多元函数微分学题目+简析

暑期培训（多元函数微分学）

一、多元函数的偏导数

1. f(x,y)可微，f(0,0)=0, m f x =)0,0(/

，n f y =

)0,0(/，)),(,()(t t f t f t =?，求

)0(/?。

知识点：抽象的复合函数求偏导

关键：理清函数结构 答案：2

m mn n ++ 难度：易

2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求x

z

??，2

2x z ??。 知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导

关键：理清函数结构

答案：/////11122/2

,(,),(,);f z

f f y x yz f f y x yz x yf ?==-=-?

()()

()

22//////////2

1

22

2

111212

32/2

2.f f f

f f f f z x

y f

--+?=?

难度：易 3.

(,)z f x y z xyz =++，求

,,.z x y x y z

?????? 知识点：抽象的复合函数求偏导

关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可

以是z ，也可以是x 或者.y

答案：//////121212//////

121212

1;;.1f yzf f xzf f xyf z

x y x f xyf y f yzf z f xzf ++--???==-=?--?+?+ 难度：易

4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且

22),(321)1,(y x O y x y x f +=

+++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1

所确定，求)0(/

y

知识点：多元函数全微分的定义 关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与

“

(,1)123(),f x y x y O ρρ+=+++=

之间的联系，从而从已知条件中发现求)0(/y 所需要的东西。

答案：2

3

-

难度：中 5.

3(),(),,u

u f xyz F t t xyz x y z

?===???求().F t

知识点：3元的抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构+耐心 答案：

///2(3)()3()().f t tf t t f t ++

难度：易

6. 2

(1,1)

(,),.u u

u e xy u u x y x y ?+==??确定了求

知识点：隐函数求偏导

关键：求出

2u x y

???的表达式，明确(,)(1,1)x y =时?u =

答案：

///2(3)()3()().f t tf t t f t ++

难度：易

7. ,ln )1()(x y x x y xf z -+=f 二阶可微，求-??22

2x

z x 222y z y ??. 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：处理好

()y

f x

答案：(1).x y + 难度：易

8. 2

2

2

2

(),x y z xyf z f ++=可微，求.z z x y x y

??+?? 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构、处理好

2()f z

答案：

/2

.1()

z

xyf z - 难度：易 9.

(,,)u v w ?有

二

阶

连

续

偏

导

数

，

(,)

z z x y =由

(,,)0bz cy cx az ay bx ?---= 所确定，求.z z a

b x y

??+?? 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：等号左边的?有3个中间变量；(,)z z x y =。

答案：.c 难度：易 10. 2(,),0.ax by

u

z

u x y e

x y

+?==??确定a 和b ，使得(,)z z x y =满足方程： 20.z z z

z x y x y

???--+=????

知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：求偏导要正确。 答案： 1.a

b ==

难度：易

11. f(t)的二阶导函数连续，2

2

y x r +=

，)1

(),(r f y x g =，求+??22x

g

22y g ??

知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：

写成r ；使用轮换对称性可减少一半

的工作量。

答案：

///34

11.f f r r r r ????

? ?????+ 难度：中

12. z=z(x,y)由0)1

,1

(=-

+

y

z x

z F 所确定，F 有连续的二阶偏导，且

0),(),(≠+v u F v u F V u ，证明：

（1）+??x z x 2

02=??y z y ；（2）22

3x z x ??y x z y x xy ???++2)(0223=??+y

z y

知识点：隐函数求偏导

关键：用,,,u v

F F x y 表示22

22z z z z x y x y ????????、、、及2z x y

??? 答案：证明略 难度：中。 13. (,)u

u x y =有二阶连续偏导数，且22

222

0,(,2),(,2).x u u u x x x u x x x x y

??-===??求

(,2),(,2),(,2).xx xy yy u x x u x x u x x

知识点：抽象函数求偏导

关键：对偏导符号的理解；需明白对于一个抽象函数

(,2)z f x x = ，显然

122z

f f x

?=+?， 12f f 、的函数结构与f 的相同。

答案：45

(,2)(,2);(,2).33

xx yy xy u x x u x x x u x x x ==-=

难度：中 14.

(,)f x y 有二阶连续偏导数，2220,x yy x y yy y xx f f f f f f f -+=0.y f ≠

(,)y y x z =是由(,)z f x y =所确定的函数，求22.y

x

??

