机械能守恒定律(含答案)
第3课时 机械能守恒定律
一、基础知识
（一）重力做功与重力势能 1、重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关． (2)重力做功不引起物体机械能的变化． 2、重力势能
(1)概念：物体由于被举高而具有的能． (2)表达式：E p ＝mgh .
(3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小． 3、重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即W G ＝－(E p2－E p1)＝ －ΔE p . （二）弹性势能
1、概念：物体由于发生弹性形变而具有的能．
2、大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．
3、弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W ＝－ΔE p .
方法提炼 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
1．选取研究对象?
????
单个物体
多个物体组成的系统
2．分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒． 3．选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能． 4．根据机械能守恒定律列出方程．
5．解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
（三）机械能守恒的判断
1、机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
(1)物体只受重力或弹力作用．
(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
(3)其他力做功，但做功的代数和为零．
(4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转
化．
2、机械能守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他
力做功的代数和为零，则机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式
的能的转化，则物体系统机械能守恒．
1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为
零；只有重力做功不等于只受重力作用．
2．对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定
不守恒．
3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
（四）机械能守恒观点的理解
1、守恒观点
(1)表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考
平面．
2、转化观点
(1)表达式：ΔE k＝－ΔE p.
(2)意义：系统(或物体)的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)
的势能．
(3)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平
面．
3、转移观点
(1)表达式：ΔE A增＝ΔE B减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加
量等于B部分机械能的减少量．
(3)注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而
B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能．
二、练习
1、关于重力势能，下列说法中正确的是()
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
解析物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错．物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错．重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错．重力做的功等于重力势能的变化，D选项对．
2、置于水平地面上的一门大炮，斜向上发射一枚炮弹．假设空气阻力可以忽略，炮弹可以
视为质点，则() A．炮弹在上升阶段，重力势能一直增大
B．炮弹在空中运动的过程中，动能一直增大
C．炮弹在空中运动的过程中，重力的功率一直增大
D．炮弹在空中运动的过程中，机械能守恒
答案AD
解析炮弹在空中运动时，动能先减小后增大．重力的功率亦是先减小后增大，由于忽略空气阻力，所以炮弹的机械能守恒，选项A、D正确．
3、关于机械能是否守恒，下列说法正确的是()
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D ．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒 答案 C
解析 做匀速直线运动的物体与做圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A 、B 错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，C 正确，D 错误．
4、将质量为100 kg 的物体从地面提升到10 m 高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g ＝10 m/s 2)
( )
A ．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J
B ．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J
C ．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J
D ．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J 答案 C
解析 W G ＝－mgh ＝－1.0×104 J ，ΔE p ＝－W G ＝1.0×104 J ，C 项正确．
5、如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端接连着一轻弹簧，弹簧的另一端固定 在墙上，在力F 作用下物体处于静止状态，当撤去力F 后，物体
将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( ) A ．弹簧的弹性势能逐渐减少 B ．物体的机械能不变
C ．弹簧的弹性势能先增加后减少
D ．弹簧的弹性势能先减少后增加 答案 D
解析 开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F 后，物体先向右加速运动后向右减速运动，所以物体的机械能先增大后减小，所以B 错．弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少后增加，D 对，A 、C 错． 6、下列物体中，机械能守恒的是 ( )
A ．做平抛运动的物体
B ．被匀速吊起的集装箱
C ．光滑曲面上自由运动的物体
D ．物体以4
5g 的加速度竖直向上做匀减速运动
答案 AC
解析 物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以4
5
g 的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律
mg －F ＝m ×45g ，有F ＝15mg ，则物体受到竖直向上的大小为1
5mg 的外力作用，该力对物
体做了正功，机械能不守恒．
7、亚运会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图所示，这些物体从被抛出到落地的过程中 ( )
A ．物体的机械能先减小后增大
B ．物体的机械能先增大后减小
C ．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大
D ．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小 答案 D
8、如图所示，质量为m 的钩码在弹簧秤的作用下竖直向上运动．
设弹簧秤的示数为F T ，不计空气阻力，重力加速度为g .则( ) A ．F T ＝mg 时，钩码的机械能不变 B ．F T
解析 无论F T 与mg 的关系如何，F T 与钩码位移的方向一致，F T 做正功，钩码的机械能增加，选项C 、D 正确． 答案 CD
9、(2011·课标全国·16)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( ) A ．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B ．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C ．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D ．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关 答案 ABC
解析 运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A 正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B 正确．除重力、弹力外没有其他力做功，故系统机械能守恒，选项C 正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D 错误．
10、如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水 平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁．现让一小球自左端 槽口A 点的正上方由静止开始下落，从A 点与半圆形槽相切 进入槽内，则下列说法正确的是
( )
A ．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B ．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C ．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D ．小球从下落到从右侧离开槽的过程中，机械能守恒 答案 C
解析 小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒．而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒．小球到达槽最低点前，小球先失重，后超重．当小球向右上方滑动时，半圆形槽向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒．综合以上分析可知选项C 正确．
11、如图所示，将物体从一定高度水平抛出(不计空气阻力)，物体运动
过程中离地面高度为h 时，物体水平位移为x 、物体的机械能为E 、 物体的动能为E k 、物体运动的速度大小为v .以水平地面为零势能面． 下列图象中，能正确反映各物理量与h 的关系的是
( )
答案 BC
解析 设抛出点距离地面的高度为H ，由平抛运动规律x ＝v 0t ，H －h ＝1
2gt 2可知：x ＝
v 0
2(H －h )
g
，图象为抛物线，故A 项错误；做平抛运动的物体机械能守恒，故B 项
正确；平抛物体的动能E k ＝mgH －mgh ＋1
2m v 20，C 项正确，D 项错误．
12、如图所示，小球以初速度v 0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h 的斜面顶部．A 是内轨半径大于h 的光滑轨道、B 是内轨半径小于h 的光滑轨道、C 是内轨直径等于h 的光滑轨道、D 是长为1
2h 的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O 点向上转动的小
球．小球在底端时的初速度都为v 0，则小球在以上四种情况下能到达高度h 的有( )
答案 AD
13、山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪坡由AB 和BC 组成，AB 是倾角为37°的斜坡，BC 是半径为R ＝5 m 的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B 点，与水平面相切于C 点，如图3所示，AB 竖直高度差h ＝8.8 m ，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg ，从A 点由静止滑下通过C 点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：
(1)运动员到达C 点时的速度大小； (2)运动员经过C 点时轨道受到的压力大小．
答案 (1)14 m/s (2)3 936 N
解析 (1)由A →C 过程，应用机械能守恒定律得： mg (h ＋Δh )＝12m v 2
C 又Δh ＝R (1－cos 37°) 解得：v C ＝14 m/s
(2)在C 点，由牛顿第二定律得： F C －mg ＝m v 2C R
解得：F C ＝3 936 N.
