命题公式主合取范式的基础离散论文
命题公式主合取范式的基础
[摘要]：主合取范式是一种仅由有限个文字构成的析取式，在命题逻辑中发挥着重要的作用。一个简单合取范式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。主合取范式具有特有的性质与作用。为了进一步了解主合取范式，本文针对它的定义、作用、性质以及与真值表的关系展开讨论。
[关键词]：主合取范式极大值真值表推理法（求法）
在离散数学中，吸取范式和合取范式统称为范式，是命题逻辑表达式的重要组成部分。他们的作用相同与真值表，也就是说规范的主、合取范式可以表达真值表所能给出的一切信息。以下将从定义、求法、用途实例、与真值表的关系等四个方面进行阐述。
一、定义说明
在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题的变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排序），称这样的简单析取式极大项。
由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制数转化为十进制数为i，就将所对应极小项记作m i。类似地，n个命题变项共可产生2n个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作M i。
定义：设由n个命题变项构成的合取范式中的所有的简单析取式都是极大项，则称该合取范式为主合取范式。
二、求法简述
（一）一般步骤。
主析取范式在给定的命题公式中，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。
主析取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永假命题公式A，其主析取范式是惟一
的。
主合取范式的惟一性任意含n个命题变元的非永真命题公式A，其主合取范式是惟一的。
真值表的主范式求法 :
（1）在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式主析取范式。
（2）在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式主合取范式。
主范式的等值演算法 :
对于一个给定n个变元的命题公式A，都可通过等值变换，化为惟一的主析取范式或主合取范式。
主范式之间的关系 :
设命题公式中含有n个命题变元，且A的主析取范式中含有k个小项，则A的主合取范式必含有个大项。
如果命题公式A的主析取范式为：则A的主合取范式为：
从n个命题变元的公式A的主析取范式，求合取范式的步骤：
（1）求出A的主析取范式中未包含小项的。
（2）把（1）中求出的“下标”写成对应大项；
（3）把（2）中写成的大项合取，即为A的主合取范式。
（二）方法论证及分析。
下面讨论的问题是，如何求出与给定公式等值的主合取范式，并且是唯一的，再讨论它的求法。
任何命题公式都存在着与之等值的主合取范式，并且是唯一的。
首先证明存在性。设A是任一含n个命题变项的公式。有定理（任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式）可知，存在与A等值的合取范式B，即A B。若B的某简单析取式Bi中既不含命题变项pj，也不含它的否定式┐pj，则将Bi展成如下形式：
Bi Bi∨0 Bi∨(pj∧┐pj) (Bi∨pj)∧(Bi∨┐pj)
继续这个过程，直到所有的简单析取式都含任意命题变项或它的否定式。
若在演算过程中出现重复出现的命题变项以及极大项和重言式时，都应“消去”：如用p代替p∧p，M i代替Mi∨Mi，1代替重言式等。最后就将A化成与之等值的主合取范式B’。
下面再证明惟一性。假设某一命题公式A存在两个与之等值的主合取范式B和C，即A B且A C，则B C。由于B和C是不同的主合取范式，不妨设极大项Mi 只出现在B中而不出现在C中，于是，脚标i的二进制表示为B的成假赋值，而为C的成真赋值，这与B C矛盾，因而B与C必相同。
三、实物实例
实例：
在上面证明过程中已经给出了求主合取范式的步骤，为了更好的了解求主合取范式下面我们先举个例子。
例一：求下面公式主合取范式。
（p→q）<->r
（p∨r）∧（┐q∨r）∧（┐p∨q∨┐r）
其中简单析取范式（┐p∨q∨┐r）已是极大项M5。利用矛盾律和同一律将不是极大项的简单析取范式化成极大项。
（p∨r）
（p∨（q∧┐q）∨r）
（p∨q∨r）∧（p∨┐q∨r）
M
0∨ M
2
（┐q∨r）
（（p∧┐ p）∨┐q∨r）
（p∨┐q∨r）∧（┐p∨┐q∨r）
M
2∧ M
6
于是：
（p→q）<->r
M
0∧ M
2
∧ M
5
∧ M
6
用途：
下面讨论一下主合取范式的用途。公式的主合取范式像公式的真值表一样，可以表达出公式以及公式之间关系的一切信息。
（1）求公式的成真与成假赋值