知识点：抽象函数求偏导

关键： 1. 三个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变

量可以是z ，也可以是x 或者,y 此题选择y 为因变量，因此在求y

x

??过程中视

z 为常数；

2. 对偏导符号的理解；

3.对于一个抽象函数(,)f x y ，显然x y f f 、的函数结构与f

的相同;

4. 注意到

(,)f x y 有二阶连续偏导数，所以.xy yx f f =

答案：0. 难度：中 15. 已知

(,,)(,,),0k m n f tx t y t z t f x y z t =>对均成立，证明：

（1）(,,)(1,,).n

k m y z

f x y z x f x x

=

（2）(,,)(,,)(,,)(,,).x y z xf x y z kyf x y z mzf x y z nf x y z ++=

知识点：抽象函数求偏导 关键：对偏导符号的理解 提示：（1）已知条件中令1

;t

x

= （2）已知等式两边对t 求导，再令1t =即可。

难度：中。

二、偏导数恒等式的坐标变换

1. z=z(x,y) 有二阶连续偏导数， u=x-2y , v=x+3y 且+??2

26

x z y x z ???2022=??-y z ，求v

u z

???2。 知识点：隐函数组求偏导

关键：要求的是v

u z

???2，所以z=z(x,y)=z(x(u,v)，v(x,y))

答案：0 难度：易。

2. z=z(x,y)，+??x

z

x

2

22z y z y =??，设u x =，11v y x =-,11

z x

ψ=-

对

),(v u ψψ=，证明：

0=??u

ψ

知识点：隐函数求偏导，方程组的情形

关键：1111

(,).(,)((,),(,))(,)

u v z x y x z x u v y u v x u v ψψ==

-=- 证明略 难度：中

3. (,)z z x y =有二阶连续偏导数，证明22

z

x

?+?22z x y ???220z y ?+=?可经过变量替换 ,,u x y v x y w xy z =+=-=-化为等式22210.w

u

?-=?

知识点：隐函数组求偏导 关键：(,)(,(,)(,(,)))w x u v y u v z y u x u v v =

?-

证明略 难度：中 4.

(,)

u u x y =有二阶连续偏导数，以

,y

x y

x

ξη==-改变方程

222u x x ??22u xy x y ?+??2220u y y

?+=?的形式.

知识点：抽象函数求偏导，链式法则 关键：1. u 是关于ξ和η的函数，而,y

x y x

ξ

η==-，由此求出,x y u u ，在进一步求出,,.xx xy yy u u u

2. ,u u ξη的函数结构与u 的相同。 答案：0.u ηηη=

难度：难

5. 将Laplace 方程 22u x ??22

0u

y

?+=?化为极坐标的形式. 知识点：抽象函数求偏导，链式法则 关键：

1. arctan .y x

ρ

θ==

2. u 是关于ρ和θ的函数，

而

arctan .y x

ρθ==由此求出

,x y u u ，在进一步求出,.xx yy u u

3. ,u u ρθ的函数结构与u 的相同。 答案：21

1

0u u u ρρ

θθ

ρρ

ρ

+

+=（同济第六版81页有此题）

难度：难（计算量较大）

三、已知偏导数恒等式，求函数表达式

此类题一般分两个步骤：

第一步 由已知条件得到一个关于未知函数的一个微分方程； 第二步 求解微分方程。

可见第一步是关键，第二步要算对。 1. u>0时，)(/

u f 连续，且f(1)=0，)(y x

e e

f z -=满足）

+??x

z

1=??y z ，求f(u). 知识点：抽象函数求偏导，链式法则 关键：(),,x y z

f u u e e ==-代入+??x

z

1=??y z 可得关于f(u)的微分方程。 答案：ln

.u

难度：较易

2. ()u ?可导，(0)1,()xy

z

x y e

??==+满足：+

??x

z 0.z

y

?=?求()u ?。 知识点：抽象函数求偏导，链式法则 关键：令,u

x y =+整理+

??x

z

0z

y

?=?可得关于()u ?的微分方程 /2()()0u u u ??+=。

答案：略 难度：较易 3.