由牛顿第三定律知，运动员在C 点时对轨道的压力大小为3 936 N.
14、如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的滑块(可视为质点)静止于动摩擦因数μ＝0.1的水平轨道上的A 点．现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P ＝10.0 W ．经
过一段时间后撤去外力，滑块继续滑行至B 点后水平飞出，恰好在C 点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D 处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6 N ．已知轨道AB 的长度L ＝2.0 m ，半径OC 和竖直方向的夹角α＝37°，圆形轨道的半径R ＝0.5 m ．(空气阻力可忽略，重力加速度g ＝ 10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)滑块运动到C 点时速度v C 的大小； (2)B 、C 两点的高度差h 及水平距离x ； (3)水平外力作用在滑块上的时间t .
解析 (1)滑块运动到D 点时，由牛顿第二定律得
F N －mg ＝m v 2
D
R
滑块由C 点运动到D 点的过程，由机械能守恒定律得 mgR (1－cos α)＋12m v 2C ＝1
2m v 2D
联立解得v C ＝5 m/s
(2)滑块在C 点时，速度的竖直分量为 v y ＝v C sin α＝3 m/s
B 、
C 两点的高度差为h ＝v 2
y
2g
＝0.45 m
滑块由B 运动到C 所用的时间为t y ＝v y
g ＝0.3 s
滑块运动到B 点时的速度为 v B ＝v C cos α＝4 m/s
B 、
C 间的水平距离为x ＝v B t y ＝1.2 m
(3)滑块由A 点运动到B 点的过程，由动能定理得 Pt －μmgL ＝1
2m v 2B
解得t ＝0.4 s
答案 (1)5 m/s (2)0.45 m 1.2 m (3)0.4 s
15、如图所示的是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD 部分粗糙外，其余均光滑，一挑战者质量为m ，沿斜面轨道滑下，无能量损失地滑入第一个圆管形轨道．根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通
过计算机显示出来．挑战者到达A 处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD 滑入第二个圆管形轨道．在最高点B 处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg ，然后从平台上飞入水池内．若第一个圆管轨道的半径为R ，第二个圆管轨道的半径为r ，水面离轨道的距离为h ＝2.25r ，g 取10 m/s 2，管的内径及人相对圆管轨道的半径可以忽略不计．则：
(1)挑战者若能完成上述过程，则他至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？ (2)挑战者从A 到B 的运动过程中克服轨道阻力所做的功为多少？ (3)挑战者入水时的速度大小是多少？
解析 (1)挑战者到达A 处时刚好对管壁无压力，
可得出mg ＝m v 2A
R
设挑战者从离水平轨道H 高处的地方开始下滑，运动到A 点时正好对管壁无压力，在此过程中机械能守恒
mgH ＝12m v 2
A ＋mg ·2R ，解得H ＝5R 2
(2)在B 处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg ，根据牛顿第二定律得：mg －F N ＝m v 2
B
r
，
挑战者在从A 到B 的运动过程中，利用动能定理得： mg ·2(R －r )－W f ＝12m v 2B －1
2m v 2A
联立解得W f ＝52mgR －9
4
mgr
(3)设挑战者在第二个圆管轨道最低点D 处的速度为v ，则 －mg ·2r ＝12m v 2
B －12m v 2
解得v ＝32
2
gr
挑战者离开第二个圆管轨道后在平面上做匀速直线运动，然后做平抛运动落入水中，在此过程中机械能守恒，设挑战者入水时的速度大小为v ′，则mgh ＋12m v 2＝1
2m v ′2
解得：v ′＝3gr
答案 (1)5R 2 (2)52mgR －9
4
mgr (3)3gr
16、如图所示，ABC 和DEF 是在同一竖直平面内的
两条光滑轨道，其中ABC 的末端水平，DEF 是半径为r ＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF 沿竖直方向，C 、D 可看做重合的点． 现有一可视为质点的小球从轨道ABC 上距C 点高为H 的地方由 静止释放．(g 取10 m/s 2)
(1)若要使小球经C 处水平进入轨道DEF 且能沿轨道运动，H 至少多高？
(2)若小球静止释放处离C 点的高度h 小于(1)中H 的最小值，小球可击中与圆心等高的E 点，求h .
答案 (1)0.2 m (2)0.1 m
解析 (1)小球沿ABC 轨道下滑，机械能守恒，设到达C 点时的速度大小为v ，则 mgH ＝12
m v 2
① 小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg ≤m v 2
r
②
①②两式联立并代入数据得H ≥0.2 m.
