函数的定义域、值域教学讲义

函数的定义域、值域教学讲义

1．函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域

(1)求定义域的步骤：

①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)求函数定义域的主要依据 ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母__不等于0__.

③偶次根式函数被开方式__大于或等于0__. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为__{x |x ≠0}__. ⑥指数函数的定义域为 R . ⑦对数函数的定义域为__(0，＋∞)__. 2．函数的值域 基本初等函数的值域：

(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 {y |y ≥4ac －b 2

4a

} ；当a <0时，值域

为 {y |y ≤4ac －b 2

4a

} .

(3)y ＝k

x

(k ≠0)的值域是__{y |y ≠0}__.

(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__(0，＋∞)__. (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R .

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的__并集__.

3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．

1．(教材改编)函数y ＝1

1＋x －1

的定义域是( C ) A ．{x |x ≠0}

B ．{x |x ≠－1}

C ．{x |x ≠0且x ≠－1}

D ．{x |x ≠0或x ≠－1}

2．f (x )＝x 2＋x ＋1在[－1,1]上的值域为( C ) A ．[1,3] B ．[3

4，1]

C ．[3

4

，3]

D ．[3

4

，＋∞)

[解析] ∵f (x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－1

2，

∴f (x )min ＝f (－12)＝3

4，又f (－1)＝1，f (1)＝3，

∴f (x )∈[3

4

，3]．

3．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为4

3.

[解析] f (x )＝

2x －1

在[－2,0]上为减函数f (x )max ＝f (－2)＝－2

3，f (x )min ＝f (0)＝－2，f (x )max －

f (x )min ＝－23－(－2)＝4

3

.

4．(2018·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f (x

2)的定义域为( B )

A ．[1,2]

B ．(2,4]

C ．[1,2)

D ．[2,4)

[解析] ∵函数f (x )＝log(x －1)＋2－x 有意义，∴?????x －1>0，

2－x ≥0，

解得1

义域为(1,2]，∴1

2)的定义域为(2,4]．故选B ．

5．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是__[1，＋∞)__；y ＝x 4－x 2＋1的值域是 [3

4，＋∞) .

6．函数y ＝log 0.3(x 2＋4x ＋5)的值域为__(－∞，0]__. [解析] 设u ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1≥1， ∴log 0.3u ≤0，即y ≤0，∴y ∈(－∞，0]．

考点1 求函数的定义域——多维探究

角度1 具体函数的定义域

例1 (1)(2018·江苏，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为__[2，＋∞)__. (2)(2018·河北邯郸调研)函数y ＝lg (1－x 2)

2x 2－3x －2的定义域为( C )

A ．(－∞，1]

B ．[－1,1]

C ．(－1，－12)∪(－1

2

，1)

D ．[－1，－12)∪(－1

2

，1]

[解析] (1)本题考查函数定义域的求法及对数函数． 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1， ∴x ≥2.∴函数的定义域为[2，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需?????1－x 2>0，

2x 2

－3x －2≠0，即?????－1

所以函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为{x |－1

2}．

角度2 求抽象函数的定义域

例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1

2)

C ．(－1,0)

D ．(1

2

，1)

[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．

[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解

得－1

2

)．

[引申](理)(1)若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？(2)若将本例条件中f (x )改为f (2x )，结果如何？

[解析] (1)f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1

4

域为(－1

4，0)．

名师点拨 ?

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数y ＝

1log 1

2

(2－x )＋12x －3的定义域为 (1，32)∪(3

2，2) .

(2)(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4

的定义域是(－1,1).

[解析] (1)由?????log 12(2－x )>0，2x －3≠0??????0<2－x <1，

x ≠32

??????1

.∴定义域为(1，32)∪(3

2，2)．

(2)要使函数有意义满足?????x ＋1>0，

－x 2－3x ＋4>0，

解得?????x >－1，

－4

∴－1

故函数y ＝

f (x ＋1)

－x 2

－3x ＋4

的定义域为(－1,1)．

考点2 求函数的值域——师生共研

例3 (1)y ＝1－|x |

1＋|x |；

(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；

(4)y ＝x －1－2x . (5)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.

[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |

， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.

∴－1<－1＋2

1＋|x |≤1.

即函数值域为(－1,1]． 解法二：反解法： 由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y

.

∵|x |≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1

(2)配方法：y ＝

－2(x －14)2＋25

8

，

∴0≤y ≤524，∴值域为[0，52

4]．

(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1

x ＋1

解法一：基本不等式法

由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1

x

.

∵|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2

|x |·|1

x

|＝2， ∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法

由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.

∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.

得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法三：导数法(单调性法) 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)

x 2<0，

得－1

∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.

即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法 设

1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 2

2

，

∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，

∴y ∈(－∞，12]．即函数的值域为(－∞，12]．

解法二：单调性法

∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为(－∞，1

2]．又∵函数y ＝x ，y ＝－

1－2x 在(－∞，1

2

)上均单

调递增，∴y ≤1

2

－

1－2×12＝12，∴y ∈(－∞，12

]．

(5)解法一：绝对值不等式法：

由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，

所以函数值域为[3，＋∞)． 解法二：数形结合法：

y ＝????

?－2x ＋1(x <－1)，3(－1≤x ≤2)，2x －1(x >2).

画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 ?

求函数值域的一般方法

(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b

(a ≠0)的函数；如例3(1)；

(2)反解法：形如y ＝cf (x )＋d

af (x )＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)；

(3)配方法：形如g ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)； (4)不等式法；

(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域； (6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±

cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；

(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(5)； (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域． (1)y ＝(1

4)x 2－2x ；

(2)y ＝2x ＋1＋x ； (3)(文)y ＝x 2＋2x ＋3

x －1(x >1)．

(理)y ＝x －1

x 2＋x ＋2

(x >1)．

[解析] (1)令x 2－2x ＝t ，∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴t ≥－1，又y ＝(1

4)t 在[－1，＋∞)上

单调递减，∴0

4)－1＝4，∴0

∴函数f (x )＝(1

4)x 2－2x 的值域为(0,4]．

(2)解法一：单调性法：

定义域为{x |x ≥－1}，函数y ＝2x ，y ＝1＋x 均在[－1，＋∞)上递增，故y ≥2×(－1)＋

1＋(－1)＝－2. 解法二：换元法： 令

1＋x ＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2－1.

∴y ＝2t 2＋t －2＝2(t ＋14)2－17

8≥－2(t ≥0)．

∴函数值域为[－2，＋∞)． (3)(文)换元法： 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.

∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当“t ＝6

t ”时等号成立．

即t ＝6时，取最小值26＋4.

∴函数y ＝x 2＋2x ＋3

x －1(x >1)的值域为[26＋4，＋∞)．

(理)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1(t >0) ∴y ＝t (t ＋1)2＋t ＋3＝t t 2＋3t ＋4＝1

t ＋4t ＋3

∵t ＋4

t ≥4(t ＝2时取等号)

∴t ＋4t ＋3≥7，∴0

∴函数y ＝x －1x 2＋x ＋2的值域为(0，17]．