湖北高考数学理科试卷(带详解)

2０1２湖北高考

理科数学

一、选择题：本大题共１0小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.方程2

+6+13=0x x 的一个根是

( ）

A.3+2i - ?

B.3+2i ?C ．22i -+ Ｄ．2+2i

【测量目标】复数的一元二次方程求根.

【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易 【参考答案】A

【试题解析】根据复数求根公式：266134

32i x -±-?=

=-±,所以方程的一个根为32i -+,答案为A.

2.命题“300x x ?∈∈R

Q Q ，”的否定是 （ ）

A ．300x x ??∈R

Q Q ， ? ? B ．300x x ?∈?R Q Q ，

C.3

00x x ??

∈R Q Q ，

D ．3

00x x ?∈

?R Q Q ，

【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.

【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定． 【难易程度】容易 【参考答案】D

【试题解析】根据对命题的否定知,是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.

3．已知二次函数=()y f x 的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）

第４题图

A.

2π

5

? B ．

43 Ｃ.3

2

?

D ．π

2

【测量目标】定积分的几何意义.

【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】根据图像可得:2

()+1y f x x ==-,再由定积分的几何意义,可求得面积为

122111

4=(+1)()13

3S x dx x x --=-+=-?.

４.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ）

A ．

8π3 ? B ．3π Ｃ.10π

3

D ．6π

第４题图 【测量目标】由三视图求几何体的体积．

【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一

个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选Ｂ. 5．设a ∈Z ，且0

13a <，若201251a +能被13整除，则a = （ )

A ．0 B.1 C ．11 D.12 【测量目标】二项式定理.

【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D

【试题解析】由于５1＝52-1，2012

020121201120111

201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…

又由于13|52,所以只需13|1+a ，0

a <１3,所以a =12选D ．

6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222

++=10a b c ，2

2

2

40x y z ++=,20ax by cz ++=,

则a b c

x y z

++=++

（ ）

A ．14

B ．13 Ｃ．1

2

Ｄ．

34

【测量目标】不等式的基本性质．

【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案． 【难易程度】中等 【参考答案】C

【试题解析】由于2

2

2

2

2

2

2()()()a b c x y z ax by cz ++++++

等号成立当且仅当

a b c

t x y z

===,则a tx b ty c tz ===，，, 2222()10t x y z ++=（步骤1)

所以由题知1

2

t =,又a b c a b c x y z x y z ++===

++(步骤2)， 所以

1

2

a b c t x y z ++==++,答案选Ｃ.(步骤3) 7．定义在(,0)

(0,)-∞+∞上的函数()f x ，

如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{}()n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：

①2

()f x x =； ②()2x

f x =； ③()f x =； ④()ln f x x =．

则

其

中

是

“

保

等

比

数

列

函

数

”

的

()

f x 的序号为

（ )

A ．① ② ?

B.③ ④ ?Ｃ．① ③ Ｄ.② ④

【测量目标】等比数列性质及函数计算.

【考查方式】给出了保等比数列的定义,判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等 【参考答案】C

【试题解析】等比数列性质，2

21n n n a a a ++=, ①22222

2211()()()()

n n n n n n f a f a a a a f a ++++=== (步骤１）

2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤２)

2

221()()()n n n f a f a f a ++==

=③（步骤３)

2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.(步骤４）

8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以ＯA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形ＯＡB

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ )

A ．21π-

B ．112π-

C ．2π ? D.1π

第8题

【测量目标】几何概型及平面图形面积公式.

【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积,算出他们的比值即

为概率. 【难易程度】中等

【参考答案】A 【试题解析】令1OA =,扇形ＯAB 为对称图形,A ＣＢＤ围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以O Ａ为直径的半圆面积减去三角形OA Ｃ的面积，

（步骤1) ?

2

21111π2

π122228S -??=-??=

???.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=,12π24S S -+=,扇形O ＡB 面积1

π4

S =， 选A.（步骤２）

第8题图 ９

.函

数

2

()cos f x x x =在区间

[]

0,4上的零点个数为

（ )

A.4

?B ．5 ??

C.6 ? D ．７

【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.

【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数． 【难易程度】容易 【参考答案】C

【试题解析】()0f x =,则0x =或2cos 0x =,2

π

π+

,2

x k k =∈Z 又[]0,4x ∈, 0,1,2,3,4k =所以共有6个解．选C.

