(完整版)海伦秦九韶公式
【教学设计】人教版数学九年级上册《海伦─秦九韶公式》【教学对象】九年级学生
【教材分析】本节内容是初中数学的第21章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生——在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。
【学情分析】初三学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的勾股定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。
【教学目标】
1、知识与技能：
（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；
（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；
（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：
（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；
（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。
【教学难点、关键】海伦公式的本质。
【教学方法】引导探究、实例运用。
【教学过程设计】
一、回顾旧知
1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：1/2*底*高
2、复习课本例题。复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。
二、已知三边a，b，c，求三角形面积
利用已知三边具体值求三角形面积的方法推导出已知三边a，b，c求三角形面积的公式
在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。
板书演示推导过程，得到秦九韶公式。ppt展示并讲授秦九韶的著作《九章算术》以及他的伟大成就。
老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。提出疑问：秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。学生和老师继续探索，简化秦九韶公式。板书演示海伦公式的推导过程，由此得到海伦公式：S=√[p*（p-a）*（p-b）*（p-c）] 其中p=1/2*（a+b+c）；PPT展示海伦记载该公式历史
通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一
样的。
设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令
p=1/2*（a+b+c）。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。
三、海伦公式的本质
例题：已知三角形三边为分别为m，n，l其周长记为C，求该三角形面积。那么我们可以得C=m+n+l利用刚刚学习的海伦公式可知S=√[C/2*（C/2-a）*（C/2-b）*（C/2-c）]
老师让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母或者周长的字母解决问题。海伦公式的实质：
设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握海伦公式的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。
四、海伦公式的应用
海伦公式除了可以解决已知三角形三边长求面积的问题外，还有什么应用呢？
例题：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.
先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。
设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。
五、小结并归纳三角形面积公式
通过板书总结本堂课的内容
六、课后探究
习题：1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值；2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式设计意图：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；
2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。
【板书设计】（略）
【创新之处】
1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。
2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。
3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。
4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
5、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。
海伦公式
海伦公式 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 编辑本段证明过程 证明（1） 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√
[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2） 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a
海伦公式
海伦公式 初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下： 海伦公式：三角形的面积 ()()()c p b p a p p S ---= 其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++= 2 1 证明（1）：由余弦定理可知：b a c b a C 2cos 2 22-+= ，由此得出 由 ()c b a p ++= 2 1 可得： p c b a 2=++ ， ()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ， 因此： ()()()()()()()c p b p a p p b a c b a c b a c b a c b a b a C ---=+-++--+++= 221 sin ()() ()() ()()()()()() c b a c b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a b a c b a c b a b a b a c b a b a c b a C C C C +-++--+++= --?-+=-+-? -++=??? ? ??-+-???? ??-++=-+=-=21 2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2 222222222 2222222
由三角形面积公式 C b a S sin 2 1 = 即得 ()()()c p b p a p p S ---= 上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。 BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。记 c AB =，b AC =，a BC =，h BT =，d CT =（见上图）。 证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有 ()()() ? ??=--=-2122 22 22h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -= ，带入（2）式 ： ( )2 2 2 22 h h a b c =-- - 。 展开，即得 ( ) 2222 2222h h a b h a b c =---+- ，由此式解得 ( )()()()()2 2 2 2 22222 444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=-+-= ， 类似于证明（1），得出 ()()()2 24b c p b p a p p h ---= ， 由于三角形面积 h b S 2 1 = ，由上式即得 ()()()c p b p a p p S ---= 。 C A B T 图1 T B A C 图2
高中数学必修3海伦公式的证明方法
高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角
形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方， 送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”， 作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)
海伦公式的推导和应用
海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（ 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上
海伦-秦九韶公式
海伦公式 在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式： △＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c) 这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。 诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。 与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。 海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。他注重实际应用。最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△2＝q, △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 分解因式得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =S(S-b)(S-a)(S-c) 由此可得： △=√[s(s-b)(S-a)(S-c） 其中S=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以现在有人把这一公式称为“海伦－秦九韶公式”。
