，求作圆的内接正三角形．教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：如图， ∵AB BC CD DE EA ==== ∴AB BC CD DE EA ==== 3BAD CAE AB == ∴ C D ∠=∠ 同理可证：A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠ ∴ 五边形ABCDE 是正五边形． ∵A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行作图，方法不限．以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法) (1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO =∠CAO =30°，如图1． ②用量角器度量，使∠AOB =∠BOC =∠COA =120°，如图2． (2)尺规作图：用圆规在⊙O 上截取长度等于半径（2cm ）的弦，连结AB 、BC 、 CA 即可，如图3． (3)计算与尺规作图结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=3 R=23（cm ），用圆规在⊙O 使学生理解、体会圆与正多边形的内在联系．充分发展学生的发散思维．让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力． O E D C B A B O C A O B A C O C A B 图1 图2 图3

正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

个性化辅导教案正多边形和圆知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。正n 边形的一个中心角的度数为：型正多边形的中心角与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。接圆的圆心。的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年级：上课时间：2016年月分至时分共小时教学重难点教学标题正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。

2012中考数学复习(48)：正多边形和圆

中考数学复习（48）：正多边形和圆知识考点： 1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算； 2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长； 3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积； 4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。精典例题：【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ，由题意得：AB R 3 3 3=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3； ∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 2 1 3602=π＝扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。解：设扇形的半径为R ，则180 R n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020R ππ＝，24=R ∴ππ24024202 1 21=??=lR S ＝扇形。【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部分的周长。分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和? AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200 ，因此可求出? AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。解：连结OA 、OB ∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ 2 O 1O ?? 例1图 B A 例3图

《正多边形和圆》练习题

思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高 AD= 3 思路解析：因为正 n 边形的中心角为 360? 3 4 24.3 正多边形和圆 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3 a ，外接圆半径 OA= a ，边心距 2 3 OD= 3 6 a ，所以 AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 6 4.中心角是 45°的正多边形的边数是__________. 360? ，所以 45°= ，所以 n=8. n n 答案：8 5.(2010 上海静安检测△)已知 ABC 的周长为 20,△ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4, 那么 BC=__________. 思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 2 3 时，此时该正 n 边形有_________条对称轴. 360? (n - 2) ? 180? 思路解析：因为正 n 边形的外角为，一个内角为， n n 360? 2 (n - 2) ? 180? 所以由题意得 = · ，解这个方程得 n=5. n 3 n 答案：5 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A. 6 6 B. C. D. 2 3 4 3 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A. 答案：A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S 3、S 4、S 6 之间的大小关系是( )

中考复习专题32正多边形与圆

正多边形与圆一.选择题 1．（2015?广东广州,第9题3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（） A． 3B． 9C． 18D．36 考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3， ∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容． 2. （2015?浙江金华，第10题3分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是【】 A. B. C. D. 2 【答案】C. 【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用. 【分析】如答图，连接，与交于点. 则根据对称性质，经过圆心，

∴垂直平分，. 不妨设正方形ABCD的边长为2，则. ∵是⊙O 的直径，∴. 在中，， . 在中，∵，∴. 易知是等腰直角三角形，∴. 又∵是等边三角形，∴. ∴. 故选C. 3. （2015山东济宁，7，3分）只用下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌( ) A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【答案】B 考点：正多边形的内角，平面镶嵌 4. （2015?四川成都,第10题3分）如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为（A）、（B）、 D （C）、（D）、

新人教版九年级数学《正多边形和圆》同步练习

正多边形和圆一、选择题 1.下列说法正确的是（） A .各边相等的多边形是正多边形 B .各角相等的多边形是正多边形 C .各边相等的圆内接多边形是正多边形 D .各角相等的圆内接多边形是正多边形 2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（） A ．：3 B ．：2 C ． 1：2 D ．：2 3.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( ) A ．6，32 B ．32，3 C ．6，3 D ．62，32 4. 如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（）． A ．60° B ．45° C ．30° D ．22．5° 5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（） A.1:2:3 B.3:2:1 C.3:2:1 D.1:2:3 6. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108° 7.（2013?自贡）如图，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是（） A.4 B.5 C.6 D. 7 8.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是（） A.60° B.65° C.72° D.75° 二、填空题 9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________. 10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度. 第4题第6题第7题第8题

(名师整理)人教版数学中考《正多边形和圆》专题复习精品教案

中考数学人教版专题复习：正多边形和圆一、教学内容：正多边形和圆 1. 正多边形的有关概念. 2. 正多边形和圆的关系. 3. 正多边形的有关计算. 二、知识要点： 1. 正多边形的定义各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 如正三角形（即等边三角形）、正四边形（即正方形）、正五边形、正六边形、正n 边形等. 2. 正多边形与圆的关系（1）从圆的角度看：等分圆周可获得正多边形，把圆分成n （n ≥3）等份. ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形. ②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形. （2）从正多边形的角度看：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3. 正多边形的有关概念（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心. （2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径. （3）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离（即正多边形的内切圆的半径）. （4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角. 正多边形的每一个中心角的度数是360° n .

