2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分
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2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分
一、选择题
1、（全国大纲理4、文6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5
2、(安徽文科第7题）若数列}{
n a 的通项公式是()()n n a n =-1?3-2,则a a a 1210++=
（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15
3、（四川文科9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，n n S a 31=+（1≥n ），则=6a （A ）443?
（B ）1434+? （C ）4
4
（D ）144+
．
4、（江西文科5）.设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24
5、（江西理科5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
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6、（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,
i =），
则{}n A 为等比数列的充要条件是 （ ） （A ）{}n a 是等比数列． （B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列． （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列．
（D ）1321,,
,,
n a a a -和242,,
,,
n a a a 均是等比数列，且公比相同．
7、（陕西文10）
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．
坑位的编号为（ ） （A ）⑴和⒇ （B ）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾
8、（辽宁文5）若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=?+，则公比为 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
9、（四川理科8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+ .若则23-=b ，
1210=b ，则8a
（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11
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二、填空题
10、（重庆文1）在等差数列{}n a 中，
22a =，3104,a a =则＝
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
11、（湖南理科12）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 。
12、（辽宁文15）S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，62S S =，14=a ，则=5a ____________。
13、（湖北理科13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积 为 升.
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14、（广东文科11）已知{}n a 是递增等比数列，22=a ,434=-a a ,则此数列的公比=q
15、（广东11）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则
k = ．
16、（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________
17、（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
18、（北京理科第11题）在等比数列{}n a 中，2
1
1=
a ，44-=a ，则公比=q ______________；12...n a a a +++=_________________。
19、（浙江文科17）若数列2(4)()3n n n ?
?+????
中的最大项是第k 项，则k =_______________。
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20、（江苏13）设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ．
21、（天津文11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，
若32016,20,a S ==则10S 的值为_______
三、解答题 22、1、D 2、 3、 4、 5、 6、
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7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、
23、（江西理科18）已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足
3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a .
若a =1，求数列{}n a 的通项公式；
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若数列{}n a 唯一，求a 的值.
24、（湖南文科20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%．
（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （II ）设12,n
n a a a A n
++
+=
若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，
证明：须在第9年初对M 更新． ．
25、（北京文科20）若数列12,:,(2)n A a a a n ?≥满足1k k a a +|-|=1 (1,2,,1)k n =?-，则称n A 为E 数列。记12()n n S A a a a =++?+。 （1）写出一个E 数列5A 满足130a a ==；
（2）若112,2000a n ==，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；
（3）在14a =的E 数列n A 中，求使得()0n S A =成立的n 的最小值。 .
26、（湖北文科9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为
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A.1升
B.
6766升 C.4744升 D.3733
升
27、（福建文科17）已知等差数列{}n a 中，3,131-==a a （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值. 。
28、（湖北理科19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：a a =1(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，
,1)r R r ∈≠-.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若存在*N k ∈，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的*N m ∈，且2m ≥，1+m a ，
m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.
。
29、（重庆文16）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S 。
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30、（天津文20）已知数列{}{}n n a b 与满足
1
*11
13(1)(2)1,,, 2.2
n n
n n n n n b a b a b n N a -+++-+=-+=∈=且
（Ⅰ）求23,a a 的值；
（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明
*21212
12
2121
().3
n n n n S S S S n n N a a a a --+++
+≤-∈
31、（重庆理21）设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ； （II ）求证：对14303
k k k a a +≥≤≤≤
有
32、（上海文23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合
**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列
123,,,,,
n c c c c ．
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）12340,,,
,c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由；
（3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ∈）．
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33、（上海理23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合
**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,
,,
n c c c c ．
⑴ 求1234,,,c c c c ；
⑵ 求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,
n a a a ；
⑶ 求数列{}n c 的通项公式．
34、（全国课标文17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (I)求数列{}n a 的通项公式.
(II)设 31323log log log ,n n b a a a =++???+求数列{}n b 的通项公式.
35、（陕西理、文19）
曲线x y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，
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依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1,2,,k n =）
． （1）试求k x 与1k x -的关系（2
k n ）；
（2）求112233||||||||n n PQ P Q PQ P Q +++
+．
36、（全国课标理17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (I)求数列{}n a 的通项公式.
(II)设 31323log log log ,n n b a a a =++???+求数列1n b ??
?
???
的前项和.
