麦克斯韦速率分布律的推导与验证.

麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证

摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法

推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。

关键词：速度分布函数，实验验证。

一． 内容

1、麦克斯韦速度分布律的内容

当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在

x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为：

2223

()/22x y z d v m ()v v v N 2kT

x y z m v v v kT

N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22

2211()v 22

x

y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N

N （）

表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总

分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。

2、分子速度分布函数

2223()/22m f ()2kT

x y z

m v v v kT

e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv

f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分

子数的比率。 3、速度分量分布函数

2221

/221

/221

/22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT

x y z mv kT

mv kT

mv kT

e

e

e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律

将以,,x y z v v v 为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标

2,,,,sin {x y z v v v v v d d dv θ?

θθ?→→x

y

z

dv

dv dv 分子速度在v ~v dv +，~,~d d θθθ???++内的分子数占总分子数的比率为

23

/22

2m ()sin 2kT

mv kT e v d d dv θθ?π-=dN(v)N 对θ，?积分，得分子的速度在v ~v dv +内分子数占总分子数的比率为

23

/222m 4()2kT

mv kT e v dv ππ-=dN(v)N 4、分子速率分布函数

23

/222m f v 4()2kT

mv kT e v ππ-=dN(v)（）=Ndv

物理意义:分子速率在v 附近，单位速率间隔内的几率。

二． 历史

1859年4月，麦克斯韦偶然的读到克劳修斯关于平均自由路程的那篇论文，很受鼓舞，重燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，认为可以用所掌握的概率理论对动理论进行更全面的论证。

1859年麦克斯韦写了《气体动力理论的说明》一文。接着他用概率方法找出粒子速度在某一限值内的粒子的平均数，即速率分布律。

麦克斯韦的这一推导受到了克劳修斯的批评，也引起了其他物理学家的怀疑。这是因为他在推导中把速度分解为x ，y 和z 三个分量，并假设他们相互独立的分布。

直到1866年，麦克斯韦对气体分子运动理论做了进一步的研究以后，他写了《气体的动力理论》的长篇论文，讨论气体的输运过程。其中有一段是关于速度分布律的严格推导，这一推导不再有“速度三个分量的分布相互独立”的假设，也得出了上述速度分布律。它不依赖于任何假设，因而结论是普遍的。

三． 麦克斯韦速度分布律的推导

设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N ，分子速度在x ，y ，

z 三个方向上的分量为,,x y z v v v 。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，在速度区间x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +内的分子数dN 显然与总分子数N 和速度间隔体元x y z v v v d d d 成正比

即2x y z ()v v v dN NF U d d d = （2222

x y z

U v v v =++） （1） 这里比例系数 2()F U =x y z

dN

Ndv dv dv (2 )

为速度分布函数

由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关，故可设

2()()()()x y z F U f v f v f v =++ （3）

对上式两边取对数的

2ln ()ln ()ln ()ln ()x y z F U f v f v f v =++

上式分别对,,x y z v v v 求偏导 先对x v

x 22)112v ())dF U U

F U dU ?????=?=???x x x x x

f(v 且v f(v v v 整理后可得

22

x d )

111()2v )d dF F U dU ?=??x x x

f(v f(v v 同理有

22y d )

111()2v )d dF F U dU ?=??

y y y

f(v f(v v 22

z d )

111()2v )d dF F U dU ?=??z z z

f(v f(v v 以上三式左边相同，故右边也相等 可令

x y z d )d )d )

1111112v )d 2v )d 2v )d λ?=??=??=y x z x x y y z z

f(v f(v f(v f(v v f(v v f(v v 对上式积分得222

y

x

z v v v y z f Ae f Ae

f Ae λλλx （v ）=（v ）=（v ）=

将其带入（3）式有 222

x y z v +v +v 2

3F(U )=A e

λ（）

（5）

考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故λ应为负值

令2a λ=-， 有归一条件有：

222222

y

x

z

v v v 23

F(U )A

e

e

e 1a a a x y z x y

z dv dv dv dv dv dv +∞

+∞

+∞

----∞

-∞

-∞

==??????

由积分公式

22

e a x

dx a

+∞

--∞

=?

可知

上式33A (

1a

=

得

于是

222

x y z v +v +v 2

3F(U e 2-a （）

（6）

在利用分子平均动能等于3

2

kT

21322

mU kT = 则 23kT

U m =

即 223(U )F(U )x y z kT

dv dv dv m

=??? （7）

222

x y z 222

222

222

x y z x

y z x

y z v +v +v 22

23v +v +v v +v +v v +v +v 32

2

2(e

[e

e

e

]x

y z

x y z

x y z x y z

v

v v dv dv dv v v v dv dv dv ++=++??????22

2

2

-a （）

-a （）

-a （）

-a （）

仅取上积分式中一项222

x y z v +v +v 2e

x

x y z v dv dv dv ???2-a （）

22

2

22

2

2x 2x

v e

v e y

x z y

x z

av av av x y z

av av av x y z

e

e dv dv dv dv e dv e

dv ------=??????