若公式A中含n个命题变项，A的主合取范式含s（0 （2）判断公式的类型 设公式A中含n个命题变项，容易看出： 1、A为重言式当且仅当A的主合取范式不含任何极大项，此时，记A 的主合取范 式为1。 2、A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含全部2n个极大项。 3、A为可满足式当且仅当A的主合取范式中至少不含一个极大项。 （3）判断两个命题公式是否等值 设公式A，B共含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B的主合取范式A'与B'。若A'与B'相等，则A与B等值，否则A与B不等值。 例二：应用主合取范式分析和解决实际问题 某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑选1～2名出国进修。由于工作需要，选派时要满足以下条件： （1）若A去，则C同去。 （2）若B去，则C不能去。 （3）若C不去，则A或B可以去。 问所里要如何选派他们？ 解答：设p:派A去 q：派B去 r：派C去 由已知的条件可得公式 （p→r）∧(q→┐r) ∧(┐r→(p∨q)) 经过演算可得 （┐p∨r）∧（┐q∨┐r）∧（p∨q∨r） (┐p∨q∨r) ∧(┐p∨┐q∨r) ∧(p∨┐q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨┐r)∧(p∨r ∨q) M4∧M6∧M3∧M7∧M0 由以上的结果可知，该公式的成真命题为 M1=┐p∧┐q∧r，M2=┐p∧q∧┐r, M5=p∧┐q∧r 这样，我们就可以知道，有3种选派方法： （a）C去，A、B都不去 （b）B去，A、C都不去 （c）A、C同去，B不去 四、真值表和主合取范式的关系 A Ｂ当且仅当有相同的真值表，又当且仅当Ａ与Ｂ有相同的主合取范式。因而可以这样说，真值表与主合取范式是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。因而两者是可以相互确定的，即由Ａ的主合取范式，立刻可确定Ａ的真值表，反之，由Ａ的真值表可以立刻确定Ａ的主合取范式． [参考文献]：《离散数学》高等教育出版社耿素云屈婉玲编著 离散数学自学笔记命题公式及其真值表 我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。 命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。 定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义： （1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。 （3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。 命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。 例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。 为使公式的表示更为简练，我们作如下约定： （1）公式最外层括号一律可省略。 （2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。 （3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。湖南省自考网：https://www.360docs.net/doc/727266827.html,/整理 例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s））） 设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。 浅论离散数学的实际应用 摘要： 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。离散数学的应用非常广泛，本文主要研究其在我们所学的重要课程中的应用：数字电路中的门电路设计、软件技术基础中的一些技术以及解决现实生活中的一些问题的应用。 关键字：离散数学、电路设计、软件技术、应用 1.什么是离散数学 1.1简介 离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。1.2离散数学的内容 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。 2.离散数学在门电路设计中的应用 2.1 逻辑门的概念 逻辑门是集成电路中的基本组件。简单的逻辑门可由晶体管组成。这些晶体管的组合可以使代表两种信号的高低电平在通过它们之后产生高电平或者低电平的信号。高、低电平可以分别代表逻辑上的“真”与“假” 数学小论文范文 随着课程改革的不断深入，新课程理念与课堂教学实践正在逐步融合，逐步改变了以教师、课堂或课本为中心的局面，促进了学生 创新意识与实践能力的发展，学生的学习产生了实质性的变化。那么，在课堂教学中如何使学生主动探索在课堂上显现呢?下面结合本 人的教学实践，谈几点体会及做法。 一给学生提供可探索的材料和可探索的学习内容 二给学生提供良好的学习背景和可探究的学习情境 在课堂教学中，教师应结合教学内容为学生的学习，创设良好的学习背景和可探究的学习情境，让学生在数学知识的广阔背景中更 好地建构知识的意义，并感受数学与生活实际的密切联系，体会数 学的价值，让学生的数学学习活动真正变为学生自己探究的创新过程。如，在教学“百分数的意义”时，可为学生创设这样的学习背景：“有甲乙丙三位工人师傅，甲每加工25个零件，有23个及格，乙加工20个零件，有19个及格，丙加工50个零件，有47个及格。如果有一批零件要其中一位师傅加工，你会选择谁?”通过探究，使 学生认识到这个现实问题实际上可转化成“求谁的合格率高”这一 数学问题。又如，教学“分数的基本性质”时，我有意识地给学生 提供以下的可探究学习情境：上课开始，我拿着一捆36本课外书， 从容地走进课堂。同学们在猜想：这节课老师让我们看课外书了。 于是我指着这捆课外书说：“这36本课外书，我要分给你们三个小组，要求让第一组分得这捆书的三分之一，第二小组分得这捆书的 六分之二，第三小组分得这捆书的九分之三，请同学们说一说，这 样分法合理不合理，谁分得多?