2013山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=?P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。 1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为

(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i

2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{}

,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9

3、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，2

1

(),=+

f x x x

则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2

4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为

9

4

P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)

512π (B) 3π (C) 4π (D) 6

π 5、将函数sin(2)?=+y x 的图象沿x 轴向左平移8

π

个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为

(A)

34π (B) 4

π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，

--≥??

+-≥??+-≤?

x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM

的斜率的最小值为

(A) 2 (B) 1 (C) 13-

(D) 12

- 7、给定两个命题,.p q

若?p 是q 的必要不充分条件，则p 是?q 的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为

(A)

(B) (C) (D)

9、过点(3,1)作圆22

(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为

(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y

10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279

11、抛物线2

11:(0)2=>C y x p p

的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的

点.M 若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p

(A)

16 (B) 8 (C) 3 (D) 3

12、设正实数,,x y z 满足2

2

340.-+-=x xy y z 则当

xy z 取得最大值时，212

+-x y z

的最大值为 (A) 0 (B) 1 (C)

9

4

(D) 3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13、执行右图所示的程序框图，若输入c 的值为0.25，

则输出的n 的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x ，

使得121++-≥x x 成立的概率为______.

15、已知向量 AB 与 AC 的夹角为0

120，

且3, 2.==

AB AC 若λ=+ AP AB AC ， 且⊥

AP BC ，则实数λ的值为____________.

16、定义“正对数”：0,

01,

ln ln ,

1.

+<

≥?x x x x 现有四个命题：

①若0,0>>a b ，则ln ()ln ++=b a b a ； ②若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++

=+ab a b ； ③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +

++

≥-a

a b b

； ④若0,0>>a b ，则ln ()ln ln ln 2+

+

+

+≤++a b a b . 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17、（本小题满分12分）

设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且7

6,2,cos .9

+===a c b B . （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin()-A B 的值. 18、（本小题满分12分）

如图所示，在三棱锥-P ABQ 中，平面⊥PB ABQ ，

==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP

的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，

PC 与FQ 交于点H ，连接GH .

（Ⅰ）求证：//AB GH ；

（Ⅱ）求二面角--D GH E 的余弦值。

19、（本小题满分12分）

甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜

的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

。假设各局比赛结果相互独立。 （Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利

方得2分、对方得1分。求乙队得分X 的分布列和数学期望。

20、（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,2 1.==+n n S S a a

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1

2

λ++

=n n n

a T （λ为常数）。令22,(*)=∈n n c

b n N ，求数列{}n

c 的前n 项和n R 。

21、（本小题满分13分） 设函数2()=

+x x

f x c e

（ 2.71828…=e 是自然对数的底数，∈c R ） （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值；

（Ⅱ）讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数。

22、（本小题满分13分）

椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的左、右焦点分别是12,F F

，离心率为2

，过1F 且垂直于x 轴

的直线被椭圆C 截得的线段长为1.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF 。设12∠F PF 的角平分线

PM 交C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。

设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0≠k ，试证明12

11

+kk kk 为定值，并求出这个定值.

理科数学试题参考答案

一、选择题

DCABB CADAB DB 二、填空题

3 13 7

12

①③④ 三、解答题

17、（Ⅰ）由余弦定理 2

2

2

2cos =+-b a c ac B ， 得 22()2(1cos )=+-+b a c ac B ， 又7

2,6,cos 9

=+==b a c B ， 所以 9=ac ， 解得 3,3==a c .

（Ⅱ）在 ?ABC 中， sin ==

B

由正弦定理得 sin sin 3

=

=a B A b ， 因为 =a c ， 所以 A 为锐角.

所以1cos 3

==

A ，

因此 sin()sin cos cos sin 27

-=-=

A B A B A B 18、（Ⅰ）证明：因为 ,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点， 所以 //,//EF AB DC AB ， 所以 //EF DC ，

又 ,平面平面??EF PCD DC PCD ， 所以 //平面EF PCD ，

又 ,=平面平面平面? EF EFQ EFQ PCD GH ，

所以//EF GH ， 又 //EF AB ， 所以//AB GH .