(,)f u v 有连续偏导数，且(,)(,).u v f u v f u v uv +=求2()(,)x

y x e f x x -=所满

足的一阶微分方程，并求其通解。

知识点：抽象函数求偏导，链式法则，一元隐函数求导，微分方程

关键：如何处理(,)(,)?u v f u v f u v uv +=(,)f x x 的函数结构？

答案：整理而得关于的微分方程：222x dy

y x e dx

-+= 难度：易

4. u=f(ln 2

2

y x +) ，u 满足+??22x u 2

3

222

2)(y x y

u +=??，求f(x,y) 知识点：抽象函数求偏导，微分方程

关键：将 u=f(ln 2

2y x +)代入+??22x u 23

222

2)(y x y

u +=??后可整理得到相应的微

分方程；使用轮换对称性可减少计算量。

答案：()5

2

22121ln .25

x y C C +++ 难度：中

5. f(x,y)二阶偏导数连续，满足

02=???y

x f

，且在极坐标系下可表为f(x,y)=h(r), 22y x r +=，求f(x,y)。

知识点：抽象函数求偏导，微分方程

关键：)

答案：整理得到的微分方程：//

/1

()()0.h r h r r

-=

难度：中

6. u u =二阶偏导数连续，2222221,u u u u x y x y x x

???+-+=+???求.u 知识点：抽象函数求偏导，微分方程

关键：令t

=答案：整理得到的微分方程：//

2()().u t u t t +=

难度：中 7. (),0u

f r r =<<+∞时f

的二阶导数连续，/(1)0,(1)1,f f ==

u f =满足：2222220u u u x y z

???++=???，求().f r 知识点：抽象函数求偏导，微分方程

关键：令t

=；使用轮换对称性可减少计算量。

答案：整理得到的微分方程：//

/

2()()0.f t f t t

+=

难度：中

8. 3/222///(),(0)0,(1)1,()u

u f xyz f f x y z f xyz x y z

?====???，求.u

知识点：抽象函数求偏导，微分方程 关键：令t

xyz =。

答案：整理得到的微分方程：//

/3()()0.tf t f t +=

难度：中

9. 在求)(上),

1[//

t f +∞连续，f(1)=0, )()(,1)1(2222

/

y x f y x z f ++==满足：

+??2

2x z

022=??y z ,求f 在上),1[+∞的最大值。 知识点：抽象函数求偏导，微分方程，一元函数的最值。 关键：令22t

x y =+。

答案：整理得到的微分方程：2

///()3()()0.t f t tf t f t ++=

难度：中

***********************************************************

10. (,)z f x y =有二阶连续偏导数， 2

/22,(,0)1,(,0),y z f x f x x y

?===?求(,).f x y 知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程 关键：在处理

dy ?

时，视x 为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上

一个常数，这里的常数该如何表示？

答案：2

2

1(,) 1.2

z x y y x y =++

难度：易

11.

20,0z

x x y

?==??时sin ,0z y y ==时sin z x =，求.z 知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程 关键：在处理

dy ?

时，视x 为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上一个常数，这里的常数该如何表示？

答案：(,)sin sin .z x y x y =+

难度：易

12.

y x y

x z

+=???2，2),0(,)0,(y y z x x z ==，求z=z(x,y) 知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程 关键：在处理

dy ?

时，视x 为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上

一个常数，这里的常数该如何表示？

答案：222

1(,)()2

z x y x y xy x y C =++++

难度：中 13. (,)z

f

x y =满足y x y

x z

+=???2，

2(,0),(0,)f x x f y y ==，求(,).f x y

知识点：如何使用一元的不定积分求解简单的偏微分方程 关键：在处理

dy ?

时，视x 为常数，反之一样；注意每求出一个不定积分要加上

一个常数，各步的常数该如何表示？

答案：2221

(,)()2

z x y x y xy x y C =++++ 难度：中

***********************************************************

14. u(x,y,z)可微，且,)2()2()2(222

dz xy z dy xz y dx yz x

du -+-+-=求

u(x,y,z)

知识点：三元函数全微分的逆运算 关键：?.d yzdx xzdy xydz =

++

答案：333

1(,,)()2.3

u x y z x y y xyz c =++-+

难度：较易 15.

(),()f x g x 可微，()()w yf xy dx xg xy dy =+.

（1）若存在(,)u x y ，使得,du w =求()().f x g x -

（2）若

/()(),f x x ?=求u 使得.du w =

知识点：抽象函数求偏导，积分与路径无关的充要条件 关键： （1）??x

y u u ==存在(,)u x y ，使得du w =说明了什么？

（2）由（1）的结论用

f

表示g ，代回到()()w yf xy dx xg xy dy =

+中,

可凑出u 。

答案：(1) ()();c

f x

g x x

-=(2)1()ln u xy c y c ?=-+.

