成人高考(专升本)高等数学(一)知识点复习资料

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第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

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天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

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成人高考高数一复习资料 1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 1.数列 按一定顺序排列的无穷多个数 称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第n 项。为数列的一 般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，，… （2） （3） （4）1 ，0，1，0，…，… 都是数列。 在几何上，数 列 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴 上的点 。 2. 数列的极限 定义对于数列 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 否则称数列 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项 依次用数轴上的 点表示，若数列以A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点 可以无限 定理 1.1（惟一性）若数列 收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。 定理 1.3（两面夹定理）若数列 ，， 满足不等式 且 。 定理1.4 若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理 1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念1.当时函数的极限 （1）当时 的极限 定义 对于函数，如果当x 无限地趋于时，函数 无限地趋于一个常数A ，则称当时，函数 的极限是A ，记作 或 （当时） （2 ）当 时 的左极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的左边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的左极限是A ，记作 或 例如函数 当x 从0的左边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数1.我们称：当 时，的左极限是1，即有 （3 ）当 时， 的右极限 定义 对于函数 ，如果当x 从 的右边无限地趋于时，函数 无 限地趋于一个常数A ，则称当 时，函数 的右极限是A ，记作 或 又如函数 当x 从0的右边无限地趋于0时， 无限地趋于一个常数-1 。因此有 这就是说，对于函数 当时，的左极限是1，而右极限是 -1，即 但是对于函数 ，当 时， 的左极限是2，而右极限是2。 显然，函数的左极限、右极限 与函数的极限 之间 有以下关系： 定理1.6 当 时，函数 的极限等于A 的必要充分条件是 这就是说：如果当时，函数 的极限等于A ，则必定有左、右极限 都等于A 。 反之，如果左、右极限都等于A ，则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。 以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点 处，当 时， 的极限也可能不存在。 2.当时，函数的极限 （1）当 时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当 时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数 的极限是A ，记作或 （当 时） （2）当时，函数 的极限 定义 对于函数 ，如果当时， 无限地趋于一个常数A ， 则称当 时，函数的极限是A ，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中一定表示，且n 是正整数；而在这个定义中，则要明确写出， 且其中的x 不一定是整数。

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第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0） ，则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00

()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速 度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在 ?? ???≠=+ - + - →→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000 x f x f x f x f x x x x x x x x 跳跃间断点：可去间断点： 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第 一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。 （2） ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(

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------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

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严格依据大纲编写： 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学

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第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5. 掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每一个数称为数列的项，第n 项x n 为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n -1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3） （递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n ，都有一个x n 与之对应，所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f （n ），它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 无限地趋于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列{x n }以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n }以 A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点x n 可以无限靠近点A ，即点x n 与点A 之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满足以下条件： （1） ， （2）， 则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x →x 0时函数f （x ）的极限 （1）当x →x 0时f （x ）的极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的极限是A ，记作 或f （x ）→A （当x →x 0时） 例y=f （x ）=2x+1 x →1,f （x ）→? x<1x →1 x>1x →1 （2）左极限 当x →x 0时f （x ）的左极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的左边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的左极限是A ，记作 或f （x 0-0）=A （3）右极限 当x →x 0时，f （x ）的右极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的右边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的右极限是A ，记作 或f （x 0+0）=A 例子：分段函数

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

专升本高数试题(卷)库

全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12 (-x f 的定义域为（ ）. A: ?? ?? ??1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12???? ?? D: 1,12?? ??? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ??- ?? ? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说法正确的为（ ）.

A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )(=不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇 5.函数1 23sin +=x e y 的复合过程为（ ）. A: 12,,sin 3+===x v e u u y v B: 12,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 12,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设??? ??=≠=0 1 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1

专升本高数复习资料(超新超全)

笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求]

点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。

专升本高等数学学习经验

任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的

成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)

成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。

专升本高等数学复习资料(含答案)

专升本高等数学复习资料 一、函数、极限和连续 1 .函数y = f (x)的定义域是() A .变量x 的取值范围 B .使函数y = f(x)的表达式有意义的变量 x 的取值范围 4.函数y -「4 - x ? x - 2的定义域为() A . (2, 4) B ? [2, 4] C . (2, 4] D . [2, 4) 3 5?函数f(x) =2x -3sin x 的奇偶性为() A .奇函数 B .偶函数 c .非奇非偶 D ?无法判断 1 + x 6.设 f(1 -X ) ,则 f (x)等于() 2x -1 x x -2 1 +x 2 —x A B C D 2x -1 1 -2x 2x -1 1 -2x 7.分段函数是() A .几个函数 B .可导函数 C .连续函数 D . 几个分析式和起来表示的一个函数 8?下列函数中为偶函数的是 () A . y=e" B . y=ln( -x) 9?以下各对函数是相同函数的有 () A . f (x)二 x 与g(x) —x B 11.设函数y = f (x)的定义域是[0,1], [-1,0] C . [0,1] D . [1,2] C .全体实数 D ?以上三种情况都不是 2?以下说法不正确的是( ) A .两个奇函数之和为奇函数 C .奇函数与偶函数之积为偶函数 3.两函数相同则( ) A ?两函数表达式相同 C .两函数表达式相同且定义域相同 B ?两个奇函数之积为偶函数 D ?两个偶函数之和为偶函数 B ?两函数定义域相同 D ?两函数值域相同 3 C . y 二 x cosx f (x) = 1 - sin 2 x 与g(x) = cosx x C ? f(x)二—与g(x) =1 x 10 .下列函数中为奇函数的是 () f(x) = x —2 与 g(x)=｛；； n A ? y = cos(x ) B 3 x -x e -e 3丄 2 y 二 xsin x C ? y - D .y 二 x x 2 则f (x ? 1)的定义域是() A . [ -2, ~1] B

专升本高数复习资料

专升本高数 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函 数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴 旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

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精品文档 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。 偶函数： f ( x) f ( x) ，图像关于 y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （ 1）若 lim α 0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。 β （ 2）若 lim α c （不为 α β 0），则 与 β是同阶无穷小量 特别地，若 lim α 1 α β ，则 与 是等价无穷小量 β （ 3）若 lim α α β β ，则 与 是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于 0 的本领高。 4、两个重要极限 （ 1） lim sin x lim x 1 x 0 x x sin x 使用方法：拼凑 lim sin lim sin 0 ，一定保证拼凑 sin 后面和分母保持一致 1 x 1 （ 2） lim 1 lim (1 x) x e x x x 1 lim (1 ) e 使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 a , n m 5、 lim P n x b 0 0, n m x Q m X , n m

精品文档 P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大；n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：lim f ( x)A x x0 右极限：lim f ( x)A x x0 lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) A x x0x x0x x0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0 x0x 0 或 lim f (x) f ( x0 ) x x0 无法成立的三种情况 间断：使得连续定义lim f ( x) f ( x0 ) x x0 f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义 lim f ( x)不存在 x x0 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （ 1）、第二类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在 x x0x x0 （ 2）、第一类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在 x x0x x0 可去间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （ 1）最值定理：如果 f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。 （ 2）零点定理：如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0