（Ⅱ）解法一：在?ABQ 中， 2,==AQ BD AD DQ 所以 0=90∠ABQ ，即⊥AB BQ ，

因为平面⊥PB ABQ ， 所以 ⊥AB PB ， 又 = BP BQ B ，

所以 平面⊥AB PBQ .

由（Ⅰ）知//AB GH ， 所以 平面⊥GH PBQ 又 平面?F H P B Q ，

所以 ⊥GH FH ， 同理可得 ⊥GH HC

所以∠FHC 为二面角 --D GH E 的平面角. 设 2===BA BQ BP ，连接FC ， 在 ?Rt FBC

中，由勾股定理得=FC 在 ?Rt PBC

中，由勾股定理得=PC . 又H 为 ?PBQ 的重心，

所以

13=

=HC PC 同理

=

FH 在?FHC 中，由余弦定理得552

499cos 5529

+-∠==-?FHC ，

即二面角--D GH E 的余弦值为4

5

-.

解法二：在?ABQ 中，2,==AQ BD AD DQ ， 所以090∠=ABQ . 又 平面⊥PB ABQ ， 所以 ,,BA BQ BP 两两垂直.

以 B 为坐标原点，分别以,,BA BQ BP 所在直线为

x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设2===BA BQ BP ，

则 (1,0,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2)E F Q D C P ,

所以 (1,2,1),(0,2,1),(1,1,2),(0,1,2)=--=-=--=-

EQ FQ DP CP

设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)=

m x y z ， 由0,0?=?=

m EQ m FQ ，

得 1111120,

20,

-+-=??

-=?x y z y z

取 11=y ，得(0,1,2)=

m .

设平面PDC 的一个法向量为222(,,)=

n x y z ， 由0,0?=?=

n DP n CP ，

得 22222

20,0,--+=??-+=?x y z y z

取 21=z ，得(0,2,1)=

n .

所以 4

cos ,5

?<>==

m n m n m n ,

因为 二面角--D GH E 为钝角， 所以 二面角--D GH E 的余弦值为45

-.

19、（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件1A ，

“甲队以3：1胜利”为事件2A ，“甲队以3：2胜利”为事件3A ，

由题意，各局比赛结果相互独立，

故3

128

()()3

27

==

P A ， 22

232228()()(1)33327

=-?=P A C ，

22

2342214()()(1)33227

=-?=P A C .

所以，甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为827，以3：2胜利的概率为427

. （Ⅱ）记“乙队以3：2胜利”为事件4A ，

由题意，各局比赛结果相互独立，

所以2

2

2

442

214()(1)()(1)3

3

227=-?-=

P A C ， 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，

121216(0)()()(27

），==+=+=

P X P A A P A P A 又 34

(1)

(27）===P X P A ， 44(2)(27）===P X P A 3

(3)1(0)(1)(2)27

==-=-=-==P X P X P X P X 所以X 的分布列为

因此 1644370123272727279

=?+?+?+?=EX .

20、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由4224,2 1.==+n n S S a a 得

1111

4684,

(21)22(1) 1.+=+??+-=+-+?a d a d a n d a n d

解得 11, 2.==a d 因此 21,*=-∈n a n n N .

（Ⅱ）由题意知：1

2λ-=-

n n n T ， 所以2≥n 时，112

112222

------=-=+=n n n n n n n n n b T T 故1

221221(1)(),*24---==

=-∈n n n n n c b n n N ， 所以 01231

111110()1()2()3

()(1)()44444

…-=?+?+?+?++-?n n R n ， 则 12311111110()1()2()(2)()(1)()444444

…-=?+?+?++-?+-?n n

n R n n ，

两式相减得

1231311111()()()()(1)()444444

11()144(1)()1414

1131()334…-=++++--?-=--?-+=-n n n n n n R n n n

整理得1131

(4)94

-+=-n n n R

所以 数列{}n c 的前n 项和1131

(4)94

-+=-n n n R

21、解：（Ⅰ）2'()(12)-=-x

f x x e

，

由 '()0=f x ，解得12

=x ， 当 1

2<

x 时，'()0>f x ，()f x 单调递增； 当 1

2

>x 时，'()0

所以，函数 ()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞，单调递减区间是1

(,)2

+∞，

最大值为1

11()22

-=+f e c .