O R B 1 A 1 B 2 A 2 B 3 A 3C r 4. 正n 边形的对称性当n 为奇数时，正n 边形只是轴对称图形；当n 为偶数时，正n 边形既是轴对称图形，也是中心对称图形. 5. 一些特殊正多边形的计算公式边数n 内角A n 中心角αn 半径R 边长a n 边心距r n 周长P n 面积S n 3 60° 120° R 3R 12R 33R 3 43R 2 4 90° 90° R 2R 22R 42R 2R 2 6 120° 60° R R 32 R 6R 3 2 3R 2 三、重点难点：重点是正多边形的概念和计算，难点是正确理解正多边形和圆的关系. 【典型例题】例1. 如图所示，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________. 线段正三角形正方形正五边形正六边形（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（3）（5）评析：因正方形、正六边形的边数为偶数，所以线段、正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 例2. （1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是__________. （2）正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于__________，中心角是__________. 分析：利用正多边形的内角和及中心角的计算公式求解. （1）依题意得

正多边形和圆练习题及答案

正多边形和圆练习一、课前预习（5分钟训练） 2?圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（有变化 2?正三角形的商、外接圆半径、边心距之比为（ C.4 ： 2 ； 1 4?中心角是45。的正多边形的边数是 5?已知△ABC 的周K 为20,A ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么 BC= 二、课中强化（10分钟训练） i. 若正n 边形的一个外角是一个内角的彳时，此时该正n 边形有称轴. 2?同圆的内接正三角?形与内接正方形的边长的比是（ 3?周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（ 4?已知OO 和OO 上的一点A （如图24-3-1）. （1）作OO 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； ⑵在⑴题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是OO 内接正十二边形的一边. A ?扩大了一倍 B ?扩大了两倍 C ?扩大了四倍 D ?没 3?正?五边形共有条对称轴，正六边形共有条对称轴. 条对 >S4>S6 >S4>3 C>S3>S4 >S6>S3

图 24-3-1 三、课后巩固（30分钟训练） 1 ■正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（二边形 3?已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为 4?正多边形的一个中?心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于度. 5?如图24-3-2.两相交圆的公共弦AB 为2? 在OOi 中为内接正三角形的一边, 在002中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 6?某正多边形的每个内角比其外角大100\求这个正多边形的边数. 2.已知正多边形的边心距与边长的比%,则此正多边形为（ B.正方形 A ?正三角形 C ?正六边形 D ?正十 cm.

九年级上册数学《圆》正多边形和圆_知识点整理

正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。二、知识要点 1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆一、填空题 1．在一个圆中，如果?60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________. 2．正n 边形的中心角的度数是_______. 3．边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4．正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）. （A ）两角互余（B ）两角互补（C ）两角互余或互补（D ）不能确定 6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）. （A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:3 7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）4 1 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（）. （A ）（1-π）a 2 （B ）1-π （C ） 44π- （D ）4 4π-a 2 1. 3； 2. n o 360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD

(完整版)正多边形与圆-练习题含答案

正多边形与圆副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为 A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，则度，度，在直角中，根据三角函数得到．故选B．根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形． 2.如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：六边形ABCDEF是正六边形，，是等边三角形，，设点G为AB与的切点，连接OG，则，，．故选A．由于六边形ABCDEF是正六边形，所以，故是等边三角形，，设点G为AB与的切点，连接OG，则，，再根据，进而可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此题的关键．

3.如图，是等边三角形ABC的外接圆，的半径为2，则等边的边长为 A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】解：作于D，连接OB，如图所示：则，是等边三角形ABC的外接圆，，，，，即等边的边长为；故选：D．作于D，连接OB，由垂径定理得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC 的长．本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4.如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为 A. 2， B. ， C. ， D. ，【答案】D 【解析】解：连接OB，，，，，故选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，

41【基础】正多边形和圆(基础课程讲义例题练习含答案)

正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

2018沪科版数学九年级下册246《正多边形和圆》练习题1

24、6 正多边形与圆第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系 1.下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ) (1)正三角形（2)正五边形（3）正六边形（4）正八边形 A.（1）（2） B 。(2)（3) C.（1)（3) D 。（1)（4） 2.以下说法正确的是 A 。每个内角都是120°的六边形一定是正六边形。 B.正n 边形的对称轴不一定有n 条。 C.正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数。 D.正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3、若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3,r 4,r 6,则r 3:r 4：r 6等于( ） A 。1:2:3 B 。3:2:1 C.1:2:3 D. 3:2:1 4、如图，若正方形A 1B 1 C 1 D 1内接于正方形ABCD 的内接圆,则 AB B A 1 1的值为（ ) A. 2 1 B 。22 C 。 4 1 D.42 5。已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为 ______________________. 第5题图第6题图 6.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= 。 7.将一块正六边形硬纸片（图1）,做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,见图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度. 8。从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为。 O B C D A E F E D C B A O O D E C A