37、（江西文科21）(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ， 若数列{}n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差?
不为0
的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若?
不存在，说明理由．
38、（全国大纲20）设数列{}n a 满足10a =且111
111n n
a a +-=--.
（1）求{}n a 的通项公式； (2)
设1
,1n
n n k n k b b S ===<∑记S 证明：.
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39、（四川理科20）设d 为非零实数，
)]()1(2[1*11221N n d nC d C n d C d C n
a n n n n n n n n n ∈+?-+++=--
(1)写出321,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设)(*N n nda b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 。
40、（天津理20）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：112
3(1)0,2
n
n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且
122,4a a ==．
（Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列； （III ）设*
242,,k k S a a a k N =++???+∈证明：
4*17
()6n
k k k
S n N a =<∈∑．
41、（辽宁理17）已知等差数列{}n a 满足02=a ，1086-=+a a （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和。
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42、（山东文20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足： (1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
43、（浙江文科19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11(),a a R ∈且124
111,,a a a 成等比数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）对n N +∈，试比较
2322221111...n
a a a a ++++
与11
a 的大小。
44、（浙江理科19）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列。
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（1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =
++++，21
12221111...n n B a a a a -=++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小. 。
45、(安徽理科第18题，文科第21题）n A 是递增数列，所以11=-+k k a a ，故n A 是首项为12，公差为1的等差数列在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构 成递增的等比数列，将这
2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .
46、（四川文科20）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；
（2）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列． 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．
47、（全国大纲文17）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .
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以下是答案 一、选择题 1、D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一
2(2)(1)(1)
[(2)12][12]442422
k k k k k k S S k k k +++--=+?+
?-?+?=+=，解得5k =.
解法二:
221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++?++?=+=，解得5k =.
2、A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+=
=+=，故a a a 1210++=3?5=15.故选A
3、 A
解析：由n n S a 31=+，得13-=n n S a （2≥n ），相减得n n a a -+1=3)(1--n n S S = 3n a ， 则n n a a 41=+（n ≥ 2），而11=a ，32=a ，则4426434?=?=a a ，选A
4、 B 解析： 1110S S =,则011=a ，20,0101111=∴=+=∴a d a a
5、 A 解析： 令1=m ，则1111===-+a S S S n n ，{}n S ∴是等差数列，则有
n n S S n =-+=)1(1，191010=-=∴S S a
6、22、（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生
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产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x
+-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 【答案】(1)根据题意,33
200(51)30005140x x x x
+-≥?--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,则4290031161
100(51)910[3()]612
y x x x x =
?+-=?--+ 故6x =时,max 457500y =元.
7、 【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论． 【解】选D （方法一）
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（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)2?+++?19(119)
10238002
+=?
?=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
10(129)10(1210)2?++++?+++?9(19)10(110)
10210222
?+?+=?
?+?? 90011002000=+=，所以路程总和最小为2000米.
8、 B
9、 B
解析：{}n b 为等差数列，设公差为d ，则27
14310310==--=
b b d ，822)3(3-=?-+=∴n n b b n
11267788)()()(a a a a a a a a +-++-+-=∴ 1167a b b b ++++=
372
)
(7114171==+=++=a a a a b b
二、填空题 10、 D
解析：由等差数列的通项公式容易知)1(2-=n a n ，189210=?=∴a
11、 25
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解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +?=
=
12、 1-
13、
66
67 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意
??
?=++=+++439874321a a a a a a a ，即???=+=+421336411d a d a ，解得???
????
=
=+6673
471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=
，所以应该填66
67.
14、解：4)(2)(22234=-=-=-q q q q a a a ，即022=--q q ，又数列为递增数列，
1,2-==∴q q （舍）
15、方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则411
1(1)()13()066
k a a k +=+-?-++?-=，解得10k =
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方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =
16、 74
解析：有等差数列的性质得：2468372()74a a a a a a +++=+=
17、【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），
1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是
(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10
s i i i i i i i =-?+-?++-?++-?++-?(1)(20)(120)
10[(20)]22
i i i i i i i i +-++=??-
-?-+ 210(21210)i i =-+，所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是
2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是
19(119)
10(1219)210238002
+?++
+?=?
?=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路
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程总和是10(129)10(1210)2?++++?+++?
9(19)10(110)
1021029001100200022
?+?+=?
