数学：2.1《直线的斜率(1)》教案(苏教教必修2)
普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]
直线的斜率（1）
教学目标
（1）理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式； （2）掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围． 教学重点
直线的斜率和倾斜角的概念． 教学难点
过两点的直线斜率的计算公式的推导． 教学过程 一、问题情境
1．情境：
多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线：飞逝的流星、雨后的彩虹、古代的石拱桥（赵州桥）、股市走势图、行星围绕太阳运行的轨迹……这些曲线都和方程息息相关，在数学中，我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线．
初中时我们已经初步接触到了直线的方程，例如：1y x =+．在平面直角坐标系中，用有序实数对(,)x y 表示平面内的点，代数方程1y x =+的解(,)x y 看作平面上的点的坐标，这些点的集合即为直线．
一般地，关于,x y 的一个方程(,)0f x y =，将它的解(,)x y 看作平面上的点的坐标，这些点的集合是一条曲线． 2．问题：
我们都知道，两点可以确定一条直线．还有什么样的条件可以确定一条直线吗？ 答：一点和直线的方向（即直线的倾斜程度）． 二、建构数学
1．坡度
楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画． 坡度指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值．
说明：铁路的坡度一般比较小，用千分率（‰）表示， 而公路的坡度相对较大，用百分率（％）表示． 2．直线的斜率
已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率为
21
21
y y k x x -=-12()x x ≠．
宽度 高
度
=
高度坡度宽度
直线 ← ↓
↑ →
l
1
1(,)P x
y
? x
y O
? 2
2(,)Q x y
（图2）
x
O
y
21x x -
21y y - 11(,)P x y
22(,)Q x y l
（图1）
说明：
（1）斜率公式与,P Q 两点的顺序无关；
（2）如果12x x =（即直线PQ 与x 轴垂直时），那么直线PQ 的斜率不存在（如图2）； （3）对于不垂直于x 轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置无关； （4）对于与x 轴不垂直的直线PQ ，斜率可看作：2121y y y
k x x x
-?=
==-?纵坐标的增量横坐标的增量．
3．直线的倾斜角
问题：在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？
倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角称为直线的倾斜角． 规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0o
， 所以，倾斜角α的范围是0180α≤ o ． 说明：倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，当斜率侧重于数量关系，而倾斜角则侧重 l ? P 0α= l ? P 02 πα<< l ? P 2 π α= l P 2 π απ<< ? 于直观形象． 四、数学运用 1．例题： 例1．如图，直线123,,l l l 都经过点(3,2)P ，又123,,l l l 分别经过点12(2,1),(4,2)Q Q ---， 3(3,2)Q -，试计算直线123,,l l l 的斜率． 解：设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 1231232222 ,4,02354333 k k k -----= ===-==-----， 由图可知， （1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（1l ），此时直线倾斜角为锐角； （2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜（2l ），此时直线倾斜角为钝角； （3）当直线的斜率为0时，直线与x 轴平行或重合（3l ），此时直线倾斜角为0o ． 例2．已知直线l 经过点(,2)A m 、2 (1,2)B m +，求直线l 的斜率及当1m =时的倾斜角． 解：当1m =时，直线l 的斜率不存在，此时倾斜角为90o ； 当1m ≠时，直线l 的斜率22 2211m m k m m +-==--． 例3．已知三点(,2),(3,7),(2,9)A a B C a --在一条直线上，求实数a 的值． 解：由题意，AB BC k k =， ∴ 7297323a a ---= ---，∴2a =或2 9 ． 练习：求证：(1,5),(0,2),(2,8)A B C 三点共线． 例4．经过点(3,2)画直线，使直线的斜率分别为：（1） 34；（2）4 5 -． 分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置． 解：（1）根据斜率y x ?= ?，斜率为3 4 表示直线上的任一点沿x 轴方向向右平移4个单位，再沿y 轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上， 将点(3,2)沿x 轴方向向右平移4个单位，再沿y 轴方向向上平移3个单位后得点(7,5)，即可确定直线． （2）∵44 55 -- =，∴将点(3,2)沿x 轴方向向右平移5 个单位，再沿y 轴方向向下平移4个单位后得点(8,2)-， 即可确定直线． 2．练习：课本第72页 练习 第1，2，3题． 五、回顾小结： 1．直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式； 2．直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围． 六、课外作业： 课本第72页 练习 第4，5题． 补充：已知(4,5),(2,3),(1,)A B a C a --三点共线，求a 的值． ．