海伦公式的证明(精选多篇)
经典合同 海伦公式的证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日
海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式 =√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重 要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 第 2 页共 32 页
海伦公式的证明(精选多篇)
海伦公式的证明(精选多篇)第一篇：海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在变形此我们用三角公式和公式变形来说明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2- c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1- (a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2- c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2- b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a- b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：莉莉公式的几种证明与推广 海伦公式的几类证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：换言之有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1
海伦公式几种证明方法
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21 c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这 个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(2 1 c b a p ++=， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 14 1sin 41-==， 又由余弦定理2 2222222222 4)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ）（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=16412 22222）（c b a b a -+-= ]4[1612 22222）（c b a b a -+-= ]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 ) (2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++= 2 )2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++=
《海伦-秦九韶公式》说课稿
海伦-秦九韶公式 教学内容：人教版数学八年级下册第十六章“阅读与思考”内容 教学对象：八年级学生 教材分析：本节内容是初中数学八年级下册第十六章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，二次根式等相关知识，它是三角形面积公式的延续与拓展。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式与秦九韶公式进行转换，并会有简单应用，让同学们从中体会到数学之美。 学情分析：八年级学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次根式、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式等知识。 教学目标： 1、知识与技能： （1）了解秦九韶公式与海伦公式历史及意义。 （2）会对秦九韶公式与海伦公式进行转换，理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （3）会用海伦-秦九韶公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法：（1）经历转换秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。 教学重难点：
1、重点：转换秦九韶海伦公式的过程 2、难点：海伦-秦九韶公式的应用 教学准备：多媒体课件 教学方法：引导探究、实例运用。 教学过程： 一、回顾旧知引出新知 1、回顾三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式。板书：1/2*底*高 2、已知三边a，b，c，求三角形面积 （1）已知三边具体值你会求三角形面积吗？ （2）适时出示海伦公式 设计意图：直接以古希腊数学家海伦发现的公式作为问题背景，让学生对S 作出猜想．S是三角形的周长还是面积? 教师适时引导学生根据公式的特点，作出合理的猜想．例如可以从等式的右边根号里量纲的特征，开根号的结果是边长的平方，应该和面积有关；还可以根据对称性，使根号里面的每一条边地位平等，培养学生敏锐的观察能力，发展学生的合情推理和概括能力． 二、介绍海伦公式与秦九韶公式的历史与意义（PPT） 1、海伦公式的历史与意义、 古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。 海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地得出答案。
海伦公式
海伦公式一一探求任意三角形面积 一、内容和内容解析 1.内容 海伦公式 2. 内容解析 本节课和学生一起探究海伦公式的推导过程，感受海伦公式带来任意三角形面积求法的 便利性，以及古今外人们对海伦公式的研究，感受知识的世界性。 基于以上分析，本节课的教学重点是：海伦公式的推导及研究问题的数学方法。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 认识海伦公式并能熟练应用。 (2) 经历海伦公式的证明过程，了解研究问题的数学方法，感受文化无墙，学术无边。 2. 目标解析 目标(1)是让学生会用海伦公式求任意知三边的三角形面积，感受公式带来的便利性。 目标(2)是学生经历海伦公式的证明过程，学会从“特殊”到“一般”研究问题的基本方法，以及对海伦公式历史背景的了解，具有民族自豪感。 三、教学问题诊断分析 海伦公式是书本上的阅读材料，学生对海伦公式知其然而不知其所以然。故通过推导证明，加深学生对海伦公式的理解。但由于海伦公式的证明设计到很多字母的运算，基础较差的学生难以完成，故需要老师指导。 本节课的教学难点是：海伦公式的证明 四、教学过程设计 1.提出问题 在古希腊，土地是农民的生命，土地面积划分一直困扰着当时人们，因土地划分不均匀发生很多暴力冲突事件。这时，出现了一位智者，他说：土地形状大多是不规则多边形，而 任意多边形可分割成三角形。只要告诉我三角形的三边长，我就能够快速求出三角形面积。你 知道他是如何做到的吗？ 2.探究新知 Rt A ABC的三边长为， 求面积 等腰△ ABC三边长为5,5,6 ，求面积 3,4,5 般厶ABC三边长为5,6,7 特殊
问题：已知△ ABC三边为a,b,c，求△ ABC的面积 (用含a,b,c的字母表示)
(完整版)海伦秦九韶公式
【教学设计】人教版数学九年级上册《海伦─秦九韶公式》【教学对象】九年级学生 【教材分析】本节内容是初中数学的第21章，是阅读与思考部分中的内容，《初中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生——在完成《初中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。 【学情分析】初三学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的勾股定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；
（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法： （1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维； （2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。 【教学难点、关键】海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。 【教学过程设计】 一、回顾旧知 1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：1/2*底*高 2、复习课本例题。复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。
巧解海伦公式
海伦公式 编辑 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。 目录 1原理简介 2证明过程 证明⑴ 证明⑵ 证明⑶ 证明⑷ 3推广 4应用 证明 推广 5例题 1原理简介 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《论》）手抄本中用s作为半周长，所以
和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 由于任何n边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 2证明过程 证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1] cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