(2)若h gt 2 ③ 水平方向上有r ＝v x t ④ 又由机械能守恒定律有 mgh ＝12 m v 2x ⑤ 由③④⑤联立可解得 h ＝r 4 ＝0.1 m 17、(2012·浙江理综·18)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB 段和BC 段是半径为R 的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m 的小球，从距离水平地面高为H 的管口D 处由静止释放，最后能够从A 端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( ) A ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为2RH －2R 2 B ．小球落到地面时相对于A 点的水平位移值为22RH －4R 2 C ．小球能从细管A 端水平抛出的条件是H >2R D ．小球能从细管A 端水平抛出的最小高度H min ＝5 2R 答案 BC 解析 要使小球从A 点水平抛出，则小球到达A 点时的速度v >0，根据机械能守恒定律，有mgH －mg ·2R ＝12m v 2，所以H >2R ，故选项C 正确，选项D 错误；小球从A 点水平抛 出时的速度v ＝2gH －4gR ，小球离开A 点后做平抛运动，则有2R ＝1 2gt 2，水平位移x ＝v t ，联立以上各式可得水平位移x ＝22RH －4R 2，选项A 错误，选项B 正确． 18、如图所示是全球最高的(高度为208米)北京朝阳公园摩天轮， 一质量为m 的乘客坐在摩天轮中以速率v 在竖直平面内做半径 为R 的匀速圆周运动，假设t ＝0时刻乘客在最低点且重力势能 为零，那么，下列说法正确的是 ( ) A ．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为E p ＝mgR (1－cos v R t ) B ．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为m v 2 R －mg C ．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E ＝1 2 m v 2 D ．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为 E ＝1 2m v 2＋mgR (1－cos v R t ) 答案 AD 解析 在最高点，根据牛顿第二定律可得，mg －F N ＝m v 2 R ，乘客受到座位的支持力为F N ＝mg －m v 2 R ，B 项错误；由于乘客在竖直平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势 能发生变化，所以乘客在运动的过程中机械能不守恒，C 项错误；在时间t 内转过的弧度为v R t ，所以对应t 时刻的重力势能为E p ＝mgR (1－cos v R t )，总的机械能为E ＝E k ＋E p ＝1 2m v 2＋mgR (1－cos v R t )，A 、D 项正确． 19、光滑曲面轨道置于高度为H ＝1.8 m 的平台上，其末端切线 水平；另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间， 构成倾角为θ＝37°的斜面，如图所示．一个可视做质点 的质量为m ＝1 kg 的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑 图14 (不计空气阻力，g 取10 m/s 2，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8) (1)若小球从高h 0＝0.2 m 处下滑，则小球离开平台时速度v 0的大小是多少？ (2)若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度h 1为多大？ (3)试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高度h 的关系表达式，并在图15中作出E k －h 图象． 答案 (1)2 m/s (2)0.8 m (3)E k ＝32.5h 图象见解析图 解析 (1)小球从曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律知： mgh 0＝12 m v 20 ① 得v 0＝2gh 0＝2×10×0.2 m /s ＝2 m/s (2)小球离开平台后做平抛运动，小球正好落在木板的末端，则 H ＝12 gt 2 ② H tan θ＝v 1 t ③ 联立②③两式得：v 1＝4 m/s 又mgh 1＝1 2 m v 21 得h 1＝v 21 2g ＝0.8 m (3)由机械能守恒定律可得：mgh ＝1 2 m v 2 小球离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则： y ＝12 gt 2 ④ x ＝v t ⑤ tan 37°＝y x ⑥ v y ＝gt ⑦ v 2合＝v 2＋v 2y ⑧ E k ＝12m v 2合 ⑨ mgh ＝12 m v 2 ⑩ 由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：E k ＝32.5h 考虑到当h >0.8 m 时小球不会落到斜面上，其图象如图所示． 20、(2012·大纲全国·26)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的 一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖 直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所 示，以沟底的O 点为原点建立坐标系xOy .已知，山沟竖直 一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y ＝1 2h x 2；探险队员 图12 的质量为m .人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g . (1)求此人落到坡面时的动能； (2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？ 答案 (1)12m (v 2 ＋4g 2h 2v 20＋gh ) (2)gh 32mgh 解析 (1)设该队员在空中运动的时间为t ，在坡面上落点的横坐标为x ，纵坐标为y .由运动学公式和已知条件得 x ＝v 0t ① 2h －y ＝1 2gt 2 ② 根据题意有 y ＝x 22h ③ 根据机械能守恒，此人落到坡面时的动能为 12m v 2＝12m v 20＋mg (2h －y ) ④ 联立①②③④式得 12m v 2＝12m (v 20＋4g 2h 2v 20＋gh ) ⑤ (2)⑤式可以改写为 v 2＝(v 20＋gh － 2gh v 2 0＋gh )2＋3gh ⑥ v 2取极小值的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得 v 0＝gh 此时v 2＝3gh ，则最小动能为 (12m v 2)min ＝3 2mgh . 21、如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M 是半径 为R ＝1.0 m 的固定在竖直平面内的1 4光滑圆弧轨道，轨道上端切 线水平．N 为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半 径r ＝0.69 m 的1 4 圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M 轨道的上端点．M 的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量为m ＝0.01 kg 的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M 的上端点，水平飞出后落到曲面N 的某一点上，取g ＝10 m/s 2.问： (1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能E p 多大？ (2)钢珠落到圆弧N 上时的动能E k 多大？(结果保留两位有效数字) 答案 (1)1.5×10－ 1 J (2)8.0×10－ 2 J 解析 (1)设钢珠运动到轨道M 最高点的速度为v ，在M 的最低点的速度为v 0，则在最高点，由题意得mg ＝m v 2 R 从最低点到最高点，由机械能守恒定律得： 12m v 20＝mgR ＋12 m v 2 解得：v 0＝3gR 由机械能守恒定律得： E p ＝12m v 20＝32 mgR ＝1.5×10－1 J. (2)钢珠从最高点飞出后，做平抛运动，x ＝v t ，y ＝12gt 2 由几何关系知x 2＋y 2＝r 2，联立解得t 2＝3 50 s 2 所以，钢珠从最高点飞出后落到圆弧N 上下落的高度为y ＝0.3 m 由机械能守恒定律得，钢珠落到圆弧N 上时的动能E k 为 E k ＝12 m v 2＋mgy ＝8.0×10－ 2 J 22、如图甲所示，圆形玻璃平板半径为r ，离水平地面的高度为h ，一质量为m 的小木块放 置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O 在水平面内做匀速圆周运动． (1)若匀速圆周运动的周期为T ，求木块的线速度和所受摩擦力的大小； (2)缓慢增大玻璃板的转速，最后木块沿玻璃板边缘的切线方向水平飞出，落地点与通过圆心O 的竖直线间的距离为s ，俯视图如图乙．