矩阵论定义定理

第1章线性空间与线性变换

线性空间

定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量

定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一

定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n

定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基

定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标

定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关

定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵

定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY

定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间

定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W

零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}

定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}

和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}

定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：

DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)

定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。记为W = W1⊕W2

定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2

定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。如果V是实数域R上的线性空间，则为欧式空间；如果V是复数域上的线性空间，则为酉空间

定义1.8 设[V；(α,β)]为內积空间，称‖α‖=√(α,α)为向量α的长度，为等于1则为单位向量

定理1.9 设[V；(α,β)]为內积空间，有|(α,β)|2?(α,α) (β,β)，其中等式成立的充要条件是α,β线性相关

定义1.9 (α,β)= 0，则称α,β是正交的

定理1.10 不含0的正交向量组是线性无关的

定义1.10 设[V；(α,β)]为內积空间，若一组基满足条件(εi,εj) = 1 i=j, (εi,εj) = 0 i≠j，则称这组基微V的标准正交基

定理1.11 施密特正交化

定义1.11 设V是一个线性空间，若有V上的对应关系T，使任意α∈V，都有确定的向量α’= T(α)∈V与之对应，则称T为V上一个变换。若T对线性空间中的线性运算，满足T(α+β)= T (α) + T (β)；T(kα)=kT(α)，则称T是线性空间V上的一个线性变换

线性变换的性质：{α…}是线性相关的向量组，则{T（α）…}也是线性相关的向量组

零变换：T(α)= 0 恒等变换：T(α)=α像空间：R(T)零空间：N(T)

定理1.12 R(T)像空间N(T)零空间

定义1.12 线性变换的运算：乘法、加法、数乘、可逆

定义1.13 T(α) = αA，则称A为T在基{α…}下的矩阵

定理1.13 保持加法、乘法、数乘：T1+T2 = A1 +A2…

定理1.14 线性空间上同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，即 B = C-1AC 其中C为为基1到基2的过渡矩阵

定义1.14 设T是线性空间V上的线性变换，W是V的子空间没如果任意α∈W，有T(α)∈W，即值域T(W)包含于W，则称W是T 的不变子空间

定义 1.15 设T为內积空间上的线性变换，如果T不改变向量的內积，即（T(α),T(β)）= (α,β)，则称T为內积空间上的正交变换。当空间为欧式空间时称为正交变换；若空间为酉空间，则称为酉变换

定理1.15 设T是內积空间上的线性变换，则T是正交变换；保持向量长度不变；酉变换关于任一标准正交基的矩阵U满足U H U=UU H=I

定理1.16 正交矩阵（C T C=CC T=I）行列式为+-1；酉矩阵的行列式的模长为1 C-1 = CT ,U-1 = UH；

定义1.16 设V n和V m是同一个数域F上的两个线性空间，变换T : V n→V m

定理1.17 设T是n维线性空间V n到V m的线性变换，则dimR(T) + dimN(T)=n

第2章Jordan标准形介绍

定义2.1 设T为线性空间V上的线性变换，T（ε）=λε，则称数λ为T的特征值，向量ε为线性变换T对应于特征值λ的特征向量

定理2.1 设V上线性变换T在基下的矩阵为A，则A的特征值λ就是变换T 的特征值；若X是A的特征向量，则ε=基*X就是T的特征向量

定义2.2 设λ为线性变换T的特征值，ζ…是T对应于λ的特征向量的极大线性无关组，则称子空间V

λ=L{ζ…}为T关于λ的特征子空间

定理2.2 设λ…是V上线性变换T的s个互异的特征值。Vλi是λi的特征子空间，则Vλi是T的不变子空间；

定理2.3 线性变换T有对角矩阵表示的充要条件是T有n个线性无关的特征向量

⊕… = V n(F)

定理2.4 线性变换T有对角矩阵表示的充要条件：V

λ1

推论：V n(F)上线性变换有对角矩阵表示的充要条件是V n(F)可分解成T的一维不变子空间

对n阶方阵A，若存在多项式g(λ),使矩阵g(A) = 0,则称g(λ)为矩阵A的化零多项式

Jordan标准形的求法：1.特征值2.特征向量3.广义特征向量(个数小于阶数)