?+??=+=，所以路程总和最小为2000米. 【答案】2000如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线
交
， ;
18、解：可求得,83-=q 2-=q ，1)2(2
1
--?=
n n a ，22||-=∴n n a )12(2
1
21]
21[21
||||||21-=--?=+++∴n n n a a a
19、 4
20、33
解析：由1271a a a =≤≤≤…得：32222211q a q a q a ≤+≤≤+≤≤≤，又12≥a 所以1≥q 且22≥q 且33≥q ，故33≥q 。
21、 110
三、解答题
22、 解：（1）设成等差数列的三个数分别是d a a d a +-,,，依题意得
15=+++-d a a d a ，解得5=d ，则数列{}n b 的543,,b b b 分别是d -7，,10d +18，它们成等比数
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换） 一、选择题 1．（2018北京文）在平面坐标系中，?AB ，?CD ，?EF ，?GH 是圆22 1x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．?A B B ．?CD C ．?EF D ．?GH 1．【答案】C 【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线． 2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π 个单位长度，所得图象对应的函数（ ） （A ）在区间[,]44ππ - 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π 上单调递减 （C ）在区间[,]42 ππ 上单调递增 （D ）在区间[,]2 π π 上单调递减 2．【答案】A 【解析】由函数sin 25y x π? ?=+ ?? ?的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π? ?=+ ?? ?的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ?ππ? ??=-+= ???? ???． 则函数的单调递增区间满足：()22222 k x k k ππ π-≤≤π+∈Z ， 即()44 k x k k ππ π- ≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ?? -????，选项A 正确，B 错误； 函数的单调递减区间满足：()322222 k x k k ππ π+≤≤π+∈Z ， 即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ?? ???? ， 选项C ，D 错误；故选A ．
高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 全国各地高考数学试题数 列分类大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=， 61165 6615482S a d a d ?=+=+=，联立11 2724,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则 4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{} n a 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b = 年高考数学试题知识分类 大全数列 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2007年高考数学试题汇编 数列 重庆文1 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 重庆理1 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 安徽文3 等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 辽宁文5 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 福建文2 等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 广东理5 已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 湖北理5 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111 lim 111p q n n n ∞ ??+- ??? =??+- ??? →（ C ） A ．0 B ．1 C ． p q D ．11p q -- 湖南文4 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122 - 湖北理8 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且 7453 n n A n B n +=+，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 湖南理10 设集合{123456}M =， ，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、， ，，，），都有 2017年高考试题分类汇编之概率统计 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017课标I理）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆 中 的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） 4 1 .A 8 . π B 2 1 .C 4 . π D 2.（2017课标III理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（） .A月接待游客量逐月增加.B年接待游客量逐年增加 .C各年的月接待游客量高峰期大致在8,7月 .D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.（2017课标Ⅱ文）从分别写有5,4,3,2,1的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） .A 1 10 .B 1 5 .C 3 10 .D 2 5 4.（2017课标I文）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为n x x x? , , 2 1 ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（） n x x x A? , , . 2 1 的平均数n x x x B? , , . 2 1 的标准差n x x x C? , , . 2 1 的最大值n x x x D? , , . 2 1 的中位数 5.（2017天津文）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5 （第1题）（第2题） 十五、选修4 1.（山东理4）不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A ．[-5，7] B ．[-4，6] C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞ 【答案】D 2.（北京理5）如图，AD ，A E ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ， F ，延长AF 与圆O 交于另一点 G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ；②AF· AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是A ．①② B ．②③C ．①③ D ．①②③ 【答案】A 3.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为 （A ）2 （B ）942π+ （C ）9 12π+ （D ）3【答案】D 4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2π B ．(1,)2π - C ． (1,0) D ．(1，π)【答案】B 5.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,8. x t y t ?=?=?（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2 224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.【答 6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长 线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线 段CE 的长为__________. 【答案】2 7.（天津理13）已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ??= ∈++-≤=∈=+-∈+∞????，则集合A B ?=________.【答案】{|25}x x -≤≤ 8.（上海理5）在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。 【答案】arccos 5 9.（上海理10）行列式a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。【答案】6 （陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分） A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 。 B ．（几何证明选做题）如图，,,90B D AE B C AC D ∠=∠⊥∠= ，且6,4,12A B A C A D ===，则B E = 。 C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ， 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4q a （D ）7.08.0,01-<<-
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