10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数，以十六乘之,九而一,所得开

立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似

公式d ≈

人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ )

A ．d ≈

B.d ≈ C ．d ≈

D ．d ≈

【测量目标】球的体积公式以及估算. 【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等 【参考答案】D

【试题解析】由3

4π32d V ??

= ???

，得d =a b ,则6π=b a （步骤1）;Ａ

中代人得69π 3.37516?=

=，B 中代入得6π32==，C 中代入得π6157

3.14300?==，D 中代人得611

π= 3.142857,21

?=由于D 中值最接近π的真实值，故选Ｄ．

（步骤2) 二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题，每小题5分,共25分． 请将答案填在

答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置,书写不清，模棱两可均不得分． （一)必考题（11—14题）

１１．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab +-++=,则角

C = .

【测量目标】余弦定理，解三角形.

【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C ． 【难易程度】容易 【参考答案】120

【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=,得2

2

2

a b c ab +-=-根据余弦定理

2221cos ,222

a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .

第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的ｓ. 【难易程度】容易 【参考答案】9

【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示: 第一圈循环：当ｎ=1时,得s =1，ａ=3.(步骤１） 第二圈循环: 当n =2时，得s =4,a =5 (步骤2)

第三圈循环:当n =3时，得ｓ=９，ａ=7 （步骤3） 此时n =３,不再循环,所以解ｓ=9 . (步骤4)

１３.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如２2,121，34４3，9４２49等.显然

２位回文数有9个：11，22，３3，…,９９．３位回文数有９０个:１01,１11，121,…，１91，2０2，…,99９．则

(Ⅰ)4位回文数有 个;

（Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【测量目标】排列、组合及其应用.

【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()n n ++∈N 回文数的个数. 【难易程度】较难

【参考答案】（I ）90;（I Ｉ)910n

?

【试题解析】(Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为０，有９（1～9）种情况，第二位有10(0~9）种情况，所以４位回文数有91090?=种,答案：90.

(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现，2n ＋１位回文数和2n +2位回文数的个数相同,所以可以算出2ｎ+2位回文数的个数.2ｎ＋2位回文数只用看前ｎ＋１位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n

?.

法二、可以看出2位数有９个回文数，3位数９0个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在２位数的中间添加成对的“０0,11,２2，……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102n n s s =-，而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间

添加０~９这十个数，因21210n n s s +=,则答案为910n

?．

14．如图，双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为

12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则

第14题图 (Ⅰ）双曲线的离心率e = ;

(Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值

1

2

S S = . 【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算. 【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率,根据面积公式求出面积比.

【难易程度】较难 【参考答案】(Ｉ）512e =

，(II ）1225

S S +=【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,因此点O 到直线22F B 的距离为a ,又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知,

2222111

222

bc a B F a b c ==+(步骤１),又由双曲线中存在关系222c a b =+联立可得出2

2

2

(1)e e -=,根据(1,)e ∈+∞解出51

e +=

.(步骤2) （II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =,设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n = ∴

m c

n b =(步骤３),∵222m n a +=,∴2222m n b c b c

==++(步骤4) ∴面积222244a bc S mn b c ==+，∴22

12

22S b c S a

+=（步骤5) ∵2

2

2

b c a =-∴

1225

2

S S =

（步骤６). （二）选考题（请考生在第15、１6两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 1５.（选修４－1:几何证明选讲)

如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接ＯD ,过点D

作OD 的垂线交

O 于点Ｃ，则ＣD 的最大值为 .

第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.

【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易 【参考答案】2

【试题解析】(由于OD CD ⊥,因此22CD OC OD =-线段OC 长为定值，

即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短,此时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此1

22

CD AB =

= １６．(选修4-4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系ｘO ｙ中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系. 已知射线π

4θ=与曲线2

1(1)x t y t =+??=-?

(t 为参数) 相交于A ，Ｂ两点,则线段AB 的中点的直角坐标为 .

【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.

【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等 【参考答案】55(,)22

【试题解析】

π

4θ=

在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)

x t y t =+??=-?（ｔ为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为2

2

2

(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线(步 骤１），联立上面两个方程消去y 有2

540x x -+=,设A B ，两点及其中点P 的横坐标分别为0A B x x x 、、(步骤2),则有韦达定理05

22

A B x x x +=

=,又由于点P 点在直线y x =上,因此AB 的中点P 55

(,)22

.（步骤3)

三、解答题:本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. １7．（本小题满分12分)

已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，

a ，(cos sin ,3)x x x ωωω=--

b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数，且1

(,1)2

ω∈．

(Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04??

