(完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ?+-=，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422S ab c ab c =?+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211

2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?

，则c

，b

，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形：

A

B

C

30°D C

B

A A

D

B C

C

B D

A

c

b

a

H

G F E

D

C

B A

b

a c

b

a

c c

a

b c

a

b a

b c

c

b

a

E D

C B A

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

1. 若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。

2.如图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP 的最小值为（ ）A ． 8 B ． 8.8 C ． 9.8 D ． 10

3.在ABC ?中，15,13AB AC ==，BC 边上的高12AD =，则ABC ?的周长为（ ） A 、42 B 、32 C 、42或32 D 、37或33

4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .

5.等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式】: △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，

则a

b c 2

22+=。若△ABC 不是直角三角形，如图2和3，请你类比勾股定理，

试猜想a

b 2

2+与c 2的关系，并证明你的结论。

类型三：勾股定理的实际应用

1.如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．

A ．小于1m

B ．大于1m

C ．等于1m

D ．小于或等于1m

2.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．

A ．h ≤17cm

B ．h ≥8cm

C ．15cm ≤h ≤16cm

D ．7cm ≤h ≤16cm

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到

达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C 点。

（1）求A 、C 两点之间的距离。（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C 、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联

合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

【变式】1.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁

从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

2.如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行，

问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？

3.如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?

解题步骤归纳：

1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，

设适当的未知数x；

2、利用折叠，找全等。

3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。

4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。

类型四：利用勾股定理作长为的线段

1、作长为、、的线段。举一反三【变式】在数轴上表示的点。

类型五：勾股定理逆定理

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形

ABCD的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是

否为直角三角

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是

否垂直?请说明。

类型六：与勾股定理有关的图形问题

1.如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为

62.5和4，求直角三角形两直角边的长。

2．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方

形的边长是____ _____．

F

E D

A

B C

3.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的

面

积

依

次

是

S S 12

、、

S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

类型七：关于图形变换问题

1.如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.

2.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，

cm AB 16=，求BF 的长．

3.如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△AC P ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

勾股定理在旋转中的运用

例1、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。

练习：如图：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是________.

A B C

P

34

5

例2 . 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方

形ABCD 面积。+5

A

B C

D

P

F

E

D

C

B

A P

A

P

C

B

A A

P

P

B

B

C

练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。．

练习2：

请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，

则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=；连接PP′，在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′= ，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′2+PP′

2=AP2；∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°．

（2）过点B 作BE ⊥AP ′，交AP ′的延长线于点E ；∴∠EP ′B=45°， ∴EP ′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB= ；

∴∠BPC=135°，正方形边长为

．

例3．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900

，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，

PB=1，PC=2。求∠BPC 的度数。

练习1. 如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时

针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③

BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（ ）

A ．②

④；

B ．①④；

C ．②③；

D ．①③

练习2：.阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图(10)，等边△ABC 内有一点P 若点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于

PA ，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB 的度数．

(2)、请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点

且∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+FC 2

．

数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求（1）线段EF 的长。（2）△DEF 的面积。

总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三

B C D E F

A

角形中求解。

（二）方程的思想方法

1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

2.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式】1.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

2.长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，

折痕为AE，且EF=3．求AB的长.

如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA

＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个货运站E，使得（1）C，D两村庄到货运站

E的距离相等，问货运站E应建在离A点多少千米处？

（2）若E站到C，D站的距离之和最短，则E站应建在离A站多少km处？