立体几何教学建议

立体几何教学建议

密云二中王德臣

一、课时安排（共约45课时）

第一节平面 3课时

第二节空间直线 5课时

第三节直线与直线平行的判定与性质 3课时

第四节直线与直线垂直的判定与性质4课时

第五节两个平面平行的判定与性质 3课时

第六节两个平面垂直的判定与性质 3课时

第7节棱柱 4课时

第8节棱锥 4课时

研究性学习欧拉定理 2（3）课时

第9节球 4课时

小结与复习 3课时

空间向量法及其应用 7课时

其中空间直角坐标系、向量的加法、减法、向量的平行于垂直的坐标运算、向量的內积、a在b上的投影等约1课时。

直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行约2课时

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角约2课时异面直线间的距离、点到直线的距离、直线与平面的距离约2课时。

二、立体几何重点解决两个方面的问题：

1、线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的

平行与垂直关系的判定与证明。

2、空间角（包括异面直线，直线与平面、平面与平面）所成的

角与距离（点到线、点到面、两条异面直线，直线与平面间、

两个平行平面、球面上两点）间的距离度量。

三、学习立体几何的难点（教学过程中注意培养）

1、 在平面内如何表示空间图形（画图、空间想象）

2、 数学语言丰富（文字、图形、符号语言间的转换）

3、 逻辑关系（正确、恰当地表述定理）

4、 证明方法繁多（直接法、反证法、分析法、同一法、等价

转化）

四、知识梳理

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????面面垂直的判定定理定义面面垂直面面垂直的性质定理线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理定义线面垂直线面垂直的性质定理的逆定理三垂线定理垂直）三垂线定理(异面直线定义线线垂直垂直关系

平面平行同垂直一条直线的两个面面平行的判定定理面面平行面面平行质定理线面平行判定定理线面平行面面平行质定理线面垂直性质定理线面平行性质定理平行公理线线平行平行关系位置关系

度量关系??????

?????????????????????面面距线面距点面距线线距

点线距距离面面角线面角线线角角 五、教学建议：

1、定义（或概念）、定理、公理、法则等，要求学生要准确叙述出来，分清它们的条件与结论，能熟练地用符号语言表述，并能画出正确的图形。对课本上一些重要题目也要求学生能用文字语言表述清楚，用数学符号语言表示正确，画出立体感比较明显的几何图。

例：直线与平面平行的性质定理（图形、文字叙述、数学符号表示）

2、精讲多练，一题多解。

例：已知矩形ABCD 所在的平面外一点 P, PA ⊥平面ABCD,

E 、

F 分别是AB 、PC 的中点，求证：EF//平面PAD 解法一：取PD 的中点

G ,连接FG , AG 则四边形

AEFG 是平行四边形，所以EF//AG ,从而结论得证

解法二：通过构造含EF 的平面与平面PAD 平行。

再利用面面平行的性质定理证得。

解法三：利用空间向量的方法，找平面PAD

的法向量（），再证AB ⊥ 解法四：利用空间向量的方法，证AD AP EF μλ+= 再说明点E （或直线EF ）在平面PAD 外即可证得。

3、在解题的过程中，注意思考总结。对各种角、距离的定义与解题

过程要认真总结归纳。

（1）求异面直线所成的角主要方法：

① 依据其定义，可归纳为“选点——作平行线——解三角形”。

一般用“三点定面法”即在异面的两线段的4个端点中，适当选其中三点确定平面，然后在其确定的平面上先考虑能否平移其中一条线段与另一条相交，如果不行，则可以考虑另两种做法：（Ⅰ）找线段中点或图形上的特殊点，来作两异面直线的中位线或其它平行线；（Ⅱ）通过补形来达到平移其中一条直线与另一条直线相交。当然选点原则是所得到的三角形好解，如直角三角形等。