不计空气阻力，重力加速度为g ，试求木块落地前瞬间的动能E k t . 答案 (1)2πr T m (2πT )2 r (2)mg (s 2－r 24h ＋h ) 解析 (1)根据匀速圆周运动的规律可得木块的线速度大小为：v ＝2πr T 木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有 F f ＝m (2πT )2r (2)木块脱离玻璃板后在竖直方向上做自由落体运动，有 h ＝12 gt 2 在水平方向上做匀速直线运动，水平位移 x ＝v t x 与距离s 、半径r 的关系为s 2＝r 2＋x 2 木块从抛出到落地前机械能守恒，得 E k t ＝1 2 m v 2＋mgh 由以上各式解得木块落地前瞬间的动能 E k t ＝mg (s 2－r 2 4h ＋h ) “重力势能和机械能守恒定律”的典型例题 【例1】如图所示，桌面距地面0.8m,一物 体质量为２kg,放在距桌面0．4ｍ的支架上． （1)以地面为零势能位置，计算物体具有的 势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中, 势能减少多少? (２）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能,并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少? 【分析】根据物体相对零势能位置的高度,直接应用公式计算即得． 【解】（1)以地面为零势能位置,物体的高 度h１＝１．2m，因而物体的重力势能： Ｅp1＝ｍｇh1=2×９.8×1．２J＝23．52Ｊ 物体落至桌面时重力势能: E p2=mgh２=２×9．８×０．8J=１5.6８J 物体重力势能的减少量: △E p=E p１-Ｅｐ2=23．52J-15．68Ｊ＝7．8４J 而物体的重力势能: 物体落至桌面时，重力势能的减少量 【说明】通过上面的计算，可以看出,物体的重力势能的大小是相对的，其数值 与零势能位置的选择有．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能位置的选择无关,其变化值是与重力对物体做功的多少有关.当物体从支架落到桌面时重力做功: 【例２】质量为2kg的物体自高为100ｍ处以5ｍ／s的速度竖直落下,不计空气 阻力，下落2s，物体动能增加多少？重力势能减少多少？以地面为重力势能零位置,此时物体的机械能为多少?(ｇ取1０m／s2） 【分析】物体下落时,只受重力作用，其加速度a=ｇ,由运动学公式算出２ｓ末的速度和2ｓ内下落高度，即可由定义式算出动能和势能． 【解】物体下落至2s末时的速度为： 2ｓ内物体增加的动能: 2s内下落的高度为： 一、单个物体的机械能守恒 判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。 物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。 所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。（2）固定的光滑斜面类。（3）固定的光滑圆弧类。（4）悬点固定的摆动类。 （1）阻力不计的抛体类 包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。 例：在高为h 的空中以初速度v 0抛也一物体，不计空气阻力，求物体落地 时的速度大小？ 分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等 2202 121t mv mv mgh =+ 得：gh v v t 220+= （2）固定的光滑斜面类 在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。 例，以初速度v 0 冲上倾角为光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少？ 分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等 θsin 2120?==mgs mgh mv 得：θ sin 220g v s = （3）固定的光滑圆弧类 在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。 例：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为R ，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动？ 分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等 2202 1221t mv R mg mv += 要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为： Rg v t = 所以 gR v 50= （4）悬点固定的摆动类 和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。因此只有重力做功，物体的机械能守恒。 例：如图，小球的质量为m ，悬线的长为L ，把小球拉开使悬线和竖直方向的夹角为，然后从静止释放， 第4章 功和能 机械能守恒定律习题 4-5 如图所示，A 球的质量为m ，以速度 v 飞行，与一静止的球B 碰撞后，A 球 的速度变为1 v ，其方向与 v 方向成90°角。B 球的质量为5m ，它被碰撞后以速 度2 v 飞行，2 v 的方向与 v 间夹角为arcsin(35)θ=。求： （1）两球相碰后速度1 v 、2 v 的大小； （2）碰撞前后两小球动能的变化。 解：（1）由动量守恒定律 12A A B m v m v m v =+ 即 12 12255c o s 5s i n m v i m v j m v m v j m v i m v j θθ=-+=-++ 于是得 2125cos 5sin mv mv mv mv θθ=??=? 21215cos 4335sin 5454v v v v v v v θθ= ====??= （2）A 球动能的变化 222 221111317()2224232 kA E mv mv m v mv mv ?=-=-=- B 球动能的变化 2222111505()22432 kB B E m v m v mv ?=-=?= 碰撞过程动能的变化 2222 12111222232 k B E mv m v mv mv ?=+-=- 或如图所示，A 球的质量为m ，以速度u 飞行，与一静止的小球B 碰撞后，A 球的速度变为1v 其方向与u 方向成090，B 球的质量为5m ，它被撞后以速度2v 飞行，2v 的方向与u 成θ (5 3arcsin =θ)角。求： (1)求两小球相撞后速度12υυ、的大小； (2)求碰撞前后两小球动能的变化。 解 取A 球和B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得 水平： 25cos mu m υθ= （1） 垂直： 2105sin m m υθυ=- （2） 联解（1）、（2）式，可得两小球相撞后速度大小分别为 134 u υ= 214u υ= 碰撞前后两小球动能的变化为 22232 7214321mu mu u m E KA -=-??? ??=? 22 32504521mu u m E KB =-?? ? ????=? 4- 6在半径为R 的光滑球面的顶点处，一物体由静止开始下滑，则物体与顶点的高度差h 为多大时，开始脱离球面？ 解：根据牛顿第二定律 2 2c o s c o s v m g N m R v N m g m R θθ-==- 物体脱离球面的条件是N=0，即 2 c o s 0v m g m R θ-= 由能量守恒 图 机械能及其守恒定律 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 关于摩擦力做功，下列说法中正确的是（ ） A. 静摩擦力一定不做功 B. 滑动摩擦力一定做负功 C. 静摩擦力和滑动摩擦力都可做正功 D. 相互作用的一对静摩擦力做功的代数和可能不为0 2．一个人站在高出地面h 处，抛出一个质量为m 的物体．物体落地时的速率为v ，不计空气阻力，则人对物体所做的功为（ ） A ．mgh B ．mgh ／2 C ． 2 1mv 2 D ． 2 1mv 2 －mgh 3．从同一高度以相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地（ ） ①运行的时间相等 ②加速度相同 ③落地时的速度相同 ④落地时的动能相等 以上说法正确的是 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 4．水平面上甲、乙两物体，在某时刻动能相同，它们仅在摩擦力作用下停下来．