九年级数学：正多边形和圆有关计算(含答案)

B O A C O A C B 正多边形和圆有关计算一、选择题 1. 正三角形内切圆半径 r 与外接圆半径R 之间的关系为（） A ．4R =5r B ．3R =4r C ．2R =3r D ．R =2r 2. 用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）.方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD 剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD 等于 A ．108° B ．90° C ．72° D ．60° 3. 一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形是（） A ．正六边形 B ．正八边形 C ．正十边形 D ．正十二边形 4. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 5. 10．如图，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α（） A ．30° B ．40° C ．80° D ．不存在 6. 边长为a 的正六边形的内切圆的半径为（） A ．2a B ．a C ． 3a D ．1 2 a 7. 如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（） A ． B ． C ． D ． 8. 将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为（） A . 33cm 2 B .33cm 2 C .33cm 2 D .33cm 2 9. 如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（） A ．2 B ． 3 C ．1 D ．1 2 11. 如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是 A ．弦A B 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦A C 的长等于圆内接正十二边形的边长 C ．??AC BC = O O 681017P O

2019年中考数学：正多边形与圆专题练习(含解析)

2019年中考数学：正多边形与圆真题汇编 (名师精选全国真题实战训练+答案，值得下载练习) 一.选择题 1. （2018?资阳?3分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（） A．B．（）a2 C．2D．（）a2 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×，即可得出结果．【解答】解：∵正六边形的边长为a， ∴⊙O的半径为a， 2=πａ2， ∴⊙O的面积为π×ａ ∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形， ∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2， ∴正六边形面积为a2， ∴阴影面积为（πａ2﹣a2）×=（﹣）a2，故选：B．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键． 2. （2018?湖州?3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点； ③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（） A. r B. （1+）r C. （1+）r D. r 【答案】D 【解析】分析：如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；详解：如图连接CD，AC，DG，AG． ∵AD是⊙O直径， ∴∠ACD=90°，

在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°， ∴AC=r， ∵DG=AG=CA，OD=OA， ∴OG⊥AD， ∴∠GOA=90°， ∴OG=r，故选：D．点睛：本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3. （2018·黑龙江大庆·3分）一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解．【解答】解：∵一个正n边形的每一个外角都是36°， ∴n=360°÷36°=10．故选：D．二.填空题 1.（2018?山东烟台市?3分）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=：2．【分析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出

九年级数学正多边形与圆教案

九年级数学正多边形与圆教案学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系； 2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形； 3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形； 4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。学习过程：一、情境创设：观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动：活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形。（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系 1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分； 2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。

正多边形与圆知识点+例题+练习(非常好分类全面)

§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念 ★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形. 注：边数3 n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形. 例1 下列说法正确的是（） A.正三角形不是正多边形 B.平行四边形是正多边形 C.正方形是正多边形 D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点） 1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________. 2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形. 注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.

知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正?ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形. 二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________. 题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.

九年级数学：正多边形和圆练习题(含答案)

一、选择 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.3 4 4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ) A.S 3>S 4>S 6 B.S 6>S 4>S 3 C.S 6>S 3>S 4 D.S 4>S 6>S 3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.6 3 B.43 C.332 D.33 6.已知正多边形的边心距与边长的比为2 1，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形二、填空 7.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 8.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 9.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 10.若正n 边形的一个外角是一个内角的3 2时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 12-13初三数学作业总第（23）期姓名班级学号命题人：蔡文红校对人：杜荣丽康梅红正多边形和圆（2）

11.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm. 12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度. 13.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 14.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 15、如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON. 图24-3-6 (1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数； (2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).

2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题32 正多边形与圆(含解析)

正多边形与圆一.选择题 1.（2020年德州市）10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（） A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π 【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6?（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，O B．由题意，OA＝OB＝AB＝4， ∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4， ∴S阴＝6?（S半圆﹣S弓形AmB）＝6?（?π?22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． https://www.360docs.net/doc/7214740913.html, 二.填空题 1.(2020?江苏省徐州市?3分)如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为10．

【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A，B，C，D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB ＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键． 2.(2020?江苏省扬州市?3分)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°．由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD＝＝，即＝，解得a＝，故答案为．【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，

正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正n 边形的每个中心角等于n 360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于n n 180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 3、画正多边形 (1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π= 5、圆扇形，弓形的面积（l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180 R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三