（Ⅱ）令2()ln ()ln ,(0,)-=-=--∈+∞x

g x x f x x xe

c x .

（1） 当 (1,)∈+∞x 时， ln 0>x ，则2()ln -=--x

g x x xe c ，

所以 22'()(21)-=+-x x

e g x e

x x

.

因为 2210,0->>x

e x x

， 所以 '()0>g x

因此 ()g x 在(1,)+∞上单调递增.

（2）当 (0,1)∈x 时， ln 0

e g x e

x x

.

因为222(1,),10∈>>>x x e e e x ，

所以21-<-x

e x

. 又211-

所以2210-+-

e x x

，即'()0

综合（1）（2）可知 当 (0,)∈+∞x 时，2

()(1)-≥=--g x g e c .

当2

(1)0-=-->g e c ，即2

-<-c e 时，()g x 没有零点， 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0；

当2(1)0-=--=g e c ，即2

-=-c e 时，()g x 只有一个零点， 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1； 当2(1)0-=--

->-c e 时， ① 当(1,)∈+∞x 时，由（Ⅰ）知 211

()ln ln ()ln 12

--=--≥-+>--x

g x x xe

c x e c x c ，

要使()0>g x ，只需使ln 10-->x c ，即 1(,)

+∈+∞c

x e ； ② 当(0,1)∈x 时，由（Ⅰ）知

211

()ln ln ()ln 12

--=---≥--+>---x

g x x xe

c x e c x c ，

要使()0>g x ，只需使ln 10--->x c ，即 1(0,)--∈c x e ； 所以 2

->c e 时，()g x 有两个零点， 故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 综上所述，

当2-<-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0； 当2-=-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1； 当2->-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2.

22、解:（Ⅰ）由于2

2

2

=-c a b ，将=-x c 代入椭圆方程22

221+=x y a b

，得2=±b y a ，

由题意知2

21=b a

，即22=a b .

又=

=

c e a 2,1==a b . 所以 椭圆C 的方程为2

214

+=x y （Ⅱ）解法一：

设000(,)(0)≠P x y y . 又

12(F F ， 所以直线12,PF PF 的方程分别为

:

12000000:(0,:(0.

-=--=PF PF l y x x y l y x x y

由题意知

=

，

由于点P 在椭圆上，

所以2

20014+=x y

=

因为022<<-<

0022

=

所以03

4

=m x . 因此3322

-

<

①

当0x 2PF

的斜率不存在，易知1

)2P

或1)2

-P .

若1)2

P ，则直线1PF

的方程为0-=x .

=m ，

因为<

所以4=

m

若1)2

-P ,

同理可得=m ②

当0≠x

设直线12,PF PF 的方程分别为

12(,(==y k x y k x ， 由题意知

=

，

所以

221

2

21111+

=+

k k ， 因为 2

20014

+=x y 并且

12,=

=

k k

2222

020(34)(34)

+===-x x ， 即

=

.

因为

0002且<<≤<≠m x x 所以

整理得 0

34

=

x m ， 故

3024

且≤<

≠m m . 综合①②可得 3

02

≤<

m . 当0-20<

02-

<

(,)22

-.

（Ⅲ）设000(,)(0)≠P x y y ，则直线l 的方程为00()-=-y y k x x ，

联立 2200+=1

4()

????-=-?

x y y y k x x

整理得 2

2

2

2

2

2

000000(14)8()4(21)0++-+-+-=k x ky k x x y kx y k x 由题意 0?=， 即 2

220

000(4)210-++-=x k x y k y

又 2

20014

+=x y 所以 222

0000

1680

++=y k x y k x 故 0

4=

x k y ， 由（Ⅱ）知

000

1200

211+=+=

x x x k k y y

y ， 所以

001212004211111

()()8+=+=-=-y x kk kk k k k x y ， 因此

12

11

+

kk kk 为定值，这个定值为8-.