图7－1中的a 、b 分别表示甲、乙两物体的动能E 和位移s 的图象，则（ ） 图7－1 ①若甲、乙两物体与水平面动摩擦因数相同，则甲的质量较大 ②若甲、乙两物体与水平面动摩擦因数相同，则乙的质量较大 ③若甲、乙质量相同，则甲与地面间的动摩擦因数较大 ④若甲、乙质量相同，则乙与地面间的动摩擦因数较大 以上说法正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 5．当重力对物体做正功时，物体的( ) A ．重力势能一定增加，动能一定减小 B ．重力势能一定增加，动能一定增加 C ．重力势能一定减小，动能不一定增加 D ．重力势能不一定减小，动能一定增加 6．自由下落的小球，从接触竖直放置的轻弹簧开始，到压缩弹簧有最大形变的过程中，以下说法中正确的是（ ） A ．小球的动能逐渐减少 B ．小球的重力势能逐渐减少 C ．小球的机械能守恒 D ．小球的加速度逐渐增大 7．一个质量为m 的物体以a ＝2g 的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h 高度的过程中，物体的（ ） 机械能守恒定律练习题 一、选择题（每题6分，共36分） 1、下列说法正确的是：（选CD ） A 、物体机械能守恒时，一定只受重力和弹力的作用。（是只有重力和弹力做功） B 、物体处于平衡状态时机械能一定守恒。（吊车匀速提高物体） C 、在重力势能和动能的相互转化过程中，若物体除受重力外，还受到其他力作用时，物体的机械能也可能守恒。（受到一对平衡力） D 、物体的动能和重力势能之和增大，必定有重力以外的其他力对物体做功。 2、两个质量不同而动能相同的物体从地面开始竖直上抛(不计空气阻力)，当上升到同一高度时，它们(选C) A.所具有的重力势能相等（质量不等） B.所具有的动能相等 C.所具有的机械能相等（初始时刻机械能相等） D.所具有的机械能不等 3、一个原长为L 的轻质弹簧竖直悬挂着。今将一质量为m 的物体挂在弹簧的下端，用手托住物体将它缓慢放下，并使物体最终静止在平衡位置。在此过程中，系统的重力势能减少，而弹性势能增加，以下说法正确的是（选A ） A 、减少的重力势能大于增加的弹性势能（手对物体的支持力也有做功，根据合外力做功为0） B 、减少的重力势能等于增加的弹性势能 C 、减少的重力势能小于增加的弹性势能 D 、系统的机械能增加（动能不变，势能减小） 4、如图所示，桌面高度为h ，质量为m 的小球，从离桌面高H 处 自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到 地面前的瞬间的机械能应为（选B ） A 、mgh B 、mgH C 、mg （H +h ） D 、mg （H -h ） 6、质量为m 的子弹，以水平速度v 射入静止在光滑水平面上质量为M 的木块， 并留在其中，下列说法正确的是（选BD ） A.子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等（与木块和子弹的动能，还有热能） B.阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等（子弹的合外力是阻力） C.子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等 D.子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功（一部分转化成热能） 二、填空题（每题8分，共24分） 7、从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受到的空气阻力是它重 力的k 倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，则小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程为 H/k 。 8、如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为M 的小车，小车跟 绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m 的砖码， 则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为 在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________。 9、物体以100 k E J 的初动能从斜面底端沿斜面向上运动，当该物体经过斜面上某一点时，动能减少了80J ，机械能减少了32J ，则物体滑到斜面顶端时的机 一、单个物体的机械能守恒 判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。 物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。 所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。（2）固定的光滑斜面类。（3）固定的光滑圆弧类。（4）悬点固定的摆动类。 （1）阻力不计的抛体类 包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。 （ 例：在高为h 的空中以初速度v 0抛也一物体，不计空气阻力，求物体落地 时的速度大小 分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能 守恒，选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等 2202 121t mv mv mgh =+ 得：gh v v t 220+= （2）固定的光滑斜面类 在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。 例，以初速度v 0 冲上倾角为光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少 分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等 θsin 2120?==mgs mgh mv 得：θ sin 220g v s = $ （3）固定的光滑圆弧类 在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。 例：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为R ，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动 分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等 2202 1221t mv R mg mv += 要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为： Rg v t = 所以 gR v 50= （4）悬点固定的摆动类 [ 机械能守恒定律 一、教法建议 抛砖引玉 我们建议：本单元的数学采用下述的三个步骤顺序进行 第一步：通过演示实验使学生认识到机械能的转化与守恒是客观存在的。 演示的项目可以选用下列一些内容： ①将小球竖直上抛——让学生观察动能转化为重力势能的过程；当小球达到最高点后自由落下——让学生观察重力势能转化为动能的过程。 ②用细绳拴小球构成“单摆”，使单摆往复摆动——让学生观察摆球在竖直面内沿圆弧线摆动过程中重力势能与动能之间的交替转化。 ③旋动“麦克斯韦滚摆”——使学生观察“滚摆”的重力热能与动能之间的交替转化。在此过程中既有因滚摆重心上下变化的移动动能的变化，也有滚摆绕轴的转动动能的变化，可以开阔学生的眼界，提高学生的兴趣，但不必对其中的转动动能作定量讲述。（注：在很多中学的物理实验室中都有“麦克斯韦滚摆”这种数学仪器。如果没有，借一成品进行仿制也不很困难。） ④拨动“弹簧振子”——使学生观察弹性势能与动能之间的相互转化。不必对弹性势能作定量的讲述。 作这些演示实验的目的是为了使学生认识到：“机械能守恒定律”是在科学实验的基础上总结出来的，是客观存在的，并不是单纯依靠数理推导得出的。 第二步：在“功能原理”的基础上，推导出“机械能守恒定律”的数学表达形式，并说明此定律成立的条件。 在本章第二单元中，我们导出“功能原理“最简单的数学表达形式： W F =ΔE 在此基础上，我们就可以导出下面的“机械能守恒定律”的最简单的数学表达形式： 当W F =0时——定律的条件 则ΔE=0——定律的结论 这种表达形式虽然简单，但是不便于应用，因此我们可以再写出本章第二单元中导出的“功能原理”的展开形式： ?? ? ??+-??? ??+=-02022121mgh mv mgh mv fs Fs i i 将W F =Fs-fs 代入上式可得： ?? ? ??+-??? ??+=02022121mgh mv mgh mv W i i F 在此基础上，我们就可以导出“机械能守恒定律”的展开形式： 当W F =0时——定律的条件 则 02022 121mgh mv mgh mv t i +=+ （注：关于W F =0的物理意义，我们将在后面“指点迷津”中作专题说明。） 第三步：通过例题和习题，使学生更深入具体地理解定律的物理意义，并能正确灵活地用于解答有关的物理问题。 我们将在后面的“学海导航”中讲述少量的例题，并在“智能显示”中提供大量的习题。请同学们不要先看答案，而应独立思考，求解以后再进行核对，并从中总结出思维方法来。 指点迷津 1．W F =0的物理意义是什么？