海伦公式的几种证明与推广(简洁)
海伦公式的几种证明与推广 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得： ))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2 1 c b a p ++= ，称为半周长。 图1 C 为了证明该公式，海伦公式有多种变形，如：S= ))()((c p b p a p p --- = ))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441 c b a b a -+- =4442222222224 1 c b a c b c a b a ---++ （方法一）：利用三角形面积公式C ab s sin 2 1=和余弦定理C ab b a c cos 22 22-+= C ab s sin 21==C n ab 2 cos 121-=2222)2(121ab c b a ab -+-下略。 （方法二）：利用三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2 1 = ?入手，并利用勾股定理，如图2。
y 图2 B C 在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有?? ???=+=+=+a z y b z x c y x 2 22222解方程，得a b c a y 2222-+=， a c b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b c a c a a a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。 （方法三）：利用三角形内切圆 图3 z z C 如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan , y r B =2tan ,z r C =2tan ,代入恒等式2tan 2tan B A ?+2tan 2tan C A ?+2 tan 2tan C B ?=1，(考虑三角形内角和之半为九十度，并考虑和角正切公式) 得1222=++yz r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式 xyz z y x r =++)(2 ………①
数学人教版八年级下册海伦-秦九韶公式历史介绍
补充知识 1.海伦简介和海伦公式的历史与意义： 海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。海伦有许 多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。主要 著作是《度量论》一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。 古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地得出答案。 2、秦九韶简介和秦九韶公式的历史与意义、 秦九韶（1208年－1261年），南宋官员、数 学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学 四大家。字道古，汉族，生于普州安岳（今 四川省安岳县）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州
任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献划时代巨著—《数书九章》秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。”德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一
海伦公式几种证明方法
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++= ， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---= . 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理2 22 22222 2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ））（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(16 1222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 )(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++= ))()((a p b p c p p ---=
用两种方法证明海伦公式
用两种方法证明海伦公 式 https://www.360docs.net/doc/728511941.html,work Information Technology Company.2020YEAR
求三角形面积的海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆。 相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。 若 ABC ? 的三边长分别为 a ，b ，c ，则 ABC S ?== 其中 p 是 ABC ? 的半周长，即 ()2p a b c =++。 （证明一）设边 c 上的高为 h 。由于 AD DB c +=，而在 ADC ? 和 DBC ? 中，根据勾股定理有 222 222AD AC CD AD DB CB CD DB ?=-?=??=-? =?? A B C a b c h D 于是有 ,c = 即 c = 两边平方，化简得 222.2b c a +=- 两边平方，化简得 h =
1122ABC h S c ?== 仔细化简一下，得 ABC S ?= === （证明二） 11 sin 22 ABC S ab C ?= =(1) 在 ABC ? 中，由余弦定理得 222cos .2a b c C ab +-= 代入 (1) 式，化简得 111sin 222ABC S ab C ?==== = 化简得 ABC S ?=
记入史册的海伦-秦九韶公式的证明
大家应该都知道著名的海伦-秦九韶公式吧,那就是 根号下P(P-A)(P-B)(P-C) 注: P=(A+B+C)/2 可是数学书上并没有这个公式的推导过程,本来我也不想去费脑细胞去推导这个这个公式,可是有一天我同桌和我比谁先推导出这个公式.所以我就推了一下,没想到古人的公式竟然被我在十几分钟内推导完成.以下就是我的推导过程: 首先随意画一个三角形设三边分别是A,B,C 做B边的高,设被高分成两条线段的B边的其中一段为X,另一段为B-X则根据勾股定理可得方程 A^2-X^2=C^2-(B-X)^2 A^2-X^2=C^2-B^2+2BX-X^2 A^2=C^2-B^2+2BX 2BX=A^2+B^2-C^2 X=(A^2+B^2-C^2)/2B 所以高=根号下A^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4B^2 =根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2 所以S三角形=高*B*0.5 =0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2*B^2 =0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4 =0.5*根号下A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4 =根号下1/4【A^2*B^2-(「A^2+B^2-C^2」/2)^2】 =根号下(AB/2)^2-(「A^2+B^2-C^2」/4)^2 =根号下(AB/2+「A^2+B^2-C^2」/4)(AB/2-「A^2+B^2-C^2」/4) =根号下(「2AB+A^2+B^2-C^2」/4)(「2AB-A^2-B^2+C^2」/4) =根号下(「A+B」^2-C^2)/4*(C^2-「A-B」^2)/4 =根号下(A+B+C)/2*(A+B-C)/2*(B+C-A)/2*(A+C-B)/2 =根号下P(P-2C/2)(P-2A/2)(P-2B/2) 注:P=(A+B+C)/2 =根号下P(P-C)(P-A)(P-B) 有了这个公式只要把三角形的三边长带入就可以求出三角形的面积
海伦公式几种证明方法
海伦公式几种证明方法 It was last revised on January 2, 2021
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介绍。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史着作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++= ， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---= . 证明：由正弦定理C ab S sin 21=可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理222 22222 2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 即三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=.证毕。 另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。 证明：在三角形ABC ?中， 设,,,c BA b CA a CB ===,||,||,||c c BA b b CA a a CB ======C 为向量,,b a 的夹角，则,-=于是有 又因为C b a S sin ||||21=，cos C = 所以C b a S 2222sin ||||4 1= 于是就有S = 将上述,||,||b b a a ==代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。 C A B A