难度：中

16.

(,)f x y 可微，

(0,)

cot ,(,),(0,) 1.(0,)2

y x f y y f f x y f f y π

==-=求(,).f x y

知识点：偏导数+微分方程 关键：若令 ()

(0,)g y f y =，则(0,)?

y f y =；若令()(,)F x f x y =，视y 为

常数，则(,)x

f f x y =-如何处理？

答案：sin .x

e

y -

难度：难。

17. u=f(x,y,z)，f 可微，若x f x /=y f y /

=z

f z /

，证明：u 仅为r 的函数，222z y x r ++=

知识点：三元函数的球面坐标变换(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )x y z r r r ?θ?θ?=

关键： u 仅为r 的函数意味着0u u ?θ==；如何利用x f x /=y f y /

=z

f z /

。

证明略 难度：难。

四、中值定理

1.证明：存在(0,1)θ

∈，使得3cos cos sin sin .4336636

ππθπθππθπθ

=-

知识点：二元函数的中值定理

关键：确定是什么函数在哪一点处使用中值定理，??x y ?=?=

证明略

难度：易。

五、方向导数与梯度

1. 34,43,(,)u

i j v i j f x y =-=+可微，在点P 处6,

17.f

f

u

v

??=-=??求.P df 知识点：方向导数的定义；全微分的定义

关键：细化6,17.f f u v

??=-=??求出点P 处的,x y f f ，就能求出.P df

答案：略 难度：较易。 2. 求,,a b c 使得

232

(,,)f x y z axy byz cx z =++在点(1,2,1)M -处沿Z

轴正

向的方向导数最大，其值为64.

知识点：方向导数的定义

关键：沿梯度的方向方向导数取得最大值gradf

答案：6,24,8.a

b c ===-

难度：较易。

3. 确定λ，使得在右半平面0x >上，向量{}42242(,)2(),()A x y xy x y x x y λλ=+-+

为某二元函数(,

)u x y 的梯度，并求出(,)u x y 。

知识点：梯度的定义；二元初等函数的二阶偏导数在其定义域内连续，从而两个二阶混

合偏导数相等。

关键：求偏导要正确；一阶偏微分方程的求解 答案：21;(,)arctan

y

u x y C x

λ

==-+ 难度：中。

4. 某房顶的顶部是个半椭球面，方程

为z =求下雨时过房顶

上

P 处的雨水流下的路线方程（不计摩擦力）

。 知识点：梯度与方向导数的关系；空间曲线的投影柱面与投影曲线。

关键：利用梯度与方向导数的关系找到所求曲线在xoy 坐标面上的投影曲线所满足的方

程。

答案： z =

49

3.y

x =

难度：中。

5. 设某座山的底面所在平面为xoy 坐标面，占据的区域为2

2:75,D x y xy +-≤

山的高度函数为2

2(,)75.h x y x

y xy =--+

（1）设000(,)M x y 为D 上一点，问(,

)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最

大？若记此方向导数的最大值为000(,),g x y 写出000(,)g x y 的表达式。 （2）若要在山脚寻找上山坡度最大的点作为攀岩比赛的起点，请确定起点的坐标。

知识点：梯度与方向导数的关系；条件极值。

关键：沿梯度的方向方向导数取得最大值

.gradf

答案：000(1)(,)g x y =（2）点（5，-5）或点（-5,5）。

难度：中。 6. (,

)u x y 在22

:1D x y

+<内有二阶连续偏导数，且2222

()22.x y u u e x y

-+??+=?? 证明：

1

(1)c

u ds n e π+?=-??，n 为D 的边界C 的单位外法向量。 知识点：平面曲线的单位切向量、单位法向量；方向导数；两类曲线积分之间的关系； 格林公式。

关键：解题的关键步骤就含在知识点里。 证明：略

难度：难（是个综合题）。

六、几何应用

1. 求曲面2222

x z y =+-平行于平面220x y z +-=的切平面方程。

知识点：曲面的切平面。

关键：两个平行平面，它们的法向量也平行。 答案：略 难度：较易。 2．曲面(),z

x f y z f

=+-可导，讨论曲面上任一点处的切平面与向量（1,1,1,）的

位置关系。

知识点：抽象函数求偏导；曲面的切平面。 关键：两个向量垂直?它们的内积为0。 答案：平行 难度：较易。

3. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且

22),(321)1,(y x O y x y x f +=

+++=+ρρ，求z 在（0,1，1）处的切平

面。

知识点：全微分的定义；曲面的切平面。

关键：找到在对应点处的,.x y f f 答案：2320.x y z +--=

难度：中。

4. f(x,y)对任意x,y,t 满足：),(),(2

y x f t ty tx f =，点P （1，-2,2）在z=f(x,y)上，

且4)2,

1(/

=-x f ，求曲面z=f(x,y)在点P 处的切平面。

知识点：隐函数求偏导；曲面的切平面。

关键：对偏导符号的理解；等式两边对t 求偏导。 答案：420.x z --= 难度：中。 5.