在W F 中包括什么？不包括什么？ 首先说明：这个论题有些超过了课本中讲述的内容，但是对于物理基础较好的学生是很有益处的，可以提高他们的理解能力；对于物理基础较差的学生也可作尝试性阅读，若感觉困难，可以不学。 在本章第二单元的推导过程和专题论述中，同学们已经知道：“功能原理”中的W F 是不包含重力做功W G 的。因此W F =0的意义就有下列两种说法（注意：说法虽不同，但本质相同）： 机械能守恒定律 一、选择题 1.某人用同样的水平力沿光滑水平面和粗糙水平面推动一辆相同的小车，都使它移动相同的距离。两种情况下推力做功分别为W1和W2，小车最终获得的能量分别为E1和E2，则下列关系中正确的是（）。 A、W1=W2，E1=E2 B、W1≠W2，E1≠E2 C、W1=W2，E1≠E2 D、W1≠W2，E1=E2 2．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是() A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况 D．三种情况中，物体的机械能均增加 3．从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H.设上升过程中空气阻力F阻恒定．则对于小球的整个上升过程，下列说法中错误的是() A．小球动能减少了mgH B．小球机械能减少了F阻H C．小球重力势能增加了mgH D．小球的加速度大于重力加速度g 4．如图所示，一轻弹簧的左端固定，右端与一小球相连，小球处于光滑水平面上．现对小球施加一个方向水平向右的恒力F，使小球从静止开始运动，则小球在向右运动的整个过程中() A．小球和弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增加 C．小球的动能逐渐增大 D．小球的动能先增大后减小 二、计算题 1.如图所示，ABCD是一条长轨道，其AB段是倾角为的斜面，CD段是水平的，BC是与AB和CD相切的一小段弧，其长度可以略去不计。一质量为m的物体在A点从静止释放，沿轨道滑下，最后停在D点，现用一沿轨道方向的力推物体，使它缓慢地由D点回到A点，设物体与轨道的动摩擦因数为，A点到CD间的竖直高度为h，CD（或BD）间的距离为s，求推力对物体做的功W为多少 2.一根长为L的细绳，一端拴在水平轴O上，另一端有一个质量为m的小球.现使细绳位于 水平位置并且绷紧，如下图所示.给小球一个瞬间的作用，使它得到一定的向下的初速度. (1)这个初速度至少多大，才能使小球绕O点在竖直面内做圆周运动 (2)如果在轴O的正上方A点钉一个钉子，已知AO=2/3L，小球以上一问中的最小速度开始运动，当它运动到O点的正上方，细绳刚接触到钉子时，绳子的拉力多大 3．如图所示，某滑板爱好者在离地h=1.8m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地 图5-3-1 图5-4-4 机械能守恒定律计算题（期末复习） 1．如图5-1-8所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F 开始提升原来静止的质量为m ＝10kg 的物体，以大小为a ＝2m ／s 2 的加速度匀加速上升，求头3s 内力F 做的功.(取g ＝10m ／s 2 ) 2.汽车质量5t ，额定功率为60kW ，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的0.1倍，： 求：（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s 2 的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 3.质量是2kg 的物体，受到24N 竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5s ；求： ①5s 内拉力的平均功率 ②5s 末拉力的瞬时功率（g 取10m/s 2 ） 4.一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ． 5.如图5-3-2所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止.求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功. 6. 如图5-4-4所示，两个底面积都是S 的圆桶， 用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平地面上，两桶内装有密度为ρ的同种液体，阀门关闭时两桶液面的高度分别为h 1和h 2，现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过程中重力做了多少功？ 7.如图5-4-2使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点B 上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A ？ 图5-2-5 图5-3-2 图5-1-8 《机械能守恒定律》单元测试题 一、选择题。（本大题共有12小题，每小题4分，共48分。其中，1~8题为单选题，9~12题为多选题） 1、下列说法正确的是（ ） A 、一对相互作用力做功之和一定为零 B 、作用力做正功，反作用力一定做负功 C 、一对平衡力做功之和一定为零 D 、一对摩擦力做功之和一定为负值 2、如图所示，一块木板可绕过O 点的光滑水平轴在竖直平面内转动，木板上放有一木块， 木板右端受到竖直向上的作用力F ，从图中实线位置缓慢转动到虚线位置，木块相对木板不发生滑动．则在此过程中（ ） A ．木板对木块的支持力不做功 B ．木板对木块的摩擦力做负功 C ．木板对木块的摩擦力不做功 D ．F 对木板所做的功等于木板重力势能的增加 3、三个质量相同的物体以相同大小的初速度v 0在同一水平面上分别进行竖直上抛、沿光滑斜面上滑和斜上抛．若不计空气阻力，它们所能达到的最大高度分别用H 1、H 2和H 3表示，则( ) A ．H 1＝H 2＝H 3 B ．H 1＝H 2＞H 3 C ．H 1＞H 2＞H 3 D ．H 1＞H 2＝H 3 4、如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半径为R ，当拉力逐渐减小到F 4时，物体仍做匀速圆周运动，半径 为2R ，则外力对物体所做功的绝对值是( )． A.FR 4 B. 3FR 4 C.5FR 2 D ．0 5、质量为m 的物体，从静止出发以g /2的加速度竖直下降h ，下列几种说法正确的是( ) ①物体的机械能增加了 21mg h ②物体的动能增加了2 1 mg h ③物体的机械能减少了2 1 mg h ④物体的重力势能减少了mg h A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④ 6、如图所示，重10 N 的滑块在倾角为30°的斜面上，从a 点由静止下滑，到b 点接触到一个轻弹簧。滑块压缩弹簧到c 点开始弹回，返回b 点离开弹簧，最后又回到a 点，已知ab ＝0.8m ，bc ＝0.4m ，那么在整个过程中叙述不正确的是( ) A ．滑块动能的最大值是6 J B ．弹簧弹性势能的最大值是6 J C ．从c 到b 弹簧的弹力对滑块做的功是6 J D ．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒 机械能守恒定律计算题（期末复习） 1 ?如图5-1-8所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力 F 开始提升原来 静止的质量为vm= 10kg 的物体，以大小为a = 2m ）/s2的加速度匀加速上升， 求 头3s 力F 做的功.（取g = 10m /s2） 2. 汽车质量5t ，额定功率为60kW 当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的 0.1 倍，: 求：（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（ 2）若汽车从静止开始, 保持以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 3. 质量是2kg 的物体，受到 24N 竖直向上的拉力，由静止开始运动，经 过5s ;求： ① 5s 拉力的平均功率 ② 5s 末拉力的瞬时功率（g 取10m/s2） mg 图 5-2-5 L F * 1 t 4. 一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行 段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S,如图5-3-1， 不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦 因数相同?求动摩擦因数卩. 图5-3- 1 5.如图5-3-2所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m, BC是水平轨道，长S=3m BC处的摩擦系数为卩=1/15，今有质 量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体 在轨道AB段所受的阻力对物体做的功? 