2017年数学中考专题《存在性问题》

2017年数学中考专题《存在性问题》

题型概述

【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验.

【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.

(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法.

(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断.

真题精讲

类型一 代数方面的存在性问题

典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2

y x bx c =++过

,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上.

(1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由;

(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标.

【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力.

【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在.

第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)，

,90

OA OC AOC

=∠=?

Q，

45

OCA OAC

∴∠=∠=?.

1

90

ACP

∠=?

Q,

11

904545

MCP CPM

∴∠=?-?=?=∠.

1

MC MP

∴=.

由(1)可得抛物线为223

y x x

=--.

设2

1

(,23)

P m m m

--，则2

3(23)

m m m

=----，

解得

1

m=(舍去)，

2

1

m=.

2234

m m

∴--=-.

则

1

P的坐标是(1，－4).

第二种情况，当以A为直角顶点时，过点A作2

AP AC

⊥,交抛物线于点

2

P，过点

2

P作

y轴的垂线，垂足是

2

,N AP交y轴于点F.如图(2)

2

//

P N x

∴轴.

由45

CAO

∠=?,

2

45

OAP

∴∠=?.

2

45,3

FP N AO OF

∴∠=?==.

2

P N NF

∴=.

设2

1

(,23)

P n n n

--，则2

(23)3

n n n

-=---.

解得

1

3

n=(舍去),

2

2

n=-.

2235n n ∴--=,

则2P 的坐标是(－2,5).

综上所述，P 的坐标是(1,－4)或(－2,5).

(3)连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD EF =.

根据垂线段最短，可得当OD AC ⊥时，OD 最短，即EF 最短.由(1)可知，在Rt AOC ?中，

3,OC OA OD AC ==⊥Q ， D ∴是AC 的中点. 又//DF OC ,

13

22

DF OC ∴==.

∴点P 的纵坐标是3

2-.

则2

3232

x x --=-，

解得210

x ±=

. ∴当EF 最短时，点P 的坐标是2103(

,)22+-或2103

(,)22

--.

1. (2015·山东烟台)如图，点(,6),(,1)A m B n 在反比例函数图象上，AD x ⊥轴于点

,D BC x ⊥轴于点,5C DC =.

(1)求,m n 的值并写出反比例函数的解析式; (2)连接AB ，在线段DC 上是否存在一点E ，

使ABE ?的面积等于5?若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.

2. (2016·湖南张家界)已知抛物线2

(1)3(0)y a x a =--≠的图象与y 轴交于点(0,2)A -，顶点为B .

(1)试确定a 的值，并写出B 点的坐标;

(2)若一次函数的图象经过,A B 两点，试写出一次函数的解析式; (3)试在x 轴上求一点P ，使得PAB ?的周长取最小值;

(4)若将抛物线平移(0)m m ≠个单位，所得新抛物线的顶点记作C ，与原抛物线的交点

记作D ，问:点,,O C D 能否在同一条直线上?若能，请求出m 的值;若不能，请说明理由.

【考情小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移，对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称—最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大. 类型二 点的存在性问题

典例2 (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，

抛物线211:242C y x x =-++与2

22:C u x mx n =-++为“友好抛物线”

(1)求抛物线2C 的解析式.

(2)点A 是抛物线2C 上在第一象限的动点，过A 作AQ x ⊥轴，Q 为垂足，求AQ OQ +的最大值.

(3)设抛物线2C 的顶点为C ，点B 的坐标为(－1,4)，问在2C 的对称轴上是否存在点

M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90?得到线段MB '，且点B '恰好落在抛物线2C 上?若

存在求出点M 的坐标，不存在说明理由.

【全解】(1)22

12422(1)4y x x x =-++=--+Q

∴抛物线1C 的顶点坐标为(1,4) Q 抛物线1C 与2C 顶点相同，

1,1412

m

m n -∴

=-++=-?. 解得2,3m n ==.

∴抛物线2C 的解析式为2

223u x x =-++.

(2)如图(1)所示:

设点A 的坐标为2

(,23)a a a -++.

223,AQ a a OQ a =-++=Q ，

222321

2333()24

AQ OQ a a a a a a ∴+=-+++=-++=--+.

∴当32a =时，AQ OQ +有最大值，最大值为21

4

.

(3)如图(2)所示;连接BC ，过点B '作B D CM '⊥，垂足为D .

(1,4),(1,4)B C -Q ，抛物线的对称轴为1x =,

,2BC CM BC ∴⊥=.

90BMB '∠=?Q ,

90BMC B MD '∴∠+∠=?

,B D MC '⊥Q

90MB D B MD ''∴∠+∠=?. MB D BMC '∴∠=∠. 在BCM ?和MDB '?中，

MB D BMC BCM MDB BM MB '∠=∠??

'∠=∠??'=?

, BCM MDB '∴???.

,BC MD CM B D '∴==.