f

为可微函数，满足

2(,)(,)f tx ty t f x y = ，点（1，-2,2）在曲面(,)

z f x y =上，(1,2) 4.x f -=求曲面(,)z

f x y =在点（1，-2,2）处的切平面。

知识点：隐函数求偏导；曲面的切平面。

关键：对偏导符号的理解；等式两边对t 求偏导。 答案：40.x y z +-=

难度：中。 6.

过直线 102227x y z +-=作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平

面。

0x y z +-=

知识点：平面束；曲面的切平面,两个平面平行的充要条件。 关键：找到所求平面所对应的λ。 答案：92791717270.x y z x y z +-=+-+=与

难度：难。 7. 曲面)(3222x

y

f x z y x z =+++

上任意点处切平面在OZ 轴上的截距与切点到坐

标原点的距离之比为常数C ，求C 。

知识点：抽象函数求偏导；曲面的切平面；平面的截距式方程。

关键：求出曲面的切平面的截距式方程，记.y

r u x

==。

答案： 2.- 难度：难。

8. 求曲面22

4

x y z +=与平面4y

=的交线在2x =处的切线与ox 轴的交角。

知识点：已知一般方程的空间曲线的切线；两条直线的夹角。 关键：求出空间曲线的在2x

=处的切线的方向向量。

答案：

.4

π

难度：较易。

9. 设(,,),(,,)F x y z G x y z 有连续偏导数，(,)

0,:(,)

F G x z ?≠Γ?

(,,)0(,,)0F x y z G x y z == 过点0000(,,)P x y z ，记Γ在xoy 面上的投影曲线为S ，求S 上过点00(,)x y 的切

线。

知识点：已知一般方程的空间曲线的切线，隐函数组求偏导，空间曲线的投影曲线。 关键：空间曲线Γ在000(,,)x y z 处的切线L 的投影 是Γ的投影曲线S 在00(,)x y 处的切线 答案：00()()()()0.z x x z z y y z F G F G x x F G F G y y --+--=

难度：中。

七、极值问题

1.bxy ay ax

y x y x f 2243),(22

---+=，a,b 满足什么条件时，（1）f(x,y)有唯

一的极大值；（2）f(x,y)有唯一的极小值。

知识点：极值的必要条件与充分条件。 关键：极值的必要条件与充分条件。 答案：（1）2

2200a

b a -≠<且

（2） 2

2200a b a -≠<且

难度：易。

2. f(x,y)的二阶偏导数连续，),(),(22y x e f y x g xy

+=，且

22)1(),(1),(y x O y x y x f +-=+--=ρρ，证明：g(x,y)在（0,0）处取得

极值，并求出此极值。

知识点：全微分的定义；极值的充分条件。 关键：(0,0)?,,x y x y g g g f =与 f 是什么关系？

答案：0 难度：中 3. 求

22

21

[()()]

221(,),0,x a y b y f x y e y b y

--+-=>>0的最大值点。

知识点：最值问题 关键：先化简

(,)f x y

答案：(,)2

b

a

难度：中

4. 已知平面上n 个点的坐标分别是1122(,),(,),...,(,),n n x y x y x y 求一点，使得它与这

n 个点距离的平方和最小。

知识点：极值的必要条件与充分条件。 关键：极值的必要条件与充分条件。

答案： 11

,

i

i i i x y n n ∞∞

==?? ? ? ? ??

?

∑∑ 难度：易。

5. 设通过实验得到一列点(,),1,2,...,i i x y i

n =，它们大体在一条直线上，请确定一条

直线，使得这条直线与这n 个点的偏差平方和最小。

知识点：极值的必要条件与充分条件；平面上点到直线的距离：点()0

00,P x y ，

直线l

：00,(,)Ax By C

d P l ++==

。

关键：极值的必要条件与充分条件。 答案：

21

111111222

21111,i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y x n x x n x x ∞∞∞∞∞∞∞=======∞∞

∞∞

====??