② 采用向量代数法，已知基向量的模长和夹角。

③采用向量坐标法，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线上的

B A

C D

P F E

方向向量的坐标；然后用数量积公式求出其夹角的余弦值。

例；如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．(1)求异面直线MN 与'CD 所成的角．（600）

(2)求直线MN 与平面C B

D ‘'所成的角。

(2)求二面角常用以下方法：先判断是否可能为直二面

角（要证明），其次可用以下方法：

① 定义法：在二面角棱上取一点分别向两个半平面作垂直于棱的射线.由于棱上选点的任意性对下一步计算不利,所以我们常先在一面内选一特殊点作棱的垂线交棱于一点。再过这一点在另一面作垂直于棱的射线，从而得到二面角的平面角。再解三角形。

② 三垂线定理法：过一平面内一点分别作棱的垂线和另一面的垂线，连接两个垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可归纳为“选点一—作平面角—一证明——解三角形”。求解时，先要分析是否为直角三角形。

③向量代数法：建立适当的空间直角坐标系，分别取这两个平面的法向量21n ,n ，根据条件分别取21n ,n 一组具体坐标，再用公式|n ||n |n n cosθ2121 ?=求出θ，这里有一个难点是判断向量的方向，从而确定二面角的大小为θ还是θπ-。

例1、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底

面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1

上的点，且CN ＝2C 1N.

（Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。

解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以

AM ⊥BC ，又AM ⊥C 1C ,所以AM ⊥面BC 1C 1B ，从而

AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，所以∠1B MN 为二面角，1B —AM —N 的平面角。

又1B M=221B B BM +1

514=+=,MN =22145496

MC CN +=+=,

连1B N ，得1B N ＝22111110193B C C N +=+=，在?1B MN 中，由余弦定理得22211115251054369cos 2552B M MN B N B MN B M MN +-+-===??。 故所求二面角1B —AM —N 的平面角的余弦值为5。 （Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足。又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。于是1B H ⊥

平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。在

11R B HM ?中，1B H ＝1B M 151sin 115

B MH =?-=。故点1B 到平面AMN 的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则1B （0，0，1），M

（0，12，0）,

C(0,1,0), N (0,1,23

) , A (31,,02

-)，所以， 3(,0,0)AM =，11(0,,1)2MB =-,12(0,,)23

MN =。 因为13100()01022

MB AM =?+?-+?=所以1MB AM ⊥,同法可得MN AM ⊥。 故﹤1,MB MN ﹥为二面角1B —AM —N 的平面角

∴cos ﹤1,MB MN ﹥＝115

512.5526

MB MN MB MN ?==?? 故所求二面角1B —AM —N 的平面角的余弦值为55

。 （Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN 的一个法向量，则由,n AM n MN ⊥⊥得 3002412032

3x x y z y z ?=?=??????=-??+=??? 故可取3(0,,1)4n =- 设1MB 与n 的夹角为a ，则115

253cos 55MB n a MB n ?===??。

所以1B 到平面AMN

的距离为1cos 125

MB a ?=?=

另外，如果没有给出二面角的棱，可将图形中的某些线段或平面

延长，延拓或平移得到二面角棱。或将原几何体补成（或平移）特殊几何体，使之出现二面角的棱。

例：正三棱柱中，侧棱'AA =AB 2求平面E AB '与平面'''C B A 所成的锐二面角的大小。

例：正四棱锥M-ABCD 中，MA=AB ，求平面MAC 与平面MBD 所成的锐二面角的大小。

E

A'C'

B'D A

M

(3)求点到面的距离有四种方法：

① 根据定义，直接作垂线，找垂线段；

② 转化为线面距离或面面距离；

③ 三棱锥等积法；

④ 向量代数法： 如图，点A 到平面的距离是|AO|，

则向量BA 在直线OA 方向上的投影是OA 则有OA ,BA cos |BA ||OA |=><=。 2．重视提高学生的空间想象能力，培养学生识图、画图和对图形的理解能力。突破画图、读图、识图、用图的道道难关。

