带电粒子在磁场中运动之多解与周期运动问题
考点4.7 周期性与多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
如图6甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.
2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B 垂直纸面向外，其轨迹为b.
3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作
用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，
因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这
边反向飞出，从而形成多解，如图丙所示．
4．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示．
一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，
N板带等量负电荷.质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P
处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中.粒
子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出.设粒子与圆筒碰撞过程中没有动
能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：
(1)M、N间电场强度E的大小；
(2)圆筒的半径R.
(3)保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移，粒子仍从M板边缘的P处由
静止释放粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n。
1.如图所示，在纸面内有磁感应强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形
ABC为两磁场的理想边界。已知三角形ABC边长为L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向里的
匀强磁场。一电量为+q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P
垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，
试求：
(1)要使粒子从P点射出后在最快时间内通过B点，则从P点射
出时的速度v0为多大？
(2)满足（1）问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少？
(3)满足（1）问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少？画出
粒子的轨迹并计算。
2. 如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B ．折线的顶角90A ∠=，P 、Q 是折线上的两点，AP =AQ =L ．现有一质量为m 、电荷量为q 的
带负电微粒从P 点沿PQ 方向射出，不计微粒的重力。
（1） 若P 、Q 间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，
能使速度为v 0射出的微粒沿PQ 直线运动到Q
点，求其电场强度。
（2） 撤去电场，为使微粒从P 点射出后，途经折线
的顶点A 而到达Q 点，求初速度v 应满足什么条件？
（3） 求第（2）中微粒从P 点到达Q 点所用时间的最小值．
3. 如图所示，在xOy 平面内存在I 、II 、III 、IV 四个场区，y 轴右侧存在匀强磁场I ，y 轴左侧与虚线MN 之间存在方向相反的两个匀强电场，II 区电场方向竖直向下，III 区电场方向竖直向上，P 点是MN 与x 轴的交点。有
一质量为m ，带电荷量+q 的带电粒子由原点O ，
以速度v 0沿x 轴正方向水平射入磁场I ，已知
匀强磁场I 的磁感应强度垂直纸面向里，大小
为B 0，匀强电场II 和匀强电场III 的电场强度大小均为400v B E ，如图所示，IV 区的磁场垂直纸面向外，大小为2
0B ，OP 之间的距离为008qB mv ，已知粒子最后能回到O 点。 （1） 带电粒子从O 点飞出后，第一次回到x 轴时的位置和时间；
（2） 根据题给条件画出粒子运动的轨迹；
（3） 带电粒子从O 点飞出后到再次回到O 点的时间。
4.如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小
未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.今从MN 上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R.若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重
力．求：
(1)电场强度E的大小；
(2)该粒子第五次从O点进入磁场后，运动轨道的
半径。
(3)该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间。
5.在如图所示，xOy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面
向外的匀强磁场，在x 轴下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度为E。将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，－a）点由静止释放。由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴速度大小变为穿
过前的
2
2
倍。
（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B0最小是多少？
（2）在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况下，求粒子在磁场中的运动时间；
（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0的2倍，求粒子运动的总路程。
6.如图所示，在xOy平面的第一象限内，分布有沿x轴负方向的场强E=4
3
×104N/C的匀强
电场，第四象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B1=0.2 T的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B2的匀强磁场。在x轴上有一个垂直于y轴的平板OM，平板上开有一个小孔P，P处连接有一段长度d=lcm内径不计的准直管，管内由于静电屏蔽没有电场。y轴负方向上距O点3cm的粒子源S可以向第四象限平面内各个方向发射a粒子，假设发射的a粒子速度大小v均为2×105m/s，此时有粒子通过准直管进入电场, 打到平板和准直管
管壁上的a粒子均被吸收。已知a
粒子带正电，比荷为
q
m
=5×l07C/kg，重力不计，求：
(1)a粒子在第四象限的磁场中
运动时的轨道半径和粒子从S到
达P孔的时间；
(2)除了通过准直管的a粒子外，为使其余a粒子都不能进入电场，平板OM的长度至少是多长？
(3)经过准直管进入电场中运动的a粒子，第一次到达y轴的位置与O点的距离；
(4)要使离开电场的a粒子能回到粒子源S处，磁感应强度B2应为多大？
7. 如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m 、电量为
＋q 的粒子由小孔下方d 2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。
(1) 求⑴求极板间电场强度的大小；
(2) 若⑵粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
(3) 若⑶Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mv qD
，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时间粒子运动的路程。
8. 如图，在x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于xOy 平面向外。P 是y 轴上距原点为h 的一点，N 0为x 轴上距原点为a
的一点。A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的
距离为2h ，A 的中点在y 轴上，长度略小于2
a 。带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变。质量为m ，电荷量为q （q >0）的粒子从P 点瞄准N 0点入射，最后又通过P 点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。
9. 如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电
场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM
平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B
和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界
上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为
1.8h 。质量为m 、带电量为+q 的粒子从P 点垂直于NS
边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g。
（1）求该电场强度的大小和方向。
（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。