???,求函数()f x 在区间3π0,5??

????

上的取值范围． 【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的变换及化简．

【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.

【难易程度】容易 【试题解析】（I)因为

22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-

+cos 22.x x ωωλ=-+

π2sin(2)6

x ωλ=-+(步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，

可π

sin(2π)16

ω-=±,所以ππ2ππ+()62k k ω-

=∈Z ，即1

().23

k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以ｋ=1,故56ω=,所以()f x 的最小正周期为6π

5

.

(步骤2)

(II)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04

f =，(步骤3)

即5πππ

2sin()2sin 6264

λ=-?-=-=

即λ=

故5π

()2sin()36f x x =-(步骤4)

由3π0,5x 有π5π5π

,6366x --

所以15πsin()123

6x --，得5π

12sin()222,36

x ----

故函数()f

x 在3π

0,5??

????

上的取值范围为1?--?．(步骤5） 18.(本小题满分１2分）

已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 【测量目标】等差数列的通项，前ｎ项和.

【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前ｎ和． 【难易程度】容易

【试题解析】(Ｉ）设等差数列{}n a 的公差为ｄ,则21a a d =+，312a a d =+． 有题意得1111333()2a d a a d a d +=-?

?

++?（）=8解得123a d =??=-?或14

3a d =-??=?（步骤1)

所以由等差数列通项公式可得

23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.n a n n =-+-=- 故35,n a n =-+或37.n a n =-（步骤2）

(II ）当35n a n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列． 当37n a n =-时,231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列,满足条件．

故37,1,2

37.37,3n n n a n n n -+=?=-=

?-?

(步骤３)

记数列{}

n a 的前n 项和为n S .

当n ＝1时,114;S a ==当n =2时，2125;S a a =+= 当n

3，

234...5(337)(347)...(37)n n S S a a a n =++++=+?-+?-++- =[]

2(2)2(37)311

510.2

22

n n n n -+-+

=

-+当2n =时，22311

2210522

S =?-?+=

综上，24131110,122

n n S n n n =??

?-+??，＞.（步骤4)

１9．(本小题满分1２分）

如图１,45ACB ∠=,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ,沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=(如图2所示）． (Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;

(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在

棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.

图1 图２

第19题图 【测量目标】三棱锥的体积公式,均值不等式求最值,利用导数求函数的最值,空间直角坐标系的建立,平行与垂直关系的综合应用.

【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值,利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小． 【难易程度】中等

【试题解析】(I ）解法1:在如图１所示的△A ＢC 中，设B Ｄ=ｘ(03)x ＜＜，则3CD x =-．

由,45AD BC ACB ⊥∠=知,△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =C Ｄ=3x -．（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11

(3).22

BCD S BD CD x x =

=-△于是1111

(3)(3)2(3)333212

A BCD BCD V AD S x x x x x x -=

=--=-△（-）

3

12(3)(3)2

1233

x x x +-+-??=???? 当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立，

故当x =1，即B Ｄ＝1时,三棱锥A BCD -的体积最大．(步骤２） 解法2:

同解法1,得321111

=(3)(3)(69).3326

A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△(步骤1) 令321()(69),6f x x x x =

-+由1

()(1)(3)02

f x x x '=--=,03,x ＜＜解得x =１． 当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时,()0f x '＜． 所以当x =1,()f x 取1得最大值.

故当ＢD =１时,三棱锥A BCD -的体积最大.(步骤2)

(II ）解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（I)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1,2BD AD CD ===. 于是可得1

(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2

D B C A M

E 且(1,1,1).BM =-(步骤３)

设1(0,,0),=2

N EN λλ则（-,-1,0）．因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即

111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22

N λ=（步骤4）

所以当ＤN =

1

2

(即N 是C Ｄ的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥． 设平面BMN 的一个法向量为n (,,),x y z =由BN

BM

?⊥??⊥??n n ,及1

(1,,0),2BN =-

得2y x z x

=??

=-?可取(1,2,1)=-n .(步骤５)cos EN <>=，n

即ＥＮ与平面BMN 所成角的大小60．(步骤６）

第19题图a

解法2：由(I)知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1, 2.BD AD CD ===(步骤3)

如图b ，取CD 的中点F ,连接,MF BF ，EF ，则MF

AD .