谁分得少?结果分完没有?”这样问题 的创设，调动了学生思维的积极性，探究活动立即在课堂上显现， 有的按照自己的思路去画线段图，有的一会儿测量，有的一会儿皱 眉思索，兴趣盎然，学生会心地笑了，一样多。这时，学生又产生 困惑，为什么会一样多呢?最后经过引导探究，得出“分数的基本性质”。 逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】不相容选言命题公式：要么p要么q “要么…要么…、不是…就是…、或者…或者…二者必居其一、或者…或者…二者不可兼得” 【一个不相容的选言命题是真的，有且只有一个选言支是真的。当选言支全真或全假时，此命题为假】 假言命题：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题公式：如果p，那么q“如果…就…、有…就有…、倘若…就…、哪里有…哪里有…、一旦…就…、假若…、只要…就…” 【有前件必然有后件。如果有前件却没有后件，这个充分条件假言命题就是假的。因此，对于一个充分条件的假言命题来说，只有当其前件真而后件假时，命题才假。】 必要条件假言命题公式：只有p，才q “没有…就没有…、不…不…、除非…不…、除非…才…” 【没有前件必然没有后件。如果没有前件也有后件，这个必要假言命题为假。对于一个必要条件的假言命题来说，只有当其前件假而后件真时，命题才假。】 充要条件假言命题公式：当且仅当p，才q 【有前件必然有后件，没有前件必然没有后件。充要条件假言命题在前件与后件等值即前件真并且后件真，或者前件假并且后件假时，命题为真，在前件与后件不等值即前真后假，或前假后真时，命题为假】 充分条件与必要条件之间可以相互转化： 2 命题公式,真值表 (1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支. 数学------??? 符号运算 推理---思维过程:前提 结论 命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化. 例1 (a) 4是偶数. 张林学习优秀. 太阳系以外的星球上有生物. (b) 这朵花真美丽! 现在开会吗? (c) 3 5.x +> 我正在说慌. 特征分析(a) 陈述句,非真即假. (b) 感叹句,疑问句. (c) 悖论. 定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值. 成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0. 例2 (1) 2008年奥运会在北京举行. (2) 22 5.?= (3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦. 用符号表是上述命题,并求真值. 解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T (2) :Q 22 5.?= .F (3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F (2) 3, 35,+ 3(4 1).+- 例3 (1) 今天没有数学考试. (2) 下午,我写信或做练习. (3) 王芳不但用功,而且成绩优秀. (4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动. (5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边. 特征分析(a)存在自然语言中的虚词. (b)语句可以分解,细化. 定义2 称下列符号为逻辑联结词 否定 ? 非 P ? 析取 ∨ 或者 P Q ∨ 合取 ∧ 且 P Q ∧ 蕴涵 → 若----,则----- P Q → 等价 ? 当且仅当 P Q ? 逻辑联结词真值的规定 例4 将下列命题符号化. (1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧? (2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨ (3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ? 注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.?∧∨→? 2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧ 只有----,才----; 除非----,才-----; → 3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥) 小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨?∧?∨?∧ 4 ,P Q -----------------------简单命题 离散数学论文 —浅谈离散数学的学习及其在计算机中的应用一、对离散数学学习的认识 通过这一学期的学习，我对这门课程有一些初步的了解，现在的心情和当初也很不相同。在听过老师讲解以后，我觉得第一部分的数理逻辑自己都能很好的掌握。后面的开始深入一些，对于好多以前没有接触过的名词定义不能马上理解，但是只要跟着老师的思维走，上课认真听讲，课后看一下书本就能懂。有了这些认知，我觉得这门课的难点在于课程比较枯燥，好多理论的知识需要我们去理解。前五章主要是认识逻辑语言符号，了解了数理逻辑的特点，并做一些简单的逻辑推理和运算。第二部分讲的是集合论。在这一部分中进一步认识、运用数理逻辑语言，熟练强化练习，深入理解。