斜面上平抛

斜面上平抛运动问题

斜面上的平抛运动问题

一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。

平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tanα＝2tanβ，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。

推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝

2tanφ。

证明：如右图所示，由平抛运动规律得

tanθ＝v y

v x＝

gt

v0，

tanφ＝y0

x0＝1

2·

gt2

v0t＝

gt

2v0，

所以tanθ＝2tanφ。

推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

证明：如右图所示，tanφ＝y0 x0

tanθ＝2tanφ＝

y0 x0/2

即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。

注意：

(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。

(2)它们与水平方向的夹角关系为tanθ＝2tanφ，但不能误认为θ＝2φ。

【典例精析】：如图所示，一物体自

倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方

向抛出后落在斜面上，物体与斜面接

触时速度与水平方向的夹角φ满足( )

A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ

[解析]竖直速度与水平速度之比为：tanφ＝gt

v0，竖直位

移与水平位移之比为：tanθ＝gt2

2v0t，故tanφ＝2tanθ，D正

确。(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)

关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和垂直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和垂直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯

【典例精析】：如右图所示，足够长斜面

OA的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶

点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，

重力加速度为g，求小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？

解法一：常规分解方法(不分解加速度)

当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。

tan α＝v y v x ＝ gt v 0 此过程中小球的水平位移x ＝v 0t

小球的竖直位移 y ＝ 12

gt 2 最大距离s ＝(x －y cot α)sin α＝v 20sin 2θ2g cos θ

. 解法二：将速度和加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如右图所示。

速度v 0沿垂直斜面方向上的分量为

v 1＝v 0sin θ，加速度g 在垂直于斜面方向

上的分量为g 1＝g cos θ

根据分运动的独立性原理，小球离斜

面的最大距离仅由v 1和g 1决定，当垂直

于斜面的分速度减小为零时，小球离斜面和距离最远。

由v 1＝g 1t ，解得t ＝v 0g tan θ

由s ＝v 212g 1，解得s ＝v 20sin 2θ2g cos θ

.

【注意】：速度与斜面平行的时刻有如下特征：

(1)竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切；（速度分解图可以证明得到）

0v tan v α=⊥