由(Ｉ)知AD ⊥平面ＢCD ，所以ＭF ⊥平面B ＣD .(步骤4）

如图ｃ，延长FE 至P 点使得F Ｐ＝DB ，连接BP ,DP ，则四边形DB ＰF 为正方形, 所以.DP BF ⊥取ＤF 得中点N ,连接E Ｎ，又E 为ＦP 的中点,则EN

DP ,

所以.EN BF ⊥因为MF ⊥平面ＢＣD ,又EN ?面BCD ，所以MF EN ⊥. 又=MF

BF F ，因为MF ∈面BMF ，所以E Ｎ⊥BM.．

因为EN BM ⊥当且仅当,EN BF ⊥而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当1

2

DN =

（即Ｎ是ＣD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN BM ⊥. 连接MN ,M Ｅ,由计算得NB ＝N Ｍ=EB =E Ｍ=

5， 所以△ＮMB 与△ＥMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,（步骤5) 如图d .BM EGN ⊥平面在平面ＥGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN ．故ENH ∠是E Ｎ与平面BMN 所成的角. 在△E ＧN 中，易得ＥG =G Ｎ＝ＮE =

2

2

,所以△EGN 是正三角形, 故=60EGN ∠，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60．（步骤6)

图b

图c 图d 第１9题图 20.（本小题满分１2分)

根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X （单位:ｍm)对工期的影响如下表: 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为０．3，0.7，０.9. 求:

(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差；

（Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率. 【测量目标】概率的加法公式与方差,条件概率．

【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率. 【难易程度】中等

【试题解析】（I)由已知条件和概率的加法公式有:

(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X ==--=＜＜＜＜＜ (700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X --=＜＜（＜） (900)1(900)=10.90.1.P X

P X =--=＜（步骤1)

所以Y 的分布列为：

于是2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-?+-?+-?+-?=

故工期延误天数Y 的均值为3,方差９．8．(步骤２) （ＩI ）由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，

又(300

900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.

由条件概率，得

降水量X 300X ＜

300700X ＜＜ 700900

X ＜＜ 900X

工期延误天数Y

2

6

1０

Y 0 ２ 6 1０ P

0.3

0.4

0.2

0．1

(300900)0.66

(6300)(900300)(300)0.77

P X P Y X P X X P X ==

==＜＜.

故在降水量X 至少是３０0m ｍ的条件下，工期延误不超过6天的概率是6

7

.（步骤３） 21．(本小题满分13分）

设A 是单位圆22

1x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上,且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且． 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线Ｃ．

（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标;

（Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限，它在y 轴上的

射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的 k ＞0，都有PQ PH ⊥?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.

【测量目标】双曲线的标准方程,直线的方程,直线与双曲线的位置关系,双曲线中的定点问题. 【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难

【试题解析】（Ｉ）如图1,设00(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且 可得00,,x x y m y ==所以001

,.x x y y m

==

①

因为A 点在单位圆上运动,所以22

001x y += ②

将①式代入②式即得所求曲线Ｃ的方程为2

2

21(0)y x m m m

+=≠＞，且1，(步骤1)

因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以

当0＜m ＜1时，曲线Ｃ是焦点在x 轴上的椭圆,

两焦点坐标分别为(；(步骤2） 当m ＞１时，曲线C 是焦点在ｙ轴上的椭圆,

两焦点坐标分别为(0,.（步骤3）

（II ）解法1：如图2、３0k ?＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx -- 直线Q Ｎ的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆Ｃ的方程并整理可得

222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=

依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得

21122244k x x x m k -+=-+,即2122

2

.4m x x m k =+(步骤４)

因为点Ｈ在直线QN上,所以

2

1 21222

2

2.

4

km x

y kx kx

m k

-==

+

于是

112121

(2,2),(,)

PQ x kx PH x x y kx

=--=--=

22

11

2222

42

(,)

44

k x km x

m k m k

-

++

.

而PQ PH

⊥等价于PQ PH=

222

1

22

4(2)

0,

4

m k x

m k

-

=

+

即2

20

m

-=，又m>0，得2

m=,

故存在2

m=,使得在其对应的椭圆

2

21

2

y

x+=上,对任意的0

k＞，都有PQ PH

⊥．（步骤5）

第２1题图１

解法2:如图2、３,

1

(0,1)

x

?∈,设

1122

(,),(,),

P x y H x y则

111

(,),(0,)

Q x y N y

--

因为P,H两点在椭圆C上,所以

2222

11

2222

22

m x y m

m x y m

?+=

?

