(整理)幂级数的部分练习题及答案
题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)
(2分)[1]
(2分)[2] 函数项级数的收敛域是
(A)
(B)
(C)
(D)
答( )
(2分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处
(A)发散；
(B)绝对收敛；
(C)条件收敛；
(D)不能确定敛散性。
答：( )
(3分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处
(A)发散；
(B)绝对收敛；
(C)条件收敛；
(D)不能确定敛散性。
答：( ) (2分)[5]设级数的收敛半径是1，则级数在点
(A)发散；
(B)条件收敛；
(C)绝对收敛；
(D)不能确定敛散性。
答：( )
(2分)[6]如果,则幂级数
(A)当时,收敛；
(B) 当时,收敛；
(C) 当时,发散；
(D) 当时,发散；
答( )
(2分)[7]若幂级数的收敛半径为R,那么
(A),
(B) ,
(C),
(D)不一定存在 .
答( )
(3分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数
(A)在处发散；
(B)在处收敛；
(C)收敛区间为;
(D)当时发散。
答( )
(2分)[9] 如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么
幂级数的和函数
(A) 必是，(B)不一定是，
(C)不是，(D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果能展开成的幂级数，那么该幂级数
(A) 是的麦克劳林级数；
(B)不一定是的麦克劳林级数；
(C)不是的麦克劳林级数；
(D) 是在点处的泰勒级数。
答( )。
二、填空(54小题,共166.0分)
(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时收敛当_____________时发散
(3分)[3] 设级数的部分和函数，
级数的通项。
(2分)[4] 级数的和是。
(2分)[5] 级数在上的和
函数是。
(3分)[6]设不是负整数，对的值讨论级数的收敛性
得当时，绝对收敛，
当时，条件收敛。
(2分)[7] 幂级数的收敛域是。
(3分)[8]幂级数的收敛半径是，和函数是。
(1分)[9] 如果幂级数的收敛半径是1，则
级数在开区间内收敛。
(2分)[10]如果，则幂级数在开区间内收敛。
(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是，
则幂级数的收敛半径是。
(2分)[12]如果幂级数在处收敛，在处发散，则它的收
敛域是.
(5分)[13] 幂级数的通项
是，收敛域是。
(6分)[14] 幂级数的收敛域是。
(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。
(4分)[16] 幂级数的收敛域是。
(4分)[17] 若幂级数和的
收敛半径分别为、，则、具有
关系。
(3分)[18] 设，则幂级数
的收敛半径是。
(2分)[19] 幂级数的收敛域是，
和函数是。
(3分)[20] 幂级数的和函数是。
(3分)[21] 幂级数
的收敛域是，和函数是。
(2分)[22] 级数的收敛域
是，和函数是。
(2分)[23] 若幂级数的收敛半径是，则其
和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24] 如果幂级数与的收敛半径
分别是、，则级数的收敛
半径是。
(3分)[25] 若幂级数的收敛半径是,则
其和函数在开区间内是
可微的，且有逐项求导公式。
(3分)[26] 设幂级数的收敛半径是,则其和函数在
开区间上可积，且有逐项求积公
式。
(4分)[27] 函数的麦克劳林展开成为，其收敛域是。
(3分)[28] 函数的麦克劳林展开式为，收敛区间是。
(3分)[29] 函数在点的泰勒展开式为，收敛区间是。
(3分)[30] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(3分)[31] 函数的麦克劳林级数展开式为，收敛域是。
(5分)[32] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(6分)[33] 函数关于的幂级数为，收敛域是。
(4分)[34] 函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。
(4分)[35] 函数的麦克劳林展开式为
，其收敛域是。
(3分)[36] 如果的麦克劳林展开式为
，则。
(2分)[37] 函数在点的泰勒级数为
，收敛区间为。
(2分)[38] 函数的麦克劳林级数为，
收敛区间为。
(2分)[39] 函数的麦克劳林级数为，收敛域为。
(4分)[40] 函数的麦克劳林展开式是，。
(3分)[41] 函数的麦克劳林展开式为，。
(5分)[42] 函数关于x的幂级数是，
。
(4分)[43] 函数的麦克劳林展开式为，= 。
(4分)[44] 函数的麦克劳林展开式为，
。
(2分)[45] 函数关于的幂级数
是，。
(6分)[46] 函数的麦克劳林级数为，
。
(3分)[47] 将函数展开成形如的幂级数时，收敛域
是。
(3分)[48] 若函数在点的某一邻域内任意阶可微，设
，那么在该
邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是。
(3分)[49] 函数在点的泰勒展开式是，其收敛域是。
(3分)[50] 函数的麦克劳林级数是
，其收敛域是。
(3分)[51] 函数的麦克劳林级数是
，其收敛域是。
(3分)[52] 根据的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的前三项(用分数表示)
是。
(2分)[53] 级数发散时，的取值范围是。
(2分)[54] 利用的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的第六项(用分数表示)是。
三、计算(36小题,共161.0分)
(3分)[1]设，求级数的和函数。
(3分)[2] 设
试求级数的和函数。
(3分)[3] 求函数项级数的和函数s(x)。
(4分)[4] 求级数在(-1，1)内的和函数。
(4分)[5] 设为上的连续函数，级数，