定理2.6 g(A)是A的矩阵多项式，则有：1.λ是A的特征值，则g(λ)是g(A)

的特征值2.相似 3.准对角

对n阶方阵A，若存在多项式g(λ)，使矩阵g(A)=0，则称g(λ)为矩阵A的化零多项式

定理2.7 设A，则方阵A的特征多项式就是A的化零多项式

定义2.5 设T是线性空间V上的线性变换，m T(λ)是关于λ的多项式，如果m T(λ)满足：最高次项系数为1；m T(T)=0；是T的化零多项式中次数最低的多项式，则称m T(λ)是T的最小多项式

定理2.8 T的特征多项式f(λ)与最小多项式mT(λ)有相同的根，则

定理2.9 设变换T的特征多项式为f(λ)=(λ-λ1)r1…,又T的Jordan标准形中关于λi的Jordan块的最高阶数为ni，则最小多项式mT(λ)= (λ-λ1)n1

定理2.10 线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积

第3章矩阵的分解

A=LU A=LDV

定理3.1 A有唯一的LDV分解的充要条件是A的顺序主子式不等于0

定理3.2 r(A)=k，如果A的顺序主子式不等于0，则A有LU分解

A=BC

定理3.4 方阵P∈F，若满足P2=P，则称P为幂等矩阵。具有如下性质：P H 和（I-P）仍为幂等矩阵；P的特征值为1或者0，而且P可相似于对角矩阵；F=N(P)⊕R(P)

定理3.5 设A的谱为{λ…}，则A可对角化的充要条件是A有

定理3.6 设A是半正定的Hermite矩阵

定理3.7 A=UR

定理3.9 Schur分解U H AU=T

Hermite矩阵：A H=A酉矩阵：A H A=AA H=I

Hermite矩阵的特征值是实数，不同特征值的特征向量是正交的

定义3.3 若矩阵A满足A H A=AA H，则称A是一个正规矩阵

定理3.10 A是正规矩阵的充要条件是A酉相似对角矩阵

定理3.12 A H A，AA H的性质：1.r(A)=r(A H A)=r(AA H) 2.它们的非零特征值相等

定义3.4 对于A，r(A),矩阵A H A的特征值都大于等于0。称正数σi=√λi为矩阵A的奇异值，简称A的奇值

定理3.13 A为正规矩阵时，A的奇异值为A的非零特征值的模；A为正定的Hermite矩阵时，A的奇异值等于A的特征值；酉相似的矩阵有相同的奇异值

定理3.14 矩阵的奇异值分解

定理3.17 方阵的极分解

第4章矩阵的广义逆

左可逆：BA=I，A是左可逆；列满秩；A H A可逆

右可逆：AC=I，A是右可逆；行满秩；A H A可逆

定理4.3

定理4.4

定义4.2 AGA=A，则称G为A的一个减号广义逆

定理4.5

定理4.6

定理4.7

定理4.8

定义4.3 MP逆（加号广义逆）：AGA=A GAG=G (AG)H=AG (GA)H=GA

定理4.9 若MP逆存在，则唯一

定理4.10 A+= C H(CC H)-1(BB H)-1B H=

定理4.12

定义4.4

定理4.13 空间上线性变换σ是投影变换的充要条件是σ是幂等变换，σ2=σ

定义4.5

定理4.14 线性变换σ是正交投影变换的充要条件是关于某组基下的矩阵A为幂等的Hermite矩阵，即A2=A,A H=A

定义4.6 最小二乘解

定理4.17 设A，b，则χ0=A+b是线性方程组Ax=b的最佳最小二乘解

第5章矩阵分析

向量范数：

矩阵范数：

诱导范数：

定义5.11 设矩阵A的全部特征值λ…，则称ρ（A）=max|λi|为A的谱半径

矩阵幂级数：

定义5.14 设f(z)是复变量的解析函数，

定理5.13 一阶线性常系数齐次微分方程组

定理5.14 一阶线性常系数非齐次线性方程组

第6章矩阵的K积与H积定义6.1 A

定理6.1

定理6.2

定理6.4

定理6.5

定理6.6

定义6.2

定理6.10