由积分公式22

2a x x e dx -=

?

22

a x e dx -=?可得

原式3

2

25

12a a

ππ

=

=

则

2222

2222

32

()

2532

()25

1212x y z x y z a v v v y y a v v v z

z v e

dv a v e

dv a π

π-++-++==

??????

代入（7

）式有3

2

35

13(3)2kT

a m

π??

= 得

a =代入（6）式有

222

3

()

2

22

()()2x y z m v v v kT m F U e kT

π-++= （8）

通常说的速率分函数，f （u ）指的是不论速度方向如何，只考虑速度的大小点的分布，在这种情况下，自然应该用球坐标系表示速度区间

2r sin v sin {d d dr v d d dv

θ?θθ?θ?τθθ?2

球坐标空间 、、 dV=r

球速度空间 、、 d = 则 x y z 2x

y

z

v d d d sin {v v v v v v v d d dv θ?

θθ?→→、、、、

232/22200()sin 2mv kT dN m e v d d dv N kT

ππθθ?π-=?? 23

/22

24()2mv kT m e v dv kT

ππ-=

可得： 23

/222()4()2mv kT dN m f u e v NdV kT

ππ-=

= 四． 实验验证

在麦克斯韦从理论推导速度分布律后的近半个世纪，由于当时的技术条件，主要是高真空技术和测量技术的限制，要从实验上来验证麦克斯韦速度分布律是非常困难的，直到1920年，英国物理学家斯特恩才做了第一次的尝试。虽然实验技术曾经有许多物理工作者做了进一步的改进，但直到1955年才由哥伦比亚大学的密勒和库士提出了这个定律的高精确的实验证明。

1、实验装置简介

（1）、o 为分子或原子射线源

（2）、R 是用铝合金制成的圆柱体，圆柱体上均匀地刻制了一些螺旋形的细槽，细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角o 4.8?=

（3）、D 是根据电离计原理制成的检测器，用来接收原子射线，并测定其强度

（4）、整个装置都放在抽成真空的容器内 2、实验原理

实验时，圆柱体R 以一定的角速度ω转动，由于不同的速率的分子通过细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，只有速率严格限定的分子才能通过这些细槽，而不和细槽壁碰撞。分子沿细槽前进所需的时间为t v l ?ω=

=，从而有l v ω

?

= 只有速率满足上述关系的分子才能通过细槽，其它速率的分子将沉积在细槽的内壁上。因此旋转主体起到了速率选择器的作用，改变角速度ω，就可以使不同的分子通过。 3、实验过程与结果

改变圆柱体转动的角速度ω，依次测定相应分子射线的强度，就可以确定分子射线的速率分布情况。

试验表明，射线强度确为速率v 的函数，强度大，表明分布在该速率区间内的分子数所占的比率较大，反之亦然。

实验还表明，在相同条件下，各相等速率区间内的分子数比率不同，多次实验得到同一速率区间内的分子数比率大致相同。这就说明分子速率确实存在一个恒定的分布律。

1955年密勒与库士测定了从加热炉内发射出来的铊原子速率分布，实验温度为1400K,并由实验数据会出了铊原子速率分布的试验曲线（见下图）。

由试验曲线可知：

（1）、()f v 值两头小，中间大，()f v 有一极大值

（2）、可认为大量原子（或分子）的速率是连续分布的，当v ?取得很小

时，则有 ()dN

f v dv N

=

()f v 这一函数，麦克斯韦首先从理论上找到了

密勒与库士于1955年在实验上比较精确的证明了麦克斯韦速度分布律。

总结：

应用麦克斯韦速率分布律可以求与速度有关的函数的各种平均值；可以计算速率在~v v dv +内的分子数dN ；可以计算速率在有限间隔12~v v 内的分子数N ?或者百分数/N N ?；也可以推导理想气体的压强公式、温度公式、状态方程及几个实验定律；还可以推导能量均分定理。

麦克斯韦速度分布律对于研究气体无规则热运动有重要意义，找到了微观量求统计平均值的途径，为气体分子运动论奠定了基础。

参考文献：

（1）、张兰知著，热学，哈尔滨工业大学出版社，1998、11

（2）、言经柳，麦克斯韦速率分布律的推导，南宁师范高等专科学校校报，1999年第2期 （3）、吴瑞贤 章立源著，热学研究，四川大学出版社，1987、4