高考数学压轴专题都江堰备战高考《推理与证明》易错题汇编附答案解析

【高中数学】单元《推理与证明》知识点归纳

一、选择题

1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ?方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）

A ．55

B ．500

C ．505

D ．5050

【答案】C 【解析】 【分析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2

123()n f n n

+++???+=，

即得解. 【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，

又n 阶幻方有n 行（或n 列），

因此，2

123()n f n n

+++???+=，

于是12399100

(10)50510

f +++???++==．

故选：C 【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

2．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队

C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队

D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 【答案】B 【解析】 【分析】

表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】

事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了

22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t

分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】

一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．

3．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )

从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则

a 的值为( )

A ．100820182?

B ．100920182?

C ．100820202?

D ．100920202?

【答案】C 【解析】 【分析】

根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】

解：第一行第一个数为：0112=?； 第二行第一个数为：1422=?； 第三行第一个数为：21232=?；

第四行第一个数为：33242=?；

L L ，

第n 行第一个数为：1

n 2n n a -=?；

一共有1010行，

∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=?=?； 故选C ． 【点睛】

本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，

意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1

0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中

0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或

在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.

试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=

【答案】C 【解析】

根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】

由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为

2174328610x x ++=.

故选：C. 【点睛】

本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.

5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，

()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）

A ．2cos x -

B ．2sin x -

C ．2cos x

D ．2sin x

【答案】D 【解析】 【分析】

通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得

()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.

【详解】

由题可知：()sin f x x x =

所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-

()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+???

所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+

()()4242cos sin k f x k x x x -=--

()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+

由201945051,202145063=?-=?- 所以()20192019sin cos f x x x x =--

()20212021sin cos f x x x x =+

所以()()201920212sin f x f x x +=

【点睛】

本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.

6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}

n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *

+=++∈其中正确的是（ ）

A ．①②④

B ．①③④

C ．①②

D ．①④

【答案】D 【解析】

由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122

n n n a n +=++?+=

.

所以①a 5=15； 正确；

②an ?a n ?1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ?).正确； 本题选择D 选项.

点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

7．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:

2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②

()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.

其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④

C ．①③④

D ．②③④

【答案】D 【解析】 【分析】

在Rt ADC ?中，可判断①，Rt ABC ?中，可判断②，利用ADB ?与ADE ?全等及

ADC ?与DFC ?相似即可判断③④. 【详解】

在Rt ADC ?中，

2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ?中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ?与ADE ?全等，故

DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22

AB

FC r r a =-

=-， 又

C

C AC

D FC D =，所以()2

2DC AC FC r r AB =?=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2

2DC r r AB =-，可得

()

()2

2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.

故选：D. 【点睛】

本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.

8．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，

[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '

+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）

A ．cos sin x x --

B ．cos sin x x -

C ．sin cos x x +

D ．cos sin x x -+

【答案】A 【解析】 【分析】

根据归纳推理进行求解即可． 【详解】

解：由题意知：()sin cos f x x x =-，

1()()cos sin f x f x x x '==+，

[]1'

2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'

23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，

L

照此规律，可知：

[]'

201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，

故选：A. 【点睛】

本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．

9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21

C ．22

D ．23

【答案】C 【解析】 【分析】

一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】

设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,

1,(1)112n f ==+=Q ; 2,(2)(1)24n f f ==+=;

3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,

5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.

故选:C. 【点睛】

本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.

10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）

A ．物理化学等级都是

B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人

C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人

D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：

A B

C

D E

物理 10550--= 16313-= 9

1

0 化学

8530--= 19514-=

7

2

对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；

对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化

学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；

对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为

B 的学生，

因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为

1391419++-=（人）， C 选项错误；

对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1

c z x

=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2

【答案】D 【解析】 【分析】

利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得

111111a b c x y z x y z y z x x y z ????????????

++=+++++=+++++ ? ? ? ? ? ?

?????????

???

6≥=，

当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）

A ．30010

B ．40010

C ．50010

D ．60010

【答案】A 【解析】 【分析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】

如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++???+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.

故选：A 【点睛】

本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题

13．观察下列各式：2x y ?=，224x y ?=，339x y ?=，4417x y ?=，

5531x y ?=，6654x y ?=，7792x y ?=，L ，根据以上规律，则1010x y ?=（ ）

A ．255

B ．419

C ．414

D ．253

【答案】B 【解析】 【分析】

每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】

以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数

列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()

*

3,n n ≥∈N ，

则876854928154a a a =++=++=，

9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．

14．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A ．甲、乙、丙

B ．乙、甲、丙

C ．丙、乙、甲

D ．甲、丙、乙

【答案】A 【解析】 【分析】

利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

15．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）

A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人

B ．猜想数列

111

,,122334

?????的通项公式为()1(1)n a n N n n +=

∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【答案】C 【解析】 【分析】

根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】

对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50

人，是归纳推理；

对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；

对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】

该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.

16．用数学归纳法证明不等式11112321

n n +

++???+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）

A ．2k

B ．21k -

C ．12k -

D ．k

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边

1111111

1232122121

k k k k +=+

++?++++?+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求解.

【详解】

用数学归纳法证明不等式111

12321

n n +

++???+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边111

12321

k =+++???+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121

k k k k +=+

++?++++?+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：

1111

22121

k k k +++?++-， 共(

)

1

2

1212k k k +--+=项.

故选：A 【点睛】

本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.

17．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）

A ．53

B ．63

C ．73

D ．83

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案. 【详解】

如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………

所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.

故选：C 【点睛】

本题考查归纳推理，属于中档题.

18．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++??

???

.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，

333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）

A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++

B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

C ．123413341234,,

333x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

【答案】D 【解析】 【分析】

首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】

根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】

该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.

19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则

121

4

S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为1

2

V V =（ ） A ．

164

B ．

127

C ．

19

D ．

18

【答案】B 【解析】 【分析】

平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论. 【详解】

设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，

所以

BE=2,3a PE ===， 所以在Rt BEH ?中

，2

2

233a r r a ????-=+ ? ? ? ?????

，

解得612

r a =

，所以

R=PE-HE=

666

3124

a a a

-=，所以13r R =， 根据的球的体积公式有，3

3132

4134273

r

V r V R R ππ??=== ???， 故选：B.

【点睛】

本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.

20．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,

,,,)121n n

n n --L ，…，记该数组为

1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )

A ．

911

B ．

1011

C ．11

12

D ．

910

【答案】B 【解析】 【分析】

设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010

2010111

==-+，得解．

【详解】

由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

解得：n ＝20，

即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为

1010

2010111

=-+，

a200

10 11 ，

故选B．

【点睛】

本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．