图5-3-2 4. 一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行 6.如图5-4-4所示，两个底面积都是S的圆桶， 用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平地面上， 两桶装有密度为P的同种液体，阀门关闭时两桶液面的高度分别为 h1和h2,现将连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为 相同高度的过程中重力做了多少功？ 图5-4-4 2021届高三物理一轮复习力学功和能机械能守恒定律功能关系专题练习一、填空题 1．在雅典奥运会上，我国举重运动员取得了骄人的战绩．在运动员举起杠铃过程中，是___________能转化为杠铃的___________能． 2．如图所示，某兴趣小组希望通过实验求得连续碰撞中的机械能损失，做法如下：在光滑水平面上，依次有质量为m，2m，3m……10m的10个小球，排列成一直线，彼此间有一定的距离，开始时后面的九个小球是静止的，第一个小球以初速度v0向着第二个小球碰去，结果它们先后全部粘合到一起向前运动．求全过程中系统损失的机械能为__________， 3．一小物体以100J的初动能滑上斜面,当动能减少80J时,机械能减少32J,则当物体滑回原出发点时动能为__________ J 4．在某一高度用细绳提着一质量m=0.2kg的物体，由静止开始沿竖直方向运动过程中物体的机械能与位移关系的E，x图象如图所示，图中两段图线都是直线．取g=10m/s2，物体在0，6m过程中，速度一直_______（增加、不变、减小）；物体在x=4m时的速度大小为________， 5．重为20N的物体从某一高度自由落下，在下落过程中所受的空气阻力为2N，则物体在下落1m的过程中，物体的重力势能减少了________，克服阻力做功________，物体动能增加了_________， 6．如图所示，一个质量为m的小球用细线悬挂于O点，用手拿着一根光滑的轻质细杆靠着线的左侧水平向右以速度v匀速移动了距离L，运动中始终保持悬线竖直，这个过程中小球的速度为是_________，手对轻杆做的功为是_________. 7．一只排球在A点被竖直抛出，此时动能为20 J，上升到最大高度后，又回到A点，动能变为12 J，假设排球在整个运动过程中受到的阻力大小恒定，A点为零势能点，则在整个运动过程中，排球的动能变为10 J 时，其重力势能的可能值为________，_________， 8．如图所示，水平传送带的运行速率为v，将质量为m的物体轻放到传送带的一端，物体随传送带运动到另一端。若传送带足够长，则整个传送过程中，物体动能的增量为_________，由于摩擦产生的内能为 _________， 机械能守恒定律计算题（基础练习） 1．如图5-1-8所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10kg的物体，以大小为a＝2m／s2的加速度匀加速上升，求头3s内力F做的功.(取g＝10m／s2) 图5-1-8 2.汽车质量5t，额定功率为60kW，当汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重的0.1倍，： 求：（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 图5-3-1 3.质量是2kg 的物体，受到24N 竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5s ；求： ①5s 内拉力的平均功率 ②5s 末拉力的瞬时功率（g 取10m/s 2） 4.一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图5-3-1，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ． F mg 图5-2-5 h 1 h 2 图5-4-4 5.如图5-3-2所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止.求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功. 6. 如图5-4-4所示，两个底面积都是S 的圆桶， 用一根带阀门的很细的管子相连接，放在水平地面上，两桶内装有密度为ρ的同种液体，阀 门关闭时两桶液面的高度分别为h 1和h 2，现将 连接两桶的阀门打开，在两桶液面变为相同高度的过程中重力做了多少功？ 图5-3-2 机械能守恒定律一 1. 下列所述的实例中（均不计空气阻力），机械能守恒的是（） A.水平路面上汽车刹车的过程 B.投出的实心球在空中运动的过程 C.人乘电梯加速上升的过程 D.木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程 2. 将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，图象如图所示．以下判断正确的是（） A.前内货物处于失重状态 B.最后内货物处于失重状态 C.货物的总位移为 D.前内与最后内货物的平均速度相同 3. 下列关于功和能的说法正确的是（） A.作用力做正功，反作用力一定做负功 B.物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化 C.若物体除受重力外，还受到其他力作用时，物体的机械能也可能守恒 D.竖直向上运动的物体重力势能一定增加，动能一定减少 4. 一个人站在阳台上，以相同的速率分别把三个球竖直向下、竖直向上、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（） A.上抛球最大 B.下抛球最大 C.平抛球最大 D.一样大 5. 一个质量为的滑块以初速度沿光滑斜面向上滑行，重力加速度为，以斜面底端为参考平面，当滑块从斜面底端滑到高为的地方时，滑块的机械能为（） A. B. C. D. 6. 把、两小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是（） A.两小球落地时速度相同 B.两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C.从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同 D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 7. 下列叙述中正确的是（） A.物体所受的合外力为零时，物体的机械能守恒 B.物体只受重力、弹力作用，物体的机械能守恒 C.在物体系内，只有重力、弹力做功，物体系机械能守恒 D.对一个物体系，它所受外力中，只有弹力做功，物体系机械 能守恒 8. 图示为儿童蹦极的照片，儿童绑上安全带，在两根弹性绳的 牵引下上下运动。在儿童从最高点下降到最低点的过程中（） A.重力对儿童做负功 B.合力对儿童做正功 C.儿童的机械能守恒 D.绳的弹性势能增大 9. 下列遵守机械能守恒定律的运动是（） A.平抛物体的运动 B.雨滴匀速下落 C.物体沿斜面匀速下滑 D.竖直平面内匀速运动的物体 10. 如图所示，斜坡式自动扶梯将质量为的小华从地面送 到高的二楼，取，在此过程中小华的（） A.重力做功为，重力势能增加了 B.重力做功为，重力势能增加了 C.重力做功为，重力势能减小了 D.重力做功为，重力势能减小了 11. 在下列所述实例中，若不计空气阻力，机械能守恒的是（） A.抛出的铅球在空中运动的过程 B.木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程 C.汽车在关闭发动机后自由滑行的过程 D.电梯加速上升的过程 12. 如图所示，踢毽子是一项深受大众喜爱的健身运动项目。 在某次踢毽子的过程中，毽子离开脚后，恰好沿竖直方向向上 运动，毽子在运动过程中受到的空气阻力不可忽略。毽子在上 升的过程中，下列说法正确的是（） 机械能守恒定律专题练习 姓名：分数： 专项练习题 第一类问题：双物体系统的机械能守恒问题 例1. （2007·江苏南京）如图所示，A物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量，B 物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取） （例1）（例2） 例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？ 第二类问题：单一物体的机械能守恒问题 例3. （2005年北京卷）是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求： （1）小球运动到B点时的动能； （2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向； （3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。 例4. （2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求： （1）小球落地点到O点的水平距离； （2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？ 