(完整版)平行四边形练习题
第十八章平行四边形
18．1平行四边形
18．1.1平行四边形的性质
第1课时平行四边形的边、角特征
01基础题
知识点1平行四边形的概念
1．如图，在?ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．
第1题图第2题图
2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是?ABCE，?ABGC，?AFBC．知识点2平行四边形的边、角特征
3．(教材P43T1的变式)在?ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则?ABCD的周长等于(A) A．10 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
4．(2016·衢州)如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
5．在?ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．
6．(1)在?ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；
(2)已知?ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．
7．如图，在?ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠DMC＝90°.
∴∠BCN＝∠DCM＝45°.
∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
???AB ＝CD ，
∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，
∴△ABE ≌△CDF(SAS )． ∴AE ＝CF.
知识点3 平行线间的距离
9．如图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，点E ，G 为垂足，则下列说法不正确的是(D )
A ．A
B ＝CD B ．E
C ＝GF
C ．A ，B 两点的距离就是线段AB 的长度
D ．a 与b 的距离就是线段CD 的长度
第9题图 第10题图
10．(2016·柳州)如图，若?ABCD 的面积为20，BC ＝5，则边AD 与BC 间的距离为4．
02 中档题
11．在?ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是(A)
A ．2∶5∶2∶5
B ．3∶4∶4∶5
C ．4∶4∶3∶2
D ．2∶3∶5∶6
12．如图，在?ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是(B )
A ．7
B ．10
C ．11
D ．12
第12题图第13题图
13．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积(C)
A．变大B．变小C．不变D．无法确定
14．(2017·鹤岗)在?ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则?ABCD的周长是(C) A．22 B．20
C．22或20 D．18
15．(2017·武汉)如图，在?ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC 的度数为30°．
第15题图第16题图
16．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为25°．
17．如图，在?ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一个动点(点P 与点B 、点D 不重合)，过点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对． 18．(2016·温州)如图，E 是?ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.
(1)求证：△ADE ≌△FCE ；
(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.
∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.
在△ADE 和△FCE 中，
???∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，
∴△ADE ≌△FCE(AAS )． (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，
∴∠AED ＝∠BAF ＝90°. 在?ABCD 中，AD ＝BC ＝5，
∴CD ＝2DE ＝8.
03 综合题
19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.
(1)求∠APB 的度数；
(2)如果AD ＝5 cm ，AP ＝8 cm ，求△APB 的周长． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝DC. ∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.
又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ， ∴∠PAB ＋∠PBA ＝1
2(∠DAB ＋∠CBA)＝90°.
∴∠APB ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB ，AB ∥CD ， ∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA. ∴AD ＝DP ＝5 cm .
同理：PC ＝BC ＝AD ＝5 cm . ∴AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10 cm .
在Rt △APB 中，AB ＝10 cm ，AP ＝8 cm ， ∴BP ＝102－82＝6(cm )．
∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24(cm )．
第2课时平行四边形的对角线性质
01基础题
知识点1平行四边形的对角线互相平分
1．如图，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(C)
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
第1题图第2题图
2．(教材P44T1的变式)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)
A．13 B．17
C．20 D．26
3．如图，在?ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
第3题图第4题图
4．如图，?ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(C) A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于3.
6．在?ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是1＜OA ＜4． 7．如图所示，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ，
∴OM ＝ON.
在△BOM 和△DON 中，
???OB ＝OD ，
∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，
∴△BOM ≌△DON(SAS )． ∴∠OBM ＝∠ODN. ∴BM ∥DN.
知识点2 平行四边形的面积
8．如图，在?ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，若△AOD 的面积是5，则?ABCD 的面积是(C )
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
第8题图第9题图
9．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则?ABCD的面积为12cm2.
02中档题
10．如图，?ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线的和是(C) A．18 B．28
C．36 D．46
第10题图第11题图
11．如图，?ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则?ABCD的面积为(B) A．60 cm2B．30 cm2
C．20 cm2D．16 cm2
12．(2017·眉山)如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
第12题图第13题图
13．如图，若?ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD＝4__cm，AB＝7__cm.
14．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点
B的落点记为B′，则DB′
15．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.
(1)求AC的长；
(2)求?ABCD 的面积．
解：(1)∵AO ∶BO ＝2∶3， ∴设AO ＝2x ，BO ＝3x (x ＞0)．
∵AC ⊥AB ，AB ＝25， ∴(2x)2＋(25)2＝(3x)2. 解得x ＝2. ∴AO ＝4.
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝8. (2)∵S △ABC ＝1
2AB·AC
＝1
2×25×8 ＝85，
∴S ?ABCD ＝2S △ABC ＝2×85＝16 5.
16．(2016·本溪)如图，?ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，连接EC.
(1)求证：OE ＝OF ；
(2)若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求?ABCD 的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，DC ∥AB. ∴∠FDO ＝∠EBO.
在△DFO 和△BEO 中，
???∠FDO ＝∠EBO ，
OD ＝OB ，
∠FOD ＝∠EOB ，
∴△DFO ≌△BEO(ASA )． ∴OE ＝OF.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OA ＝OC. ∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴C?ABCD＝2(BC＋AB)＝20.
03综合题
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作?P AQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)
A．6
B．8
C．2 2
D．4 2
18.1.2平行四边形的判定
第1课时平行四边形的判定
01基础题
知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B) A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)
A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°D．108°，72°，108°
知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)．
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.
∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ，OF ＝1
2OD.
∴OE ＝OF.
又∵OA ＝OC ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8．如图所示，四边形ABCD 和AEFD 都是平行四边形，则四边形BCFE 是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°. ∵AD ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠CBF.
在△AED 和△CFB 中，
???∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，
∴△AED ≌△CFB(AAS )． ∴AD ＝BC. 又∵AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
02 中档题
10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC ，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是(A )
A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．
12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF 是平行四边形．
证明：连接BD交AC于O，
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.
又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
13．(2017·南京)如图，在?ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE ＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF. 又∵DE ∥BF ，
∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴OE ＝OF.
14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F.试判断四边形ABFC 的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC 是平行四边形． 证明：∵AB ∥CD ，
∴∠BAE ＝∠CFE.
∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，
???∠BAE ＝∠CFE ，∠AEB ＝∠FEC ，BE ＝CE ，
∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF .
又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．
03 综合题
15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24 cm ，BC ＝30 cm ，点P 从点A 向点D 以1 cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2 cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．
①若四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.
∴t＝30－2t.解得t＝10.
∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.
∴24－t＝2t.解得t＝8.
∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．
综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．
第2课时三角形的中位线
01基础题
知识点三角形的中位线
1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)
A．2 B．4
C．6 D．8
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C) A．8 B．10
C．12 D．14
第2题图第3题图
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°B．60°
C．70°D．80°
4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)
A．5 B．7
C．9 D．11
第4题图第5题图
5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.