其中
试确定的收敛域及和函数。
(4分)[6] 试求幂级数的和函数。
(5分)[7]试求幂级数的收敛域。
(4分)[8]试求级数的收敛域。
(3分)[9] 试求级数的收敛域。
(4分)[10] 试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[11] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[12]求幂级数的收敛域。
(4分)[13]已知幂级数的收敛半径，试求的收敛半径。(5分)[14]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(5分)[15] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[16]试求幂级数的收敛域。
(5分)[17] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[18] 试求幂级数的收敛域。
(6分)[19] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[20] 试求幂级数的收敛半径。
(6分)[21] 试求幂级数的收敛域。
(5分)[22]试求幂级数的收敛半径及收敛域。
(4分)[23] 试求幂级数在其收敛域上的和函数。
(5分)[24] 试求幂级数在收敛域上的和函数。
(2分)[25] 试求级数
的收敛域。
(3分)[26]试求幂级数的收敛半径。(2分)[27] 试求幂级数的收敛半径。(6分)[28] 设，确定的连续区间，
并求积分的值。
(6分)[29] 设，确定的连续区间
并计算的值。
(6分)[30] 设，，
试用幂级数表示。
(6分)[31] 设，
试用幂级数表示。
(6分)[32] 设，
试用幂级数表示。
(6分)[33] 设，试确定,使得在
上可微，并计算的值。
(6分)[34] 设，确定,使得在上可微，并计算的值。
(3分)[35] 设，求关于
h的麦克劳林级数。
(3分)[36] 试求函数关于x的幂级数.
====================答案==================== 答案部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择(10小题,共22.0分)
(2分)[1][答案]
C
(2分)[2][答案]
B
(2分)[3][答案]
B
(3分)[4][答案]
D
(2分)[5][答案]
A
(2分)[6][答案]
A
(2分)[7][答案]
( D )
(3分)[8][答案]
( D )
(2分)[9][答案]
(B)
(2分)[10][答案]
(A)
二、填空(54小题,共166.0分) (2分)[1][答案]
(2分)[2][答案]
(3分)[3][答案]
(2分)[4][答案]
。
(2分)[5][答案]
(3分)[6][答案]
(2分)[7][答案]
(3分)[8][答案]
……(1分)[9][答案]
(2分)[10][答案]
(2分)[11][答案]
(2分)[12][答案]
(5分)[13][答案]
(6分)[14][答案]
(4分)[15][答案]
(4分)[16][答案]
(4分)[17][答案]
=
(3分)[18][答案]
(2分)[19][答案] ，
。
(3分)[20][答案]
(3分)[21][答案] (2分)[22][答案] (2分)[23][答案] (2分)[24][答案]
或为
(3分)[25][答案] (3分)[26][答案]
(4分)[27][答案] (3分)[28][答案] (3分)[29][答案] (3分)[30][答案] (3分)[31][答案] (5分)[32][答案] (6分)[33][答案] (4分)[34][答案]
(4分)[35][答案] (3分)[36][答案] (2分)[37][答案] (2分)[38][答案] (2分)[39][答案] (4分)[40][答案] (3分)[41][答案]
(5分)[42][答案] (4分)[43][答案]
(4分)[44][答案] (2分)[45][答案] (6分)[46][答案]
(3分)[47][答案] (3分)[48][答案]
对于该邻域内的任意，有
(3分)[49][答案]
(3分)[50][答案]
(3分)[51][答案]
(3分)[52][答案]
(注：填也得10分)
(2分)[53][答案]
；
(2分)[54][答案]
(注：答案形式为也给分)
三、计算(36小题,共161.0分) (3分)[1][答案]
(3分)[2][答案]
于是，
(3分)[3][答案]
所给级数是以为公比的等比级数
因此，当x>0, ,级数收敛
且和函数
又x=0时，，级数收敛
且=0
综上所述=
(4分)[4][答案]
解法一
= ?
=
= ??
?解法二
(4分)[5][答案]
设为的部分和，则
…所求和函数… 所求收敛域为…
(4分)[6][答案]
幂级数的收敛域是，
所以当时，有
(5分)[7][答案]
设
因为
所以当时，级数收敛；
又当，级数发散，
故收敛域为。
【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT
函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =
++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x ) 在x 0 的Taylor 级数： （*） ).,(,)(!) ()(00 00)(r x O x x x n x f x f n n n ∈-=∑∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x ) = e x = ∑∞ =0! n n n x !!3!2132n x x x x n +++ +=+ …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x ) = sin x = ∑∞ =++-01 2! )12()1(n n n x n )! 12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。
常用函数的幂级数展开式
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x
目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量