这一章的难度相较于前几章要繁琐些，有很多的符号转换，运算，运算过程很复杂。对于计算能力不强的我来说，这一章或许是最吃力的，即使知道原理也需要通过大量的练习强化巩固，而这其中用到的还有线性代数里面的矩阵。在第三部分的代数结构中主要学习了代数系统、群与环，其中二元运算和代数系统有点难度，较以往学习非常吃力！第五部分的图论可以归结为本书的重点之一，“图”“树及其应用”又是其中的重中之重。它的用途非常广泛，并且应用于我们整个日常生活中。比如：一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的路线互不相交？一位流动推销员要以怎样的顺序到达每一个城市才能使得旅行时间最短？这些问题以及其他一些实际问题都涉及“图论”。 这里所说的图并不是几何学中的图形，而是客观世界中某些具体事物间 联系的一个数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各式物间的二元关系，如果所讨论的事物之间有某种二元关系，我们就把相应的顶点练成一条边。这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是图论中所研究的图。 树是指没有回路的连通图。它是连通图中最简单的一类图，许多问题对一般连通图未能解决或者没有简单的方法，而对于树，则已圆满解决，且方法较为简单。而且在许多不同领域中有着广泛的应用。例如家谱图就是其中之一。如果将每个人用一个顶点来表示，并且在父子之间连一条边，便得到一个树状图。 通过对图论的初步理解和认识，我深深地认识到，图论的概念虽然有其直观、通俗的方面，但是这许多日常生活用语被引入图论后就都有了其严格、确切的含义。我们既要学会通过术语的通俗含义更快、更好地理解图论概念，又要注意保持术语起码的严格。 本以为枯燥乏味的离散数学竟然会是贴近生活是我意想不到的，这些历史难题等等，都让我对它产生了一定的兴趣，虽然不可否认的是，对我来说它确实是一门很难很深奥很抽象的课程，但是仍然不减我对图论产生的兴趣，或许这也就是我选择这门课程最大的收获吧。 二、离散数学在计算机中的应用 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，对于我们计算机专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培 我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。 命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。 定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义： （1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。 （3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。 命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。 例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。 为使公式的表示更为简练，我们作如下约定： （1）公式最外层括号一律可省略。 （2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。 （3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。 例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s））） 设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。 如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p，┐p ，q ，（r∧q∨s）及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q，┐p→q，虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A 的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。 如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1，…，pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1，…，pn的真值函数。对任意给定的p1，…，pn 的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母a，b等表示，A均有一个确定的真值。当A对取值状况a 为真时，称指派a弄真A，或a是A的成真赋值，记为a （A）= 1；反之称指派a弄假A，或a是A的成假赋值，记为a （A）= 0.对一切可能的指派， “离散数学”实验报告（求给定命题公式地真值表并根据真值表求公式地主范式） 专业网络工程 班级 1202班 学号 12407442 姓名张敏慧 2013.12.14 目录 一.实验目地 3 二.实验内容 (3) 求任意一个命题公式地真值表 (3) 三.实验环境 3 四. 实验原理和实现过程（算法描述）3 1.实验原理 (3) 2.实验流程图 (5) 五.实验代码 6 六. 实验结果14 七. 实验总结19 一.