(1)加强画图能力的培养：要求学生掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还让学生体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另外

的方向上可能一目了然。 （2）加强识图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。 例、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．

3.加强审题能力的培养。

一般地方法是：已知条件------性质定理-----判定定理----性质或由数量关系-----位置关系

4. 应注重让学生掌握解题方法中的通法通则，特别是类比及化归思想，向量代数法。在授课时，让学生不仅理解而且能熟练应用。如线面和面面关系的转化；三棱锥等积法要熟练掌握；面面平行转化为线面平行，可再转化为线线平行来处理。再如，点到面距离，可转化为线到面距离，又可转化为面面距离；证明两线平行，可转化为两直线同时垂直于一个平面的证明。

又如求二面角的向量代数法、三垂线定理法，求点到面的距离的向量代数法和等体积法等这些都是立体几何中的通法；

5．引导学生多积累。如（1

）注意平面几何和立体几何概念的区别与联系，如：空间的垂直未必相交；正棱锥不仅要底面是正多边形形，且顶点在底面上的射影是底面多边形的中心；三棱锥顶点在底面上的射影是底面三角形的外心、内心、垂心的条件各是什么等问题。（2）记住一些特殊图形的线面关系和有关量。如：正方体中对角线与侧面对角线异面时，它们互相垂直；正四面体相对棱相互垂直等等；

6．严抓解题的表述与书写的规范性。在传统的逻辑推理方法中的基本

步骤是：“一作图，二证明，三求解”；在用向量代数法时，必须按照A B C D 1A 1

C 1

B A1B1B A1B1B B1

“一建系，二求点的坐标，三求向量的坐标，四运用向量公式求解”；如在证明线面平行时，学生容易只证线与平面内一条直线平行就下结论，这里应强调说明线在面外，三个条件缺一不可；用空间向量解决问题时，需要用建立坐标系时，一定要说清楚；用三垂线定理作二面角的平面角时，一定要点明斜线在平面上射影；书写解题过程的最后都必须写结题语。

7.计算方法。解三角形、有关圆的计算，三棱锥的体积，向量的计算等。

要抓住基本图形中的基本量，长方体的长、宽、高；正棱锥中的两个直角三角形的三条边、两个角；球内接长方体的对角线等于球的直径；球内接正四面体的棱长与球的直径的关系则可以通过相应的球内接正方体来作中间桥梁，即正四面体的棱长等于正方体的侧面对角线长；球与截面的问题可类比于圆与弦的问题。

8.培养学生两种意识：

(1) 特殊化意识。许多线面关系的问题要特别注意它们的特殊位置关系，在一些计算问题在一般位置（图形）和特殊位置（图形）的答案是不变的，从特殊中寻找快捷的解题思路。

例、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=

3

6 例、求棱长为a 正四面体相对的两条棱间的距离。（a 22） （2）运动的观点。平移不改变角的大小，在立体几何中，所有角的求解都可做平行线（平移）来解决，这样我们可将不相交的线的夹角转化为相交线的夹角；直线不能移动，但其方向向量可以按需要任意平移。

10、空间向量的应用。空间向量在立几中的应用，特别是用数量积求异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求点到平面的距离，异面直线间的距离；确实体现了它的强大功能。

但不可否认，传统方法也有它的优越性，一旦空间的位置关系搞

清楚了，计算量较小，正确率高。

六、题型举例：

例、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；

（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． (ⅳ)求异面直线CC 1与A 1B 的距离。

A B

C D 1A 1C 1B

六、考刚要求：（A版本）

1、掌握平面的基本性质。会用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。

2、掌握两条直线平行、垂直的判定定理和性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

3、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理。掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。掌握三垂线定理及其逆定理。

4、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

5、会用反证法证明简单的问题。

6、了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。

7、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

8、了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

9、了解正多面体的概念，

10、了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。