设点M 的坐标为(1,)a .

则4,2B D CM a MD CB '==-==.

∴点B '的坐标为(3,2)a a --.

2(3)2(3)32a a a ∴--+-+=-.

整理，得2

7100a a --=. 解得2a =或5a =.

当2a =时，M 的坐标为(1,2)， 当5a =时，M 的坐标为(1,5).

综上所述当点M 的坐标为(1,2)或(1,5)时，B '恰好落在抛物线2C 上.

3. (2015·辽宁大连)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(2,)m m ，翻折矩形OABC ，使点A 与点C 重合，得到折痕DE .设点B 的对应点为F ，折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点,,C F D 的抛物线为2

y ax bx c =++.

(1)求点D 的坐标(用含m 的式子表示);

(2)若点G 的坐标为(0,－3)，求该抛物线的解析式; (3)在((2)的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ，

使1

2

PM EA =

?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由.

【考情小结】根据以上分析，我们可以归纳出存在性问题的解决策略:(1)直接求解法:存在性问题探索的结果有两种:一种是存在;另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法.(2)假设求解法:先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理，若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在;否则，假设不成立，结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更需要使用反证法.

参考答案

1.(1)由题意，得65m n m n =??

+=?,解得1

6m n =??=?

.

(1,6),(6,1)A B ∴ 设反比例函数解析式为k y x =

，将(1,6)A 代入得6k =，则反比例函数的解析式为6

y x

=. (2)存在，设(,0)E x ，则1,6DE x CE x =-=-,

AD x ⊥Q 轴，BC x ⊥轴，

90ADE BCE ∴∠=∠=?.

连接,AE BE ,

则111

()222

ABE ADE BCE ABCD S S S S BC AD DC DE AD CE BC ???=--=+?-?-?四边形 111

(16)5(1)(6)222x x =?+?--?6--?1

355

22

x =-=5

解得5x =，则E (5,0).

2. (1)1a = (1,3)B -

(2)设一次函数的解析式为y kx b =+,

将,A B 两点的坐标代入解析式求得1,2k b =-=-,所以2y x =--.

(3)A 点关于x 轴的对称点记作E ，则E (0,2), 连接EB 交x 轴于点P ，则P 点即为所求.

理由:在PAB ?中，AB 为定值，只需PA PB +取最小值即可，而PA PE =，从而只需

PE PB +取最小值即可，由于两点之间线段最短，所以PE PB EB +≤，所以,,E P B 三

点在同一条直线上时，取得最小值.

由于过,E B 点的一次函数解析式为52y x =-+, 故2(,0)5

P .

(4)设抛物线向右平移m (若0m >表示向右平移，若0m <表示向左平移)个单位，则所得新的抛物线的顶点(1,3)C m +-, 新抛物线解析式为2

(1)3y x m =---.

两抛物线的交点2

(1,3)24

m m D +-， 经过,O C 的一次函数解析式是3

1y x m

=-+. 若,,O C D 在同一直线上，

则有233(1)412

m m m -=-++, 化简整理，得3

2

60m m m +-=, 由于0m ≠, 所以2

60m m +-=. 解得2m =或3m =-.

故,,

O C D三点能够在同一直线上，此时2

m=或3

m=-.即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求.

3.(1)设D的坐标为(,)

x m，根据题意，得,

CD x OC m

==

因为//

CD EA,

所以CDE AED

∠=∠.

又因为AED CED

∠=∠.

所以CDE CED

∠=∠.

所以,2

CD CE EA x OE m x

====-,

在Rt COE

?中, 222

OC OE CE

+=，

222

(2)

m m x x

+-=，

解得

5

4

x m

=.

所以D的坐标为

5

(,)

4

m m.

(2)作DH垂直于x轴，由题意，得3

OG=.

53

2

44

OE OA EA m m m

=-=-=,

531

,

442

EH OH OE m m m DH m

=-=-==.

3

3

4

,,

1

2

m

OE OG

GOE DHE

HE HD m

m

??==

:.

所以2

m=.

所以此时D点坐标为

5

(,2)

2

，

55

,2,4 1.5

22

CD CF FD BD

====-=,

因为,2CD FI CF FD FI ?=?=?1.5÷2.5=1.2.

22222 1.2CI CF FI =-=-=1.6,

所以F 的坐标为(1.6,3.2)F .

抛物线为2

y ax bx c =++经过点,,C F D ，所以代入，得

226.25 2.521.6 1.6 3.2c a b c a b c ?=?

++=??++=?，解得2

562512

c a b ?

?=?

?=-?

?

?

=??. 所以抛物线解析式为2525

2612y x x =-

++. (3)存在，因为12PM EA =，所以1

2

PM CD =.以M 为圆心，MC 为半径画圆，交抛

物线于点F 和点P .如图:

点P 坐标为(1.6,3.2)和(0. 9,3. 2).