实验目地 本实验课程是网络工程专业学生地一门专业基础课程,通过实验,帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用地离散数学中地概念.性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告.总结实验结果地能力；使学生具备程序设计地思想,能够独立完成简单地算法设计和分析. 熟悉掌握命题逻辑中地真值表.主范式等,进一步能用它们来解 决实际问题. 二.实验内容 求任意一个命题公式地真值表,并根据真值表求主范式 详细说明： 求任意一个命题公式地真值表 本实验要求大家利用C/C＋＋语言,实现任意输入公式地真值表计算.一般我们将公式中地命题变元放在真值表地左边,将公式地结果放在真值表地右边.命题变元可用数值变量表示,合适公式地表示及求真值表转化为逻辑运算结果；可用一维数表示合式公式中所出现地n个命题变元,同时它也是一个二进制加法器地模拟器,每当在这个模拟器中产生一个二进制数时,就相当于给各个命题变元产生了一组真值指派.算法逻辑如下： （1）将二进制加法模拟器赋初值0 （2）计算模拟器中所对应地一组真值指派下合式公式地真值. （3）输出真值表中对应于模拟器所给出地一组真值指派及这组真值指派所对应地一行真值. （4）产生下一个二进制数值,若该数值等于2n-1,则结束,否则转（2）. 三.实验环境； 《离散数学》课程总结论文 专业：11级计科系计本三班姓名：学号：1104013045 一．课程小结 从学离散数学这门课程开始，到现在学期末也已经有了一个学期的认识。以下是对离散数学这门课程的总结： 第一部分：数理逻辑 1.首先我们学习了命题逻辑的基本概念。其实这一部分的内容在高中时已经讲过。其次.命题公式及其赋值，这一小结主要讲的是什么是合式公式以及命题的解释和成真赋值、成假赋值等。 2.命题逻辑等值演算。在这一章节中主要介绍了一些重要的等值公式，例如德摩根律和蕴含等值式等，然后介绍的就是什么是析取范式与析取范式，又进一步的引出主析取范式与主合取范式的概念。另外一个知识点为连接词的完备集。 3.命题逻辑的推理形式。就是如何去证明推理的正确性。这需要我们记住一些重要的推理定律。然后是自然推理系统。推理的一些构造证明的方法有附加前提证明法和归谬法等等。 4.一阶逻辑基本概念。主要说的是一阶逻辑命题的符号化和一阶逻辑公式及其解释。 5.一阶逻辑等值演算与推理，这节知道量词如何消去和一些基本的量词等值式就可以了。 第二部分：集合论 1.集合代数。这一章节中首先讲的是集合的基本概念和运算等等，其中大部分的知识我们高中的时候都已经接触过了。其中要知道什么是绝对补集，对称差集和绝对补集就可以了。 2.二元关系。要知道二元关系首先要知道什么是有序对和笛卡尔集，这是二元关系的基础。然后要清楚二元关系的表示方法有三种，即集合表达式、关系矩阵和关系图。知道了二元关系，紧接着就是关系的运算和性质。关系的性质有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。还有就是关系的闭包，其中包括自反闭包、对称闭包和传递闭包。最后一点就是偏序关系和等价关系，还需要知道哈斯图并且会画哈斯图。 第三部分：代数结构 1.代数系统。首先要能够判断一个运算是否为一个集合上的二元运算。在二院运算的基础上，要知道和能够判断单位元、零元和逆元。2群与环。在这一小节中首先要会判断一个代数系统是否为群。在也是这一章节的核心内容。如果一个代数系统，其二元运算时可结合的，又含有单位元，并且集合中的每个元素都有逆元，则此代数系统叫做群。 第四部分：图论 1.图的基本概念。其实在这一章节中，内容多数为一些基本概念。这就需要我们熟练的去掌握。只有清楚了概念才能够做题，比如说什么是有向图、零图、无向图和空图等等。另外图的矩阵表示在这一章节是尤为重要的。其中包括无向图的关联矩阵、有向图的关联矩阵、有向图的邻接矩阵和可达矩阵等。 2.欧拉图与哈 实验报告 实验名称：任意命题公式的真值表 实验目的与要求：通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算，包括联结词、真值表、运算的优先级等，提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力，培养学生的逻辑思维能力和算法设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析，进一步用它们来解决实际问题，帮助学生学习掌握C/C++语言程序设计的基本方法和各种调试手段，使学生具备程序设计的能力。 实验内容提要：求任意一个命题公式的真值表 实验步骤：（一）、关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算 首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。 目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。 以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元：1．非，用“/”表示 2．合取（与），用“*”表示 3．析取（或），用“+”表示 4.蕴含，用“>”表示 5.等值，用“:”表示 （二）、命题公式真值的计算 对于人来说，计算数学表达式时习惯于中缀表达式，例如a*b+c，a*（b+c）等等，而对于计算机来说，计算a*b+c还好，计算a*（b+c）则困难，因为括号的作用改变了运算的顺序，让计算机识别括号而改变计算顺序显得麻烦。经理论和实践研究，用一种称之为后缀表达式（逆波兰式）的公式形式能让计算机更容易计算表达式的真值。