+=

?

，两式相减可得

22222

1212

()()0.

m x x y y

-+-=(步骤3）

依题意,由点P在第一象限可知，点H也在第一象限,且P,H不重合,

故

1212

()()0

x x x x

-+≠,于是由③式可得

2

1212

1212

()()

()()

y y y y

m

x x x x

-+

=-

-+

.(步骤4）

又Q,Ｎ,Ｈ三点共线,所以

QN QH

K K

=,即112

112

2

.

y y y

x x x

+

=

+

于是由④式可得

2

1121212

1121212

()()

1

.

2()()2

PQ PH

y y y y y y y m

K K

x x x x x x x

--+

===-

--+

(步骤５)

而PQ PH

⊥等价于

PQ PH

K K＝1-,即

2

2

m

-＝1-,又m＞0，得m2.

故存在m =2，使得在其对应的椭圆2

2

12

y x +=上,对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. (步骤6）

图2 图3 （0<ｍ＜1) (ｍ＞１） 第21题图 22．（本小题满分１4分)

（Ⅰ)已知函数()(1)(0)r

f x rx x r x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的

最小值；

(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题：

设1

2

120,0,,a a b b ,为正有理数. 若121b b +=，则12

121122;b b a a a b a b +

(Ⅲ)请将(Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1

()x x

α

αα-'=.

【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题,数学归纳法．

【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题(I)的结论以及导数解决不等式的证明．在利用(II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广． 【难易程度】较难

【试题解析】（I ）1

1()(1),r r f x r rx

r x --'=-=-令()0f x '=，解得ｘ=1.

当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x ）在(０，１)内是减函数; 当x >１时，()f x '＞０,所以f （x )在(0，1）内是增函数. 故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1) （II ）由（I)知，当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f =，即(1)r

x rx r +-

若12,a a 中有一个不为0,则12

12

1122b

b a a a b a b ++成立（步骤2）;

若12,a a 均不为0，又121b b +=,可得211b b =-，于是

在①中令1

12,,a x r b a ==可得1

11

1

122

(1),b a a b b a a ??+-

???

即12

12

1121(1)b

b a a a b a b +-,亦即12

121122b b a a a b a b +.(步骤３)

综上,对12

120,0,,a a b b 为正有理数且121b b +=，总有12

121122b b a a a b a b +.②

(步骤3）

（ＩII) （ＩI)中命题的推广形式为:

设12,,,n a a a …为非负实数,12,,,n b b b …为正有理数． 若121,k b b b +++=…则12121122+k

b b

b

k k k a a a a b a b a b ++……．(步骤4）③

用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时,11,b =有1

1,a a ③成立.（步骤５)

(2)假设当n k =时③成立，即若12,,,k a a a …，非负实数，12,,,k b b b …，为正有理数．且

121,k b b b +++= (12121122)

b b b k k k a a a a b a b a b ++…….

当1n k =+时，已知12,,,k a a a …,1k a +非负实数，12,,,k b b b …，1k b +为正有理数 且1211,k k b b b b +++++=…此时101k b +＜＜,即110k b +-＞，（步骤６）于是

1112121

21

1

21

(...)k

k k

k b b b b b b b b k k k k a a a a

a a a a

++++= (1211)

1+1

+111111

2

1()

k

k k k k k b b b b b b b b k

k a

a a a +++----+=…

12

111

...1111k k k k b b b b b b ++++++=---,由归纳假设可得

1

211

1

1111

2

k k k k b b b b b b k

a

a a +++--- (112212)

1

21111

1111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----……

从而1

12121

k k b

b

b

b k k a a a a ++ (1)

1

11122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++??++ ?

-??

…（步骤７）

又因1+1(1)=1k k b b +-+，由②得

1

1

1112211221

111

11k k b b k k k k

k k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++??

++++ ?

--??

……+（1-）

1+1k k a b ++ =1122k k a b a b a b ++…++11k k a b ++，

从而1

12121

k k b

b

b

b

k k a a a a ++…112211k k k k a b a b a b a b +++++…+．（步骤7)

故当1n k =+时,③成立．

由（１）（２）可知,对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明:（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况(步骤8)