上海市复旦附中2018高一下学期期末考试(含答案)
复旦附中高一期末数学试卷
一. 填空题
1. 在等差数列{}n a 中，若40a =，6710a a +=，则7a =
2. 在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 项
3. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，那么数列{}n a 的通项公式为
4. 若在等比数列{}n a 中，129512a a a ??????=，则5a =
5.
方程(3cos 1)(cos )0x x x -+=的解集是
6. 若数列{}n a 满足113a =，1n n a a n +-=，则n
a n
的最小值为 7. 若数列{}n a 是等差数列，则数列1
n n m
n a a b m
+++???+=()m ∈*N 也为等差数列，类比上述 性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = 也是等比数列
8. 观察下列式子：13
122
+≥，11112234+++>，111512382+++???+>，…，你可归纳出
的不等式是
9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为n a = 10. 对于下列数排成的数阵：
1491625
3649
64
81100
-----???
???
???
它的第10行所有数的和为
11. 对于数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈???()n ∈*N ，其前n 项和为n S ，记满足条件的所有数列{}n a 中，12S 的最大值为a ，最小值为b ，则a b -= 12. 设n ∈*N ，用n A 表示所有形如12222n r r r ++???+的正整数集合，其中
120n r r r n ≤<
通项公式为n b =
二. 选择题
13. “b
是1+
1-b
是2
与2-的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{
}n n a a +是等比数列，其公比1
2
q =-，则数列 {}n a 的最大项等于（ ）
A. 7a
B. 8a
C. 9a
D. 10a 15. 若数列cos()35
n a n π
π
=+，若k ∈*N ，则在下列数列中，可取遍数列{}n a 前6项值
的数列为（ ）
A. 21{}k a +
B. 31{}k a +
C. 41{}k a +
D. 51{}k a + 16. 数列{}n a 中，若1a a =，1sin(
)2
n n a a π
+=，n ∈*N ，
则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{}n a 为常数数列，则1a =±；
（2）若(0,1)a ∈，数列{}n a 都是单调递增数列；
（3）若a ?Z ，任取{}n a 中的9项1k a 、2k a 、…、9k a 129(1)k k k <<
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
三. 解答题
17. 已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足4696a a =，3720a a +=，数列{}n b 满 足等式：3
12232222
n n n
b b b b a =
+++???+()n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1
{}2
n n b ++的前n 项和n S .
18. 已知b 、c 为常数且均不为零，数列{}n a 的通项公式为1,3,n n
b n n a
c n ?-??=????
为奇数
为偶数，并且 1a 、3a 、2a 成等差数列，1a 、2a 、4a 成等比数列.
（1）求b 、c 的值；
（2）设n S 是数列{}n a 前n 项的和，求使得不等式222018n S >成立的最小正整数n .
19. 王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为n a 元.
（1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出2a ； （2）求每年的还款额（精确到1元）.
20. 设数列{}n a 的首项1a 为常数，且132n n n a a +=-()n ∈*N .
（1）判断数列3{}5
n
n a -是否为等比数列，请说明理由；
（2）n S 是数列{}n a 的前n 项的和，若{}n S 是递增数列，求1a 的取值范围.
21. 如果数列{}n a 对任意的n ∈*N 满足：212n n n a a a +++>，则称数列{}n a 为“M 数列”. （1）已知数列{}n a 是“M 数列”，设1n n n b a a +=-，n ∈*N ，求证：数列{}n b 是递增数列，并指出542()a a -与42a a -的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若数列
{||}n S 是“M 数列”，求d 的取值范围；
（3）已知数列{}n a 是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较
13211n n a a a u n +++???+=
+和242n
n a a a v n
++???+=的大小，并说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 6
2. 7
3. 0,1
21,2n n n =??-≥?
4. 2
5. 1
{|arccos 2,,}3
6
x x k x k k π
ππ=±+=-+∈Z 6.
23
5
7.
8. 1112
12322
n n ++++???+≥
9. 10523n + 10. 505- 11. 2048 12. 1(21)n n +-
二. 选择题
13. A 14. C 15. D 16. C
三. 解答题
17.（1）2n ；（2）1
2n n b +=，2(3)
244
n n n n S ++=-+
. 18.（1）2b =，1c =；（2）12
2299
220188
n n
S n n +-=-+>，7n =.
19.（1）22100000(15%)(15%)110250 2.05a m m m =+-+-=-；
（2）1098
10100000(1.05)(1.05)(1.05)0a m m m =---???-=，
1010
(1 1.05)
100000(1.05)01 1.05
m --=-，1010100000(0.05)(1.05)12950(1.05)1m =
≈-. 20.（1）13
5
a ≠时，3{}5n n a -为等比数列，公比为2-；
（2）1
133()(2)055n n n a a -=--+
>，2n ≥，∴20a >，30a >，∴13342
a -<<. 21.（1）211n n n n a a a a +++->-，即1n n
b b +>，54422()a a a a ->-；
（2）132||||2||S S S +>，1|36|2|22|d d ++>+，解得3
(,)(0,)5
d ∈-∞-+∞U ； （3）数学归纳法，n n u v >.