例如上面的a*（b+c），其后缀表达式为abc+*，计算时从左边开始寻找运算符，然后按照运算符的运算规则将与其相邻的前面的一个（非运算时为一个）或两个（其它四种运算为两个）操作数运算，运算结果取代原来的运算符和操作数的位置，然后重新从左边开始寻找运算符，开始下一次计算，比如上式，从左边开始寻找运算符，先找到+，则计算b+c，结果用d表示，这时后缀表达式变为ad*，又重新开始从左边开始寻找运算符，找到*，则计算a*d， #include 分类号图论密级公开UDC081202编号 计算机科学与技术学院 离散数学及其应用结课论文 图划分方法及其在社会网络分析和佩奇网站排名的应用 李英儒涂超杨凯航张蔚樊哲 指导教师张爱华教授 华中科技大学计算机科学与技术学院 班级计算机科学2013创新实验班 学科专业名称计算机科学与技术 学科名称离散数学及其应用论文提交日期2014年11月学院名称计算机科学与技术学院 学校名称华中科技大学 Typeset by Ying-Ru Li using L A T E X2εat November20,2014 With package CASthesis v0.2of CT E https://www.360docs.net/doc/727266827.html, The Methods of Graph Partition and Its Applications in Social Network Analysis and PageRank Ying-Ru Li Chao Tu Kai-Hang Yang Wei Zhang Zhe Fan Supervisor: Prof.Ai-Hua Zhang Computer Science and Technology School of Computer Science and Technology Huazhong University of Science and Technology November,2014 Essay about Discrete Mathematics and Its Applications of ACM Class of Computer Science,2013 in Computer Science and Technology 题号：第一题 题目：电梯模拟 1，需求分析： 计算命题演算公式的真值 所谓命题演算公式是指由逻辑变量(其值为TRUE或FALSE )和逻辑运算符人(AND )、 V( OR)和「( NOT )按一定规则所组成的公式(蕴含之类的运算可以用A、V和「来表示)。公式运算的先后顺序为「、人、V,而括号()可以改变优先次序。已知一个命题演算公式及各变量的值，要求设计一个程序来计算公式的真值。 要求： ( 1)利用二叉树来计算公式的真值。首先利用堆栈将中缀形式的公式变为后缀形式；然后根据后缀形式, 从 叶结点开始构造相应的二叉树；最后按后序遍历该树, 求各子树之值, 即每到达一个结点, 其子树之值已经计算出来, 当到达根结点时, 求得的值就是公式之真值。 ( 2)逻辑变元的标识符不限于单字母,而可以是任意长的字母数字串。 ( 3)根据用户的要求显示表达式的真值表。 2,设计： 2.1 设计思想： <1> ,数据结构设计： (1) 线性堆栈1 的数据结构定义 typedef struct { DataType stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } SeqStack; 用线性堆栈主要是用来存储输入的字符, 它的作用就是将中缀表达式变成后缀表达式。 (2) 线性堆栈2 的数据结构定义 typedef struct { BiTreeNode *stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } TreeStack; 这个堆栈和上面的堆栈的唯一不同就是它们存储的数据的类型不同, 此堆栈存储的是树节点,它的作用是将后缀表达式构成一棵二叉树。 （3）树节点数据结构定义typedef struct Node { DataType data; struct Node *leftChild; struct Node *rightChild; }BiTreeNode; <2>算法设计详细思路如下：首先实现将中缀表达式变成后缀表达式：在将中缀表达式变成后缀表达式的 离散数学范式的特征及其价值 摘要：20世纪中叶以来, 随着计算机的诞生及其对科学与社会日渐显现的影响力, 离散数学的思想和方法迅速发展, 展现出了更为多样和充满活力的知识形态。离散数学的知识创新具有典型的数学范式革命性。作为对微积分范式的一种突破, 离散数学超越了传统数学的知识界线, 展现出在数学本体论、认识论与方法论上的新的哲学特征。与计算机与信息科学的发展相得益彰, 离散数学范式具有离散化、算法化、计算性、复杂性以及与科学更为紧密的交互性等显着的当代科学革命特征, 并显现出学科知识群与复杂性科学等独特的意蕴。 