????????????-- ? ???

??? ??????????????? ? ?????

?-- ? ?

?

?????

?

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

难度：中。

6. 证明：22

(,)2f x y Ax Bxy Cy =++在约束条件：22

22(,):10x y g x y a b

--=

下有最大值与最小值，且它们是方程2

22222()()0k

Aa Cb k AC B a b -++-=的

根。

知识点：有界闭区域上连续函数的性质；条件极值问题；线性方程组 关键：只是要求证明有最值，不要求求出最值。 证明略 难度：难 7. 求曲线2

4x

y =上的动点(,)P x y 与y 轴上的定点(0,)Q b 的最短距离d 。

关键：找对约束条件与目标函数，拉格朗日乘数法。 答案： 2b <时d b =；2b ≥

时d =；

难度：易。 8.

曲面:S

z =平面:22 2.x y z π

++=求S 上的点P ，使得点

P 与π的距离最近，并求出最近距离。

知识点：可有三种解法：1. 极值；2. 条件极值；3. 所求点P 处的切平面应平行于π 关键：找对约束条件与目标函数，拉格朗日乘数法。 答案：

2

1).3

- 难度：中。

9. 已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -，在平面:212x y z π

-+=上求点M ，使得

PM MQ +最小。

知识点：条件极值

关键：找对约束条件与目标函数，拉格朗日乘数法。 答案： 略 难度：易。

10．从△ABC 内部的点P 向三边作三条垂线，使得三条垂线段长度的乘积为最大值，求点P 的位置。

知识点：条件极值。

关键：选择什么作为目标函数的自变量；约束条件是什么。 答案：略 难度：中。

11. 222222

12222:1,0;:.x y z a b c z x y a b c

∑++=>>>∑=+Γ为1∑与2∑的交

线。求1∑在Γ上各点的切平面到原点O 距离的最大值和最小值。 知识点：空间曲线的切平面，点到平面的距离，条件极值。

关键：有两个约束条件。

答案：

()()4444

2222

2222;.a c b c a c a c b c b c

++++ 难度：难 12. 椭球面为

14

222

=++z y x ，求其表面积最大的内接长方体，并求出该最大表面积。

关键：选择长。宽、高的一半作为目标函数的自变量；约束条件是什么。

答案：最大表面积为2(1+

难度：难。

13. 体积为V 的圆柱体，上下底的材料费为a 元/2

m ,侧面的为b 元/2

m ，求最省钱的设计方案。

知识点：条件极值。

关键：选择长。宽、高的一半作为目标函数的自变量；约束条件是什么。 答案：高：半径=:a b 时最省钱 难度：易

14. 设2

2

2

:1,x y z Ω++≤ 证明：8.33π

Ω

≤≤

知识点：闭区域上连续函数的最值问题；三重积分的不等式性。

关键：弄清楚是什么函数在哪个闭区域上的最值问题。 证明略

难度：中。

15. :D 22

221x y a b

+≤（0a b >>），面密度为ρ

的均匀薄板，l 为通过椭圆焦点

（,0c -）垂直于薄板的旋转轴（2

22c

a b =-）。

（1）求D 绕l 旋转的转动惯量；（2）对于固定的转动惯量，讨论椭圆板的面积是否有最大值与最小值。

知识点：平面薄片对一般轴而非坐标轴的转动惯量；二重积分的变量变换；条件极值。 关键：知道转动惯量的定义，由微元法推出此题转动惯量的公式。 答案：（1）2

22().4

abc ab a b π

πρρ+

+

（2） 难度：难

16. 设l 是过原点，方向为

(),,αβγ的直线（其中2221αβγ++=）

，均匀椭球222

2221x y z a b c

++≤（其中0a b c >>>，密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向

(),,αβγ的最大值与最小值。

知识点：空间物体对一般轴而非坐标轴的转动惯量；点到直线的距离公式；三重积分的截

面法（可参照同济6版下册P174例7，但这里是椭球体）或者椭球面坐标计算三重积分，这里还涉及到了重积分的变量变换；条件极值。

关键：知道转动惯量的定义，由微元法推出此题转动惯量的公式。 答案：（1）

2224[(1)(1)(1)].15

abc a b c π

αβγ-+-+- （2）最大值22

4();15abc a b π+最小值224().15

abc b c π+

难度：较难