第三类问题：机械能守恒与圆周运动的综合问题 例5. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l，最大偏角 为，小球运动到最低位置时的速度是多大？ （例5）（例6） 例6. （2005·沙市）如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在天花板上的O 点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，当质量为m的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B，小球开始以B为圆心做圆周运动，恰能过B点正上方C，求OB的距离。 例7. （2005年广东）如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，一质量m=0.10kg的小球，以初速度在水平地面上向左做加速度的匀减速直线运动，运动后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距离（） （例7）（例8） 例8. （2006年全国II）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D 第 4 章功和能机械能守恒定律习题 第4章功和能机械能守恒定律习题 4-5如图所示， A 球的质量为m,以速度v飞行，与一静止的球B碰撞后，A球的速度变为V1，其方向与v方向成90°角。B球的质量为5m，它被碰撞后以速度V.2飞行，V2的方向与v间夹角为arcsin(3.；5)。求： (i)两球相碰后速度V i、V2的大小； (2)碰撞前后两小球动能的变化 v v 1 v? ------------------- v 5cos 5“ sin2 4 v 3 3 v-i 5v2 sin 5 v 4 5 4 2A球动能的变化 解: 于是得 mv 5mv? cos mq 5mv2si n (1)由动量守恒定律 5mv2cos 5mv2sin B 球动能的变化 2 1 1 2 5 2 E kB m B v ； 0 5m(—v)2 mv 2 2 2 4 32 碰撞过程动能的变化 或如图所示，A 球的质量为m ，以速度u 飞行，与一静止的小球 度变为W 其方向与u 方向成900，B 球的质量为5m ，它被撞后以速度 V 2飞行，v 2的方向 3 arcs in )角。求: 5 （1）求两小球相撞后速度 「 2的大小; 碰撞前后两小球动能的变化为 1 3u 2 1 2 7 2 E KA m — mu mu KA 2 4 2 32 2 L 1厂 u 5 2 E KB 5m — 0 -- mu 2 4 32 4- 6在半径为R 的光滑球面的顶点处，一物体由静止开始下滑，则物体与顶点 的高度差h 为多大时，开始脱离球面？ 解：根据牛顿第二定律 1m(3v)2 2 4 2 mv 2 2 mv 32 1 2 2 1 2 二 mv -m B v 2 mv 2 2 2 2 2 mv 32 B 碰撞后，A 球的速 水平： mu 5m 2 cos （1） 垂直： 0 5m 2sin m j （2） 联解（1） 、（2 ）式，可得两小球相撞后速度大小分 别为 3u 1 4 1 2 4u A c r V] k （2）求碰撞前后两小球动能的变化。 解取A 球和B 球为一系统，其碰撞过程中无外力作用，由动量守恒定律得 图 机械能守恒定律典型题分类 一、单个物体的机械能守恒 判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。 所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。（2）固定的光滑斜面类。（3）固定的光滑圆弧类。（4）悬点固定的摆动类。 （1）阻力不计的抛体类 包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。 （2）固定的光滑斜面类 在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。 （3）固定的光滑圆弧类 在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。 （4）悬点固定的摆动类 和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。因此只有重力做功，物体的机械能守恒。 作题方法： 一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。 注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。 习题： 1、三个质量相同的小球悬挂在三根长度不等的细线上，分别把悬线拉至水平位置后轻轻释放小球，已知线长L a>L b>L c，则悬线摆至竖直位置时，细线中张力大小的关系是（） A T c>T b>T a B T a>T b>T c C T b>T c>T a D T a=T b=T c 4、一质量m = 2千克的小球从光滑斜面上高h = 3.5米高处由静止滑下斜面底端紧接着一个半径R = 1m的 光滑圆环（如图）求： （1）小球滑至圆环顶点时对环的压力； （2）小球至少要从多高处静止滑下才能越过圆环最高点； （3）小球从h0 = 2米处静止滑下时将在何处脱离圆环（g =9.8米/秒2）。 二、系统的机械能守恒 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面 （1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。 （2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。 系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能 系统间的相互作用力分为三类： 一、第八章 机械能守恒定律易错题培优（难） 1．如图所示，质量为1kg 的物块（可视为质点），由A 点以6m/s 的速度滑上正沿逆时针 转动的水平传送带（不计两转轮半径的大小），传送带上A 、B 两点间的距离为8m ，已知传送带的速度大小为3m/s ，物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为 210m/s 。下列说法正确的是（ ） A ．物块在传送带上运动的时间为2s B ．物块在传送带上运动的时间为4s C ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量为16J D ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量为28J 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB ．滑块先向右匀减速，根据牛顿第二定律有 mg ma μ= 解得 22m/s a g μ== 根据运动学公式有 010v at =- 解得 13s t = 匀减速运动的位移 0106 3m 9m 8m 22 v x t L += =?==> 物体向左匀加速过程，加速度大小仍为22m/s a =，根据运动学公式得物体速度增大至2m/s v =时通过的位移 2212m 1m 222 v x a ===? 用时 22 s 1s 2 v t a = == 向左运动时最后3m 做匀速直线运动，有 233 = s 1s 3 x t v == 即滑块在传送带上运动的总时间为 1234s t t t t =++= 物块滑离传送带时的速率为2m/s 。 选项A 错误，B 正确； C ．向右减速过程和向左加速过程中，摩擦力为恒力，故摩擦力做功为 110.211041J 6J f W f x x mg x x μ=--=--=-???-=-（）()() 选项C 错误； D ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量等于滑块与传送带之间的一对摩擦力做功的代数和，等于摩擦力与相对路程的乘积；物体向右减速过程，传送带向左移动的距离为 114m l vt == 物体向左加速过程，传送带运动距离为 222m l vt == 即 121[]Q fS mg l x l x μ==++-（）（） 代入数据解得 28J Q = 选项D 正确。 故选BD 。 2．如图所示，竖直墙上固定有光滑的小滑轮D ，质量相等的物体A 和B 用轻弹簧连接，物体B 放在地面上，用一根不可伸长的轻绳一端与物体A 连接，另一端跨过定滑轮与小环C 连接，小环C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆，小环C 位于位置R 时，绳与细杆的夹角为θ，此时物体B 与地面刚好无压力。图中SD 水平，位置R 和Q 关于S 对称。现让小环从R 处由静止释放，环下落过程中绳始终处于拉直状态，且环到达Q 时速度最大。下列关于小环C 下落过程中的描述正确的是（ ） A ．小环C 、物体A 和轻弹簧组成的系统机械能不守恒 B ．小环 C 下落到位置S 时，小环C 的机械能一定最大 C ．小环C 从位置R 运动到位置Q 的过程中，弹簧的弹性势能一定先减小后增大重力势能和机械能守恒定律的典型例题
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