关键词：离散数学; 范式革命; 图灵计算; 量子计算; 计算复杂性; Abstract：Since the middle of 20 thcentury, with the birth of computer and its increase effect on science and society, the thought and method of discrete mathematics have developed rapidly and new forms of knowledge with more multiple, tensions and vigor were emerged. The knowledge innovation of discrete mathematics has representative paradigm revolutionary character. As a breakthrough and transcending of the paradigm of calculus, the discrete mathematics has gone beyond the bound of traditional mathematics and showed new philosophical features in ontology, epistemology and methodology of mathematics. Complement with the development of computer and information SHEN YANG NORMAL UNIVERSITY “离散数学”论文 课题名称：离散数学在计算机中的应用 学校：沈阳师范大学 姓名: 郑珊珊 学号： 08304019 院系：数学与系统科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 08级3班 日期： 2010年11月28日 离散数学在计算机中的应用 离散数学是工科类计算机专业必修的基础课。它在科学研究、工程技术、国民经济等诸多领域都有广泛应用，所以说离散数学的重要性是不言而喻的。特别是离散数学对计算机中的程序的设计起着至关重要的作用。 离散数学中的集合论、数理逻辑、关系、图论、代数系统在计算机中有着广泛的应用。具体如下： 集合论：集合论被应用在计算机科学研究的各个方面。集合是构造离散结构的基础，离散结构是计算机的基本结构。从集合构造而来的离散结构包括：计数时广泛使用的组合、表示对象之间相互关联的关系、图形、以及用户模拟计算机的有限状态机等。集合论在人工智能领域、逻辑学及程序设计语言等方面都有着重要的应用。同时，集合论在新一代智能计算机的发展具有重要的应用。计算机智能利用模糊集合理论，把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，使人类语言数量化、形式化，并通过对模糊逻辑、模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策等方面的分析，使计算机能够模拟人脑的高级智能。 数理逻辑：数理逻辑在计算机科学的计算理论、算法、程序设计、人工智能、计算机硬件系统等方面发挥着重要而广泛的应用。从计算机程序设计语言方面来说，语言的理论基础是形式语言、自动机与形式语义学。而形式语言、自动机和形式语义学所采用的主要研究思想和方法来源与数理逻辑和代数。程序设计语言中的许多机制和方法，如子程序调用中的参数代换、赋值等都出自数理逻辑的方法。此外，在语言的语义研究中，四种语义方法最终可归结为代数和逻辑方法。而且，程序的语义及其正确性的理论基础仍然是数理逻辑或进一步的模型论。不仅如此，数理逻辑在计算机体系结构的研究中起着主导的作用，像容错计算机系统、Transputer计算机、阵列式向量计算机、可变结构的计算机系统结构及其计算机模型等都直接或间接与逻辑及代数密不可分。如容错计算机的重要基础之一是多值逻辑，Transputer计算机理论基础是CSP理论，阵列式向量计算机必须以向量运算为基础，可变结构的计算机系统结构及其计算机模型主要采用逻辑与代数的方法。 关系：数据库是多元关系的一种很重要的应用。通常情况下，我们会使用文件方式将信息保存在计算机上，但是当信息的规模越来越庞大的时候，这种单纯使用文件系统保存信息的方式就会存在很多问题：比如信息的一致性和完整性问题，以及在大量的文件中查找具有某些特征信息的问题，信息的并发访问和安全性问题。这些问题导致了数据库德产生和高速发展。数据库系统能够将大量的数据信息有序的组织起来，并提供相应的查询和访问策略以及安全性措施。数据库系统的应用领域覆盖了我们生活中的方方面面。比如银行和证券交易所得事务处理，所有公司和单位都需要的财务和工资管理以及学校里的学籍管理系统、人事管理系统、题库系统等。近几年来，数据库在决策支持系统、空间数据库、多媒体数据库、移动数据库、信息检索和分布式信息检索等领域发挥着越来越重要的作用。除此之外，关系理论在计算机科学的通讯网络、项目调度以及集合划分和计算机语义等方面具有重要的作用。 图论：图论是研究点线构成的图形问题的一门学科，它的起源很早，但它的发展在初期是比较缓慢的，根本原因在于图的分析计算量非常大，仅靠人工不但耗时耗力，而且也容易出错。直到20世纪50年代之后，随着计算机技术的高速发展，利用计算机的强大处理能力，图论的研究也达到了空前活跃的程度，同时， #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "string.h" #include "math.h" #define N 50 void pd(int b[N],int f); int H1 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int H2 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int main() { int i1,i2,d=1,T3[N],kh=0,jg,j=0,y; int w=0,hequ[N],h=0,x=0,xiqu[N]; char T1[N],T2[N],T10[N],s; hequ[0]=-1; xiqu[0]=-1; printf("#########################################\n"); printf("## 用!表示否定 ##\n"); printf("## 用&表示合取 ##\n"); printf("## 用|表示析取 ##\n"); printf("## 用^表示条件 ##\n"); printf("## 用~表示双条件 ##\n"); printf("#########################################\n\n"); printf("请输入一个合法的命题公式:\n"); gets(T1); strcpy(T10,T1); for(i1=0;i1 《离散数学》课程论文 方醒10网工二班1004032031 一、对这门课的认识： 首先要明确的是，由于《离散数学》是一门数学课，且是由几个数学分支综合在一起的，内容繁多，非常抽象，因此即使是数学系的学生学起来都会倍感困难，对计算科学专业的学生来说就更是如此。大家普遍反映这是大学四年最难学的一门课之一。 作为一门理论抽象，内容广泛，结构严谨的计算机专业基础可它不仅与计算机专业基础课（数据结构，操作系统。数据库原理。人工智能，编译原理，网络理论等）有紧密联系，而且对培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力有着重要作用，为我们今后在是计算机科学的研究与技术的卡法提供了重要的工具。 鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。既然如此，在学习《离散数学》时，大家最应该注意学习过程是一个扎扎实实积累的过程，不能打马虎眼。离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学集合论、数理逻辑和图论有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。 《离散数学》的特点是： 1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。 2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。同时要善于总结， 二、对这门课的建议： 《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数 1 析取范式与合取范式 这是命题公式的两种特殊的简明形式。一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。我们将学习这种转化方法及其应用。 1. 析取范式 定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。 例1.2 求下列公式的析取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q →∧?∨∧?∧ 方法小结： （1） 将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重 否定词。 （3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。 （4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾 律、零律） 练习1.3 定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。 2. 合取范式 定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。 由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。 例2.2 求下列公式的合取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q ?→∨∧∨?∨ 方法小结： （1）将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。 （3）用分配律将合取联结词移到括号之外。 （4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律） 练习2.3 定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。 3.极小项 为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。 符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。 定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。含n 个变元的极小项称为n元极小项。 例如，等等都是极小项。等等都不是极小项。 提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？ 回答：共有2n个。一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。 例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下： ?∧??∧∧?∧ p q p q p q p q ,,, 极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。 例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。